I skolans geometrikurs ägnas mycket tid åt att studera trianglar. Eleverna räknar ut vinklar, bygger bisektorer och höjder, tar reda på hur former skiljer sig från varandra och det enklaste sättet att hitta deras area och omkrets. Det verkar som att detta inte är användbart på något sätt i livet, men ibland är det ändå användbart att veta till exempel hur man avgör att en triangel är liksidig eller trubbig. Hur gör man det?
Typer of Triangles
Tre punkter som inte ligger på samma räta linje, och segmenten som förbinder dem. Det verkar som att denna figur är den enklaste. Hur kan trianglar se ut om de bara har tre sidor? Faktum är att det finns ett ganska stort antal alternativ, och några av dem ägnas särskild uppmärksamhet som en del av skolans geometrikurs. En liksidig triangel är en liksidig triangel, det vill säga alla dess vinklar och sidor är lika. Den har ett antal anmärkningsvärda egenskaper, som kommer att diskuteras senare.
De likbenta har bara två lika sidor, och det är också ganska intressant. I rätvinkliga respektive trubbvinklade trianglar, som du kanske kan gissa, är en av vinklarna rät eller trubbig. Pådetta kan de också vara likbenta.
Det finns också en speciell sorts triangel som kallas egyptisk. Dess sidor är 3, 4 och 5 enheter. Den är dock rektangulär. Man tror att en sådan triangel användes aktivt av egyptiska lantmätare och arkitekter för att bygga räta vinklar. Man tror att de berömda pyramiderna byggdes med dess hjälp.
Och ändå kan alla hörn i en triangel ligga på en rak linje. I det här fallet kommer det att kallas degenererad, medan alla andra kallas icke-degenererade. De är ett av ämnena för studier av geometri.
liksidig triangel
Rätta siffror är naturligtvis alltid de mest intressanta. De verkar mer perfekta, mer graciösa. Formlerna för att beräkna deras egenskaper är ofta enklare och kortare än för vanliga siffror. Detta gäller även trianglar. Det är inte förvånande att mycket uppmärksamhet ägnas åt dem när de studerar geometri: skolbarn lär sig att skilja vanliga figurer från resten och även prata om några av deras intressanta egenskaper.
Tecken och egenskaper
Som du kanske kan gissa från namnet, är varje sida av en liksidig triangel lika med de andra två. Dessutom har den ett antal funktioner, tack vare vilka det är möjligt att avgöra om siffran är korrekt eller inte.
- alla dess vinklar är lika, deras värde är 60 grader;
- bisektorer, höjder och medianer från varje vertex är desamma;
- regelbunden triangel har 3 symmetriaxlar, detändras inte när den roteras 120 grader.
- mitten av den inskrivna cirkeln är också mitten av den omskrivna cirkeln och skärningspunkten för medianerna, bisektrarna, höjderna och vinkelräta halvledarna.
Om minst ett av ovanstående tecken observeras, är triangeln liksidig. För en vanlig siffra är alla ovanstående påståenden sanna.
Alla trianglar har ett antal anmärkningsvärda egenskaper. För det första är mittlinjen, det vill säga segmentet som delar de två sidorna på mitten och parallellt med den tredje, lika med halva basen. För det andra är summan av alla vinklar i denna figur alltid lika med 180 grader. Dessutom finns det ett annat intressant förhållande i trianglar. Så mittemot den större sidan ligger en större vinkel och vice versa. Men detta har naturligtvis ingenting att göra med en liksidig triangel, eftersom alla dess vinklar är lika.
Inskrivna och omskrivna cirklar
Det är inte ovanligt att elever på en geometrikurs också lär sig hur former kan interagera med varandra. I synnerhet studeras cirklar inskrivna i polygoner eller beskrivna runt dem. Vad handlar det om?
En inskriven cirkel är en cirkel där alla sidor av polygonen är tangenter. Beskriven - den som har kontaktpunkter med alla hörn. För varje triangel är det alltid möjligt att konstruera både första och andra cirklar, men bara en av varje typ. Bevis för dessa två
satser ges inskolans geometrikurs.
Förutom att beräkna parametrarna för själva trianglarna, innefattar vissa uppgifter även att beräkna radierna för dessa cirklar. Och formlerna för den liksidiga triangeln ser ut så här:
r=a/√ ̅3;
R=a/2√ ̅3;
där r är radien för den inskrivna cirkeln, R är radien för den omskrivna cirkeln, a är längden på sidan av triangeln.
Beräkna höjd, omkrets och area
Huvudparametrarna, som beräknas av skolbarn medan de studerar geometri, förblir oförändrade för nästan alla siffror. Dessa är omkrets, area och höjd. För att underlätta beräkningen finns det olika formler.
Så omkretsen, det vill säga längden på alla sidor, beräknas på följande sätt:
P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, där a är sidan av en regelbunden triangel, R är radien på den omslutna cirkeln, r är den inskrivna cirkeln.
Höjd:
h=(√ ̅3/2)a, där a är längden på sidan.
Slutligen härleds formeln för arean av en liksidig triangel från standardformeln, det vill säga produkten av halva basen och dess höjd.
S=(√ ̅3/4)a2, där a är längden på sidan.
Detta värde kan också beräknas genom parametrarna för den omskrivna eller inskrivna cirkeln. Det finns också speciella formler för detta:
S=3√ ̅3r2=(3√ ̅3/4)R2, där r och R är respektive radier inskrivna och omskrivna cirklar.
Byggnad
En tillEn intressant typ av uppgift, inklusive trianglar, är förknippad med behovet av att rita en eller annan figur med minimiuppsättningen
verktyg: en kompass och en linjal utan indelningar.
Det krävs några steg för att bygga en riktig triangel med bara dessa verktyg.
- Du måste rita en cirkel med valfri radie och centrerad i en godtycklig punkt A. Den måste markeras.
- Nästa måste du dra en rak linje genom denna punkt.
- Skärningspunkter mellan en cirkel och en rät linje måste betecknas som B och C. Alla konstruktioner ska utföras med största möjliga noggrannhet.
- Nästa måste du bygga en annan cirkel med samma radie och centrum i punkt C eller en båge med lämpliga parametrar. Korsningar kommer att markeras som D och F.
- Punkt B, F, D måste kopplas samman med segment. En liksidig triangel konstrueras.
Att lösa sådana problem är vanligtvis ett problem för skolbarn, men denna färdighet kan vara användbar i vardagen.
