Människans framsteg beror till stor del på upptäckter som gjorts av genier. En av dem är Blaise Pascal. Hans kreativa biografi bekräftar återigen sanningen i Lion Feuchtwangers uttryck "En begåvad person, begåvad i allt." Alla de vetenskapliga framgångarna av denna store vetenskapsman är svåra att räkna. Bland dem finns en av de mest eleganta uppfinningarna i matematikens värld - Pascals triangel.
Några ord om genialitet
Blaise Pascal dog tidigt med moderna mått mätt, vid 39 års ålder. Men under sitt korta liv utmärkte han sig som en enastående fysiker, matematiker, filosof och författare. Tacksamma ättlingar döpte tryckenheten och det populära programmeringsspråket till Pascal till hans ära. Den har använts i nästan 60 år för att lära ut hur man skriver olika koder. Till exempel, med dess hjälp kan varje elev skriva ett program för att beräkna arean av en triangel i Pascal, samt utforska kretsens egenskaper, ca.som kommer att diskuteras nedan.
Den här vetenskapsmans verksamhet med extraordinärt tänkande spänner över ett brett spektrum av vetenskapsområden. Blaise Pascal är särskilt en av grundarna av hydrostatik, matematisk analys, vissa områden inom geometri och sannolikhetsteori. Dessutom:
- skapade en mekanisk kalkylator känd som Pascal-hjulet;
- tillhandahöll experimentella bevis för att luft har elasticitet och vikt;
- fastsatt att en barometer kan användas för att förutsäga vädret;
- uppfann skottkärran;
- uppfann omnibus - häst och vagn med fasta rutter, som senare blev den första typen av reguljär kollektivtrafik etc.
Pascals aritmetiska triangel
Som redan nämnts gjorde denna store franske vetenskapsman ett enormt bidrag till den matematiska vetenskapen. Ett av hans absoluta vetenskapliga mästerverk är "Treatise on the Arithmetic Triangle", som består av binomialkoefficienter ordnade i en viss ordning. Egenskaperna hos detta schema är slående i sin mångfald, och det bekräftar i sig ordspråket "Allt geni alt är enkelt!".
Lite historia
För att vara rättvis måste det sägas att i själva verket var Pascals triangel känd i Europa redan i början av 1500-talet. I synnerhet kan hans bild ses på omslaget till en aritmetisk lärobok av den berömda astronomen Peter Apian från universitetet i Ingolstadt. En liknande triangel visas också som illustration.i en bok av den kinesiske matematikern Yang Hui, publicerad 1303. Den märkliga persiske poeten och filosofen Omar Khayyam var också medveten om dess egenskaper i början av 1100-talet. Dessutom tror man att han träffade honom från avhandlingar från arabiska och indiska vetenskapsmän som skrivits tidigare.
Description
Innan du utforskar de mest intressanta egenskaperna hos Pascals triangel, vacker i sin perfektion och enkelhet, är det värt att veta vad det är.
Vetenskapligt sett är det här numeriska schemat en ändlös triangulär tabell bildad av binomialkoefficienter ordnade i en viss ordning. Överst och på sidorna finns siffrorna 1. De återstående positionerna upptas av siffror som är lika med summan av de två talen som ligger ovanför dem bredvid varandra. Dessutom är alla linjer i Pascals triangel symmetriska kring dess vertikala axel.
Grundläggande funktioner
Pascals triangel slår med sin perfektion. För alla rader numrerade n (n=0, 1, 2…) sant:
- första och sista siffran är 1;
- andra och näst sista - n;
- det tredje talet är lika med det triangulära talet (antalet cirklar som kan arrangeras i en liksidig triangel, dvs. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Det fjärde talet är tetraedriskt, dvs det är en pyramid med en triangel vid basen.
Dessutom, relativt nyligen, 1972, etablerades en annan egenskap i Pascals triangel. För honomför att ta reda på det måste du skriva elementen i detta schema i form av en tabell med en radförskjutning med 2 positioner. Notera sedan talen som är delbara med radnumret. Det visar sig att numret på kolumnen där alla siffror är markerade är ett primtal.
