Vissa matematiska problem kräver förmågan att beräkna kvadratroten. Dessa problem inkluderar att lösa andra ordningens ekvationer. I den här artikeln presenterar vi en effektiv metod för att beräkna kvadratrötter och använder den när vi arbetar med formler för rötterna i en andragradsekvation.
Vad är en kvadratrot?
I matematik motsvarar detta begrepp symbolen √. Historiska data säger att det började användas för första gången runt första hälften av 1500-talet i Tyskland (det första tyska verket om algebra av Christoph Rudolf). Forskare tror att denna symbol är en förvandlad latinsk bokstav r (radix betyder "rot" på latin).
Roten till ett tal är lika med ett sådant värde, vars kvadrat motsvarar rotuttrycket. På matematikens språk kommer denna definition att se ut så här: √x=y om y2=x.
Roten till ett positivt tal (x > 0) är ocksåett positivt tal (y > 0), men om roten tas från ett negativt tal (x < 0), kommer dess resultat redan att vara ett komplext tal, inklusive den imaginära enheten i.
Här är två enkla exempel:
√9=3 eftersom 32 =9; √(-9)=3i eftersom i2=-1.
Herons iterativa formel för att hitta kvadratrötter
Exemplen ovan är mycket enkla, och det är inte svårt att beräkna rötterna i dem. Svårigheter börjar dyka upp redan när man hittar rotvärdena för alla värden som inte kan representeras som en kvadrat av ett naturligt tal, till exempel √10, √11, √12, √13, för att inte tala om det faktum att det i praktiken är nödvändigt för att hitta rötter för icke-heltal: till exempel √(12, 15), √(8, 5) och så vidare.
I alla ovanstående fall bör en speciell metod för att beräkna kvadratroten användas. För närvarande är flera sådana metoder kända: till exempel expansion i en Taylor-serie, division med en kolumn och några andra. Av alla kända metoder är den kanske enklaste och mest effektiva användningen av Herons iterativa formel, som också är känd som den babyloniska metoden för att bestämma kvadratrötter (det finns bevis för att de gamla babylonierna använde den i sina praktiska beräkningar).
Låt det vara nödvändigt att bestämma värdet på √x. Formeln för att hitta kvadratroten är som följer:
an+1=1/2(a+x/a), där limn->∞(a)=> x.
Dechiffrera den här matematiska notationen. För att beräkna √x bör du ta ett tal a0 (det kan vara godtyckligt, men för ett snabbt resultat bör du välja det så att (a0) 2 var så nära x som möjligt, ersätt det sedan med den angivna kvadratrotsformeln och få ett nytt tal a1, som redan vara närmare det önskade värdet. det är nödvändigt att ersätta a1 i uttrycket och få ett2 Denna procedur bör upprepas tills den nödvändiga noggrannheten erhålls.
Ett exempel på tillämpning av Herons iterativa formel
Algorithmen som beskrivs ovan för att erhålla kvadratroten ur ett visst tal kan låta ganska komplicerat och förvirrande för många, men i verkligheten visar sig allt vara mycket enklare, eftersom denna formel konvergerar mycket snabbt (särskilt om ett lyckotal väljs till 0).
Låt oss ta ett enkelt exempel: vi måste beräkna √11. Vi väljer ett0=3, eftersom 32=9, vilket är närmare 11 än 42=16. Om vi byter in i formeln får vi:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Det är ingen idé att fortsätta beräkningarna, eftersom vi har fått fram att a2 och a3 börjar skilja sig åt endast i 5:e decimalen plats. Således räckte det att applicera endast 2 gånger formeln påberäkna √11 inom 0,0001.
För närvarande används miniräknare och datorer flitigt för att beräkna rötter, men det är användbart att komma ihåg den markerade formeln för att manuellt kunna beräkna deras exakta värde.
Andra ordningens ekvationer
Förstå vad en kvadratrot är och förmågan att beräkna den används när man löser andragradsekvationer. Dessa ekvationer är likheter med en okänd, vars allmänna form visas i figuren nedan.
Här är c, b och a några tal, och a får inte vara lika med noll, och värdena på c och b kan vara helt godtyckliga, inklusive noll.
Alla värden på x som uppfyller den likhet som anges i figuren kallas dess rötter (detta begrepp ska inte förväxlas med kvadratroten √). Eftersom ekvationen i fråga har den andra ordningen (x2), kan det inte finnas mer än två tal för dess rötter. Låt oss titta på hur man hittar dessa rötter senare i artikeln.
Hitta rötterna till en andragradsekvation (formel)
Denna metod för att lösa den övervägda typen av jämlikheter kallas också universell, eller metoden genom diskriminanten. Det kan appliceras på alla andragradsekvationer. Formeln för den andragradsekvationens diskriminant och rötter är följande:
Det visar att rötterna beror på värdet av var och en av de tre koefficienterna i ekvationen. Dessutom beräkningenx1 skiljer sig från beräkningen x2 endast med tecknet före kvadratroten. Det radikala uttrycket, som är lika med b2 - 4ac, är inget annat än diskriminanten för den betraktade jämlikheten. Diskriminanten i formeln för rötterna till en andragradsekvation spelar en viktig roll eftersom den bestämmer antalet och typen av lösningar. Så, om den är noll, kommer det bara att finnas en lösning, om den är positiv, då har ekvationen två reella rötter, slutligen leder den negativa diskriminanten till två komplexa rötter x1 och x 2.
Vietas sats eller några egenskaper hos rötterna i andra ordningens ekvationer
I slutet av 1500-talet kunde en av grundarna av modern algebra, fransmannen Francois Viet, som studerade andra ordningens ekvationer, erhålla egenskaperna hos dess rötter. Matematiskt kan de skrivas så här:
x1 + x2=-b / a och x1 x 2=c / a.
Båda likheterna kan lätt erhållas av vem som helst, för detta är det bara nödvändigt att utföra lämpliga matematiska operationer med rötterna som erhålls genom formeln med diskriminanten.
Kombinationen av dessa två uttryck kan med rätta kallas den andra formeln för rötterna till en andragradsekvation, vilket gör det möjligt att gissa dess lösningar utan att använda diskriminanten. Det bör noteras här att även om båda uttrycken alltid är giltiga, är det bekvämt att använda dem för att lösa en ekvation endast om den kan faktoriseras.
Uppgiften att konsolidera den förvärvade kunskapen
Låt oss lösa ett matematiskt problem där vi kommer att demonstrera alla tekniker som diskuteras i artikeln. Villkoren för problemet är följande: du måste hitta två tal för vilka produkten är -13, och summan är 4.
Detta villkor påminner omedelbart om Vietas sats, genom att tillämpa formlerna för summan av kvadratrötter och deras produkt, skriver vi:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Antar att a=1, då b=-4 och c=-13. Dessa koefficienter tillåter oss att skriva en andra ordningens ekvation:
x2 - 4x - 13=0.
Använd formeln med diskriminanten, vi får följande rötter:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Det vill säga, uppgiften reducerades till att hitta numret √68. Observera att 68=417, med hjälp av kvadratrotsegenskapen, får vi: √68=2√17.
Låt oss nu använda den övervägda kvadratrotsformeln: a0=4, sedan:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Det finns inget behov av att beräkna ett3 eftersom de hittade värdena skiljer sig med endast 0,02. Således, √68=8,246. Ersätter det med formeln för x 1, 2, vi får:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 och x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Som du kan se är summan av de hittade talen verkligen 4, men om du hittar deras produkt kommer den att vara lika med -12,999, som uppfyller problemets tillstånd med en noggrannhet på 0,001.
