Triangel är den enklaste figuren som är stängd på planet, bestående av endast tre sammanlänkade segment. I geometriproblem är det ofta nödvändigt att bestämma området för den här figuren. Vad behöver du veta för detta? I artikeln kommer vi att svara på frågan om hur man hittar arean av en triangel på tre sidor.
Allmän formel
Varje elev vet att arean av en triangel beräknas som produkten av längden på någon av dess sidor - a med halva höjden - h, sänkt till den valda sidan. Nedan är motsvarande formel: S=ah/2.
Detta uttryck kan användas om minst två sidor och värdet på vinkeln mellan dem är kända. I det här fallet är höjden h lätt att beräkna med hjälp av trigonometriska funktioner, som sinus. Men inte alla vet hur man hittar området på tre sidor av en triangel.
Heron's Formula
Denna formel är svaret på frågan om hurtre sidor hittar arean av triangeln. Innan vi skriver ner det, låt oss beteckna längden på segmenten av en godtycklig figur som a, b och c. Herons formel är skriven enligt följande: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Där p är figurens halva omkrets, dvs: p=(a+b+c)/2.
Trots den uppenbara krångligheten är uttrycket ovan för området S lätt att komma ihåg. För att göra detta måste du först beräkna triangelns halvomkrets, sedan subtrahera från den med en längd på sidan av figuren, multiplicera alla erhållna skillnader och själva semiomkretsen. Ta slutligen kvadratroten av produkten.
Denna formel är uppkallad efter Heron of Alexandria, som levde i början av vår tideräkning. Modern historia tror att det var denna filosof som först tillämpade detta uttryck för att utföra motsvarande beräkningar. Denna formel publiceras i hans Metrica, som går tillbaka till 60 e. Kr. Observera att några av verken av Archimedes, som levde två århundraden tidigare än Heron, innehåller tecken på att den grekiske filosofen redan kände till formeln. Dessutom visste de forntida kineserna också hur man hittade arean av en triangel med tre sidor.
Det är viktigt att notera att problemet kan lösas utan att känna till existensen av Herons formel. För att göra detta, rita ett par höjder i triangeln och använd den allmänna formeln från föregående stycke och kompilera lämpligt ekvationssystem.
Herons uttryck kan användas för att beräkna arean av godtyckliga polygoner, efter att ha delat upp dem itrianglar och beräkna längden på de resulterande diagonalerna.
Exempel på problemlösning
När vi vet hur man hittar arean av en triangel på tre sidor, låt oss konsolidera vår kunskap genom att lösa följande problem. Låt figurens sidor vara 5 cm, 4 cm och 3 cm. Hitta arean.
Tre sidor av en triangel är kända, så du kan använda Herons formel. Vi beräknar halvomkretsen och de nödvändiga skillnaderna, vi har:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Då får vi arean: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Triangeln som ges i problemets tillstånd är rätvinklig, vilket är lätt att kontrollera om du använder Pythagoras sats. Eftersom arean av en sådan triangel är hälften av produkten av benen får vi: S=43/2=6 cm2.
Det resulterande värdet är detsamma som för Herons formel, vilket bekräftar giltigheten av den senare.
