Triangel är en av de vanligaste geometriska formerna, som vi redan är bekanta med i grundskolan. Frågan om hur man hittar arean av en triangel står inför varje elev i geometrilektioner. Så, vad är funktionerna för att hitta området för en given figur kan särskiljas? I den här artikeln kommer vi att överväga de grundläggande formlerna som är nödvändiga för att slutföra en sådan uppgift, samt analysera typerna av trianglar.
Typer av trianglar
Du kan hitta arean av en triangel på helt olika sätt, eftersom det i geometrin finns mer än en typ av figur som innehåller tre vinklar. Dessa arter inkluderar:
- Akut triangel.
- Obt-angled.
- Equilateral (korrekt).
- Höger triangel.
- Isosceles.
Låt oss ta en närmare titt på var och en av de befintliga typerna av trianglar.
Akuttriangel
En sådan geometrisk figur anses vara den vanligaste för att lösa geometriska problem. När det blir nödvändigt att rita en godtycklig triangel kommer det här alternativet till räddning.
I en spetsig triangel, som namnet antyder, är alla vinklar spetsiga och summerar till 180°.
Skärvinklad triangel
Denna triangel är också mycket vanlig, men är något mindre vanlig än den spetsvinklade. Till exempel, när du löser trianglar (det vill säga att du känner till flera av dess sidor och vinklar och du måste hitta de återstående elementen) behöver du ibland avgöra om vinkeln är trubbig eller inte. Cosinus för en trubbig vinkel är ett negativt tal.
I en trubbig triangel överstiger värdet för en av vinklarna 90°, så de återstående två vinklarna kan ha små värden (till exempel 15° eller till och med 3°).
För att hitta arean av en triangel av denna typ behöver du känna till några nyanser, som vi kommer att prata om senare.
regelbundna och likbenta trianglar
En vanlig polygon är en figur som innehåller n vinklar och alla sidor och vinklar är lika. Detta är den räta triangeln. Eftersom summan av alla vinklar i en triangel är 180°, är var och en av de tre vinklarna 60°.
En vanlig triangel kallas på grund av sin egenskap också en liksidig figur.
Det är också värt att notera att ien vanlig triangel kan bara skrivas in med en cirkel och bara en cirkel kan omskrivas runt den, och deras mittpunkter är placerade i en punkt.
Förutom den liksidiga typen kan man också välja en likbent triangel, som skiljer sig något från den. I en sådan triangel är två sidor och två vinklar lika med varandra, och den tredje sidan (till vilken lika vinklar gränsar till) är basen.
Figuren visar en likbent triangel DEF, vars vinklar D och F är lika, och DF är basen.
Höger triangel
En rätvinklig triangel heter så eftersom en av dess vinklar är en rät vinkel, det vill säga lika med 90°. De andra två vinklarna summerar till 90°.
Den största sidan av en sådan triangel, som ligger mitt emot vinkeln 90°, är hypotenusan, medan de andra två av dess sidor är benen. För denna typ av trianglar är Pythagoras sats tillämplig:
Summan av kvadraterna på benens längder är lika med kvadraten på hypotenusans längd.
Figuren visar en rätvinklig triangel BAC med hypotenusa AC och benen AB och BC.
För att hitta arean av en triangel med rät vinkel måste du känna till de numeriska värdena på dess ben.
Låt oss gå vidare till formlerna för att hitta arean av den här figuren.
Grundläggande områdesformler
Inom geometri finns det två formler som är lämpliga för att hitta arean för de flesta typer av trianglar, nämligen för spetsvinklade, trubbvinklade, regelbundna ochlikbenta trianglar. Låt oss analysera var och en av dem.
Vid sida och höjd
Denna formel är universell för att hitta arean av figuren vi överväger. För att göra detta räcker det att känna till längden på sidan och längden på höjden som dras till den. Själva formeln (halva produkten av basen och höjden) ser ut så här:
S=½AH, där A är sidan av den givna triangeln och H är höjden på triangeln.
För att till exempel hitta arean av en spetsvinklig triangel ACB måste du multiplicera dess sida AB med höjden CD och dividera det resulterande värdet med två.
Det är dock inte alltid lätt att hitta arean av en triangel på detta sätt. För att till exempel använda den här formeln för en trubbvinklad triangel måste du fortsätta med en av dess sidor och först efter det rita en höjd till den.
I praktiken används denna formel oftare än andra.
På två sidor och ett hörn
Denna formel, liksom den föregående, är lämplig för de flesta trianglar och är i sin betydelse en konsekvens av formeln för att hitta arean vid sidan och höjden av en triangel. Det vill säga att den aktuella formeln lätt kan härledas från den föregående. Hennes formulering ser ut så här:
S=½sinOAB, där A och B är sidor i en triangel och O är vinkeln mellan sidorna A och B.
Kom ihåg att sinus för en vinkel kan ses i en speciell tabell uppkallad efter den framstående sovjetiske matematikern V. M. Bradis.
Och nu går vi vidare till andra formler,endast lämplig för exceptionella typer av trianglar.
Area av en rätvinklig triangel
Förutom den universella formeln, som inkluderar behovet av att rita en höjd i en triangel, kan arean av en triangel som innehåller en rät vinkel hittas av dess ben.
Alltså är arean av en triangel som innehåller en rät vinkel hälften av produkten av dess ben, eller:
S=½ab, där a och b är benen i en rätvinklig triangel.
Regular Triangle
Den här typen av geometriska figurer skiljer sig genom att dess area kan hittas med det angivna värdet av endast en av dess sidor (eftersom alla sidor i en vanlig triangel är lika). Så, efter att ha fått uppgiften att "hitta arean av en triangel när sidorna är lika", måste du använda följande formel:
S=A2√3 / 4, där A är sidan av en liksidig triangel.
Heron's Formula
Det sista alternativet för att hitta arean av en triangel är Herons formel. För att kunna använda den måste du känna till längderna på figurens tre sidor. Herons formel ser ut så här:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), där a, b och c är sidorna i denna triangel.
Ibland får uppgiften: "arean av en vanlig triangel - hitta längden på dess sida." I det här fallet måste du använda den redan kända formeln för att hitta arean av en vanlig triangel och härleda värdet på sidan (eller dess kvadrat) från den:
A2=4S / √3.
Examproblem
I GIA-uppgifterDet finns många formler i matematik. Dessutom är det ofta nödvändigt att hitta arean av en triangel på rutigt papper.
I det här fallet är det mest praktiskt att rita höjden till en av figurens sidor, bestämma dess längd med celler och använda den universella formeln för att hitta arean:
S=½AH.
Så efter att ha studerat formlerna som presenteras i artikeln kommer du inte att ha problem med att hitta arean av en triangel av något slag.