Samma knep kan göras på annat sätt. För att göra detta, i Pascals triangel, ersätts talen med resten av deras division med radnumret i tabellen. Sedan arrangeras linjerna i den resulterande triangeln så att nästa startar 2 kolumner till höger från det första elementet i den föregående. Då kommer kolumnerna med tal som är primtal bara att bestå av nollor, och de med sammansatta tal kommer att innehålla minst en nolla.
Anslutning med Newtons binomial
Som du vet är detta namnet på formeln för expansionen till termer av en icke-negativ heltalspotens av summan av två variabler, som ser ut så här:
Koefficienterna som finns i dem är lika med C m =n! / (m! (n - m)!), där m är ordningstalet i rad n i Pascals triangel. Med andra ord, med det här bordet till hands kan du enkelt höja vilka tal som helst till en potens, efter att tidigare ha delat upp dem i två termer.
Därmed är Pascals triangel och Newtons binomial nära besläktade.
Math Wonders
En närmare granskning av Pascals triangel visar att:
- summan av alla tal i raden medserienummer n (räknat från 0) är 2;
- om linjerna är vänsterjusterade, då är summorna av tal som finns längs diagonalerna i Pascals triangel, från botten till toppen och från vänster till höger, lika med Fibonacci-tal;
- den första "diagonalen" består av naturliga tal i ordning;
- vilket element som helst från Pascals triangel, reducerat med en, är lika med summan av alla tal som finns inuti parallellogrammet, vilket begränsas av de vänstra och högra diagonalerna som skär detta tal;
- på varje rad i diagrammet är summan av tal på jämna platser lika med summan av element på udda platser.
Sierpinski Triangle
Ett sådant intressant matematiskt schema, ganska lovande när det gäller att lösa komplexa problem, erhålls genom att färga de jämna talen i Pascal-bilden i en färg och de udda talen i en annan.
Sierpinski-triangeln kan byggas på annat sätt:
- i det skuggade Pascal-schemat målas den mellersta triangeln om i en annan färg, som bildas genom att mittpunkterna på sidorna av den ursprungliga sidorna förbinds;
- gör exakt samma sak med tre omålade i hörnen;
- om proceduren fortsätter på obestämd tid, bör resultatet vara en tvåfärgad figur.
Den mest intressanta egenskapen hos Sierpinski-triangeln är dess självlikhet, eftersom den består av 3 av dess kopior, som reduceras med 2 gånger. Det tillåter oss att tillskriva detta schema till fraktala kurvor, och de, som visas av den senasteforskning är bäst lämpad för matematisk modellering av moln, växter, floddeltan och själva universum.
Flera intressanta uppgifter
Var används Pascals triangel? Exempel på uppgifter som kan lösas med dess hjälp är ganska olika och tillhör olika vetenskapsområden. Låt oss ta en titt på några av de mer intressanta.
Problem 1. Någon stor stad omgiven av en fästningsmur har bara en ingångsport. I den första korsningen delar sig huvudvägen i två. Samma sak händer på alla andra. 210 personer kommer in i staden. I var och en av korsningarna de möter delas de på mitten. Hur många personer som kommer att finnas vid varje korsning när det inte längre går att dela. Hennes svar är linje 10 i Pascals triangel (koefficientformeln presenteras ovan), där siffrorna 210 är placerade på båda sidor om den vertikala axeln.
Uppgift 2. Det finns 7 namn på färger. Du måste göra en bukett med 3 blommor. Det krävs att man tar reda på hur många olika sätt detta kan göras. Detta problem kommer från kombinatorikområdet. För att lösa det använder vi återigen Pascals triangel och får på den 7:e raden i tredje positionen (numrerar i båda fallen från 0) talet 35.
Nu vet du vad den store franske filosofen och vetenskapsmannen Blaise Pascal uppfann. Dess berömda triangel, när den används på rätt sätt, kan bli en riktig livräddare för att lösa många problem, särskilt från fältetkombinatorik. Dessutom kan den användas för att lösa många mysterier relaterade till fraktaler.
