Världen är ordnad på ett sådant sätt att lösningen av ett stort antal problem handlar om att hitta rötterna till en andragradsekvation. Rötterna till ekvationer är viktiga för att beskriva olika mönster. Detta var känt till och med för lantmätarna i det forntida Babylon. Astronomer och ingenjörer tvingades också lösa sådana problem. Redan på 600-talet e. Kr. utvecklade den indiske vetenskapsmannen Aryabhata grunderna för att hitta rötterna till en andragradsekvation. Formlerna färdigställdes på 1800-talet.
Allmänna begrepp
Vi inbjuder dig att bekanta dig med de grundläggande regelbundenheterna för kvadratiska likheter. I allmänhet kan jämlikhet skrivas så här:
ax2 + bx + c=0, Antalet rötter i en andragradsekvation kan vara lika med en eller två. En snabb analys kan göras med begreppet diskriminant:
D=b2 - 4ac
Beroende på det beräknade värdet får vi:
- När D > 0 finns det två olika rötter. Den allmänna formeln för att bestämma rötterna till en andragradsekvation ser ut som (-b± √D) / (2a).
- D=0, i detta fall är roten ett och motsvarar värdet x=-b / (2a)
- D < 0, för ett negativt värde på diskriminanten finns det ingen lösning på ekvationen.
Notera: om diskriminanten är negativ har ekvationen inga rötter bara i området för reella tal. Om algebra utvidgas till begreppet komplexa rötter, så har ekvationen en lösning.
Låt oss ge en kedja av åtgärder som bekräftar formeln för att hitta rötter.
Från ekvationens allmänna form följer:
ax2 + bx=-c
Vi multiplicerar höger och vänster del med 4a och lägger till b2, vi får
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Omvandla vänster sida till kvadraten på polynomet (2ax + b)2. Vi extraherar kvadratroten ur båda sidor av ekvationen 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), överför koefficienten b till höger sida, vi får:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Härifrån följer:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Vad krävdes för att visa.
Specialfall
I vissa fall kan lösningen av problemet förenklas. Så för en jämn koefficient b får vi en enklare formel.
Beteckna k=1/2b, då har formeln för den allmänna formen av andragradsekvationens rötter formen:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
När D=0 får vi x=-k / a
Ett annat specialfall är lösningen av ekvationen med a=1.
För formen x2 + bx + c=0 kommer rötterna att vara x=-k ± √(k2 - c) med diskriminant större än 0. För det fall då D=0, kommer roten att bestämmas av en enkel formel: x=-k.
Använd diagram
Varje person, utan att ens veta om det, ställs ständigt inför fysiska, kemiska, biologiska och till och med sociala fenomen som beskrivs väl av en kvadratisk funktion.
Obs: kurvan byggd på grundval av en kvadratisk funktion kallas en parabel.
Här är några exempel.
- När man beräknar en projektils bana, används egenskapen att röra sig längs en parabel av en kropp som avfyras i en vinkel mot horisonten.
- Egenskapen hos en parabel att jämnt fördela belastningen används i stor utsträckning inom arkitektur.
När vi förstår vikten av den paraboliska funktionen, låt oss ta reda på hur man använder grafen för att utforska dess egenskaper, med hjälp av begreppen "diskriminant" och "rötter till en andragradsekvation".
Beroende på värdet av koefficienterna a och b finns det bara sex alternativ för kurvans position:
- Diskriminanten är positiv, a och b har olika tecken. Parabolens grenar tittar upp, andragradsekvationen har två lösningar.
- Diskriminant och koefficient b är lika med noll, koefficient a är större än noll. Grafen är i den positiva zonen, ekvationen har 1 rot.
- Driminanten och alla koefficienter är positiva. Andragradsekvationen har ingen lösning.
- Diskriminant och koefficient a är negativa, b är större än noll. Grafens grenar är riktade nedåt, ekvationen har två rötter.
- Diskriminant ochkoefficienten b är lika med noll, koefficienten a är negativ. Parabeln tittar ner, ekvationen har en rot.
- Värdena på diskriminanten och alla koefficienter är negativa. Det finns inga lösningar, funktionsvärdena ligger helt i den negativa zonen.
Obs: alternativet a=0 beaktas inte, eftersom parabeln i detta fall degenererar till en rak linje.
Allt ovanstående illustreras väl av figuren nedan.
Exempel på problemlösning
Villkor: använd de allmänna egenskaperna och gör en andragradsekvation vars rötter är lika med varandra.
Lösning:
enligt problemets tillstånd x1 =x2, eller -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Förenkla notationen:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, öppna parenteserna och ge liknande termer. Ekvationen blir 2√(b2 - 4ac)=0. Detta påstående är sant när b2 - 4ac=0, därav b 2=4ac, då ersätts värdet b=2√(ac) i ekvationen
ax2 + 2√(ac)x + c=0, i reducerad form får vi x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Svar:
för a som inte är lika med 0 och valfritt c, finns det bara en lösning om b=2√(c / a).
Kvadriska ekvationer, för all sin enkelhet, är av stor betydelse vid tekniska beräkningar. Nästan vilken fysisk process som helst kan beskrivas med en viss uppskattning med hjälp avmaktfunktioner av ordning n. Andragradsekvationen kommer att vara den första sådan approximation.
