Triangulär pyramid och formler för att bestämma dess område

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 05:42

Pyramid är en geometrisk rumslig figur, vars egenskaper studeras på gymnasiet under loppet av solid geometri. I den här artikeln kommer vi att överväga en triangulär pyramid, dess typer, samt formler för att beräkna dess yta.

Vilken pyramid pratar vi om?

En triangulär pyramid är en figur som kan erhållas genom att koppla samman alla hörn i en godtycklig triangel med en enda punkt som inte ligger i denna triangels plan. Enligt denna definition ska den aktuella pyramiden bestå av en initial triangel, som kallas figurens bas, och tre sidotrianglar som har en gemensam sida med basen och är förbundna med varandra i en punkt. Den senare kallas toppen av pyramiden.

Bilden ovan visar en godtycklig triangulär pyramid.

Siffran som övervägs kan vara sned eller rak. I det senare fallet måste den vinkelräta som faller från toppen av pyramiden till dess bas skära den i det geometriska centrumet. det geometriska mitten av någontriangeln är skärningspunkten för dess medianer. Det geometriska centrumet sammanfaller med figurens masscentrum i fysik.

Om en regelbunden (liksidig) triangel ligger vid basen av en rak pyramid, kallas den en regelbunden triangulär. I en vanlig pyramid är alla sidor lika med varandra och är liksidiga trianglar.

Om höjden på en vanlig pyramid är sådan att dess sidotrianglar blir liksidiga, så kallas den en tetraeder. I en tetraeder är alla fyra ytorna lika med varandra, så var och en av dem kan betraktas som en bas.

Pyramidelement

Dessa element inkluderar ansikten eller sidorna av en figur, dess kanter, hörn, höjd och apotemer.

Som visas är alla sidor av en triangulär pyramid trianglar. Deras nummer är 4 (3 sida och en vid basen).

Hjälppunkterna är skärningspunkterna för de tre triangulära sidorna. Det är inte svårt att gissa att det för den aktuella pyramiden finns 4 av dem (3 tillhör basen och 1 till toppen av pyramiden).

Kanter kan definieras som linjer som skär två triangulära sidor, eller som linjer som förbinder varannan hörn. Antalet kanter motsvarar dubbla antalet bashörn, det vill säga för en triangulär pyramid är det 6 (3 kanter hör till basen och 3 kanter bildas av sidoytorna).

Höjden, som nämnts ovan, är längden på vinkelrät draget från toppen av pyramiden till dess bas. Om vi ritar höjder från denna vertex till varje sida av den triangulära basen,då kommer de att kallas apotem (eller apotemer). Således har den triangulära pyramiden en höjd och tre apotemer. De senare är lika med varandra för en vanlig pyramid.

Pyramidens bas och dess område

Eftersom basen för den aktuella figuren i allmänhet är en triangel, räcker det för att beräkna dess area att hitta dess höjd h_o och längden på sidan av basen a, på vilken den sänks. Formeln för arean S_o av basen är:

S_o=1/2h_oa

Om basens triangel är liksidig, beräknas arean av basen av den triangulära pyramiden med hjälp av följande formel:

S_o=√3/4a²

Det vill säga, området S_obestäms unikt av längden på sidan a av den triangulära basen.

Sido och total area av figuren

Innan du överväger området för en triangulär pyramid är det användbart att visa dess utveckling. Hon är på bilden nedan.

Arean av detta svep som bildas av fyra trianglar är pyramidens totala yta. En av trianglarna motsvarar basen, vars formel för det övervägda värdet skrevs ovan. Tre laterala triangulära ytor bildar tillsammans figurens laterala område. För att bestämma detta värde räcker det därför att tillämpa formeln ovan för en godtycklig triangel på var och en av dem och sedan lägga till de tre resultaten.

Om pyramiden är korrekt, då beräkningenlateral yta underlättas, eftersom alla sidoytor är identiska liksidiga trianglar. Beteckna h_blängden på apotem, då kan arean på sidoytan S_b bestämmas enligt följande:

S_b=3/2ah_b

Denna formel följer av det allmänna uttrycket för arean av en triangel. Siffran 3 dök upp i täljarna på grund av att pyramiden har tre sidoytor.

Apotema h_b i en vanlig pyramid kan beräknas om höjden på siffran h är känd. Genom att tillämpa Pythagoras sats får vi:

h_b=√(h²+ a²/12)

Självklart är den totala arean S av figurens yta lika med summan av dess sido- och basareor:

S=S_o+ S_b

För en vanlig pyramid, som ersätter alla kända värden, får vi formeln:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Arean av en triangulär pyramid beror bara på längden på sidan av dess bas och på höjden.

Exempelproblem

Det är känt att sidokanten på en triangulär pyramid är 7 cm och sidan av basen är 5 cm. Du måste hitta ytan på figuren om du vet att pyramiden är regelbundet.

Använd en allmän jämlikhet:

S=S_o+ S_b

Area S_oär lika med:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825 cm}2.

För att bestämma den laterala ytan måste du hitta apotema. Det är inte svårt att visa att genom sidokantens längd a_b bestäms den av formeln:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Då är området för S_b:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

Pyramidens totala yta är:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86cm².

Observera att när vi löste problemet använde vi inte värdet på pyramidhöjden i beräkningarna.