Kvadriska ekvationer förekommer ofta i ett antal problem inom matematik och fysik, så varje elev bör kunna lösa dem. Den här artikeln beskriver de viktigaste metoderna för att lösa andragradsekvationer och ger också exempel på hur de används.
Vilken ekvation kallas kvadratisk
Först och främst kommer vi att svara på frågan i detta stycke för att bättre förstå vad artikeln kommer att handla om. Så, andragradsekvationen har följande allmänna form: c + bx+ax2=0, där a, b, c är några tal, som kallas koefficienter. Här är a≠0 ett obligatoriskt villkor, annars degenererar den angivna ekvationen till en linjär. De återstående koefficienterna (b, c) kan ta absolut alla värden, inklusive noll. Alltså uttryck som ax2=0, där b=0 och c=0, eller c+ax2=0, där b=0, eller bx+ax2=0, där c=0 också är andragradsekvationer, som kallas ofullständiga, eftersom antingen den linjära koefficienten b i dem är noll eller nollär en fri term c, annars försvinner de båda.
En ekvation där a=1 kallas reducerad, det vill säga den har formen: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Lösningen av en andragradsekvation är att hitta sådana x-värden som uppfyller dess likhet. Dessa värden kallas rötter. Eftersom ekvationen i fråga är ett uttryck för andra graden, betyder det att det maximala antalet rötter inte får överstiga två.
Vilka metoder för att lösa kvadratekvationer finns
I allmänhet finns det fyra lösningsmetoder. Deras namn är listade nedan:
- Factoring.
- Tillägg till torget.
- Med en känd formel (via diskriminanten).
- Lösningsmetoden är geometrisk.
Som du kan se från listan ovan är de tre första metoderna algebraiska, så de används oftare än den sista, vilket innebär att en funktion plottas.
Det finns ett annat sätt att lösa kvadratekvationer med hjälp av Vieta-satsen. Den skulle kunna inkluderas 5:e i listan ovan, men detta görs inte, eftersom Vietas sats är en enkel konsekvens av den 3:e metoden.
Längre fram i artikeln kommer vi att överväga de namngivna lösningsmetoderna mer i detalj och även ge exempel på hur de används för att hitta rötterna till specifika ekvationer.
Metod 1. Factoring
För den här metoden i matematiken för andragradsekvationer finns det en vackernamn: faktorisering. Kärnan i denna metod är som följer: det är nödvändigt att presentera kvadratiska ekvationen som en produkt av två termer (uttryck), som måste vara lika med noll. Efter en sådan representation kan du använda produktegenskapen, som bara är lika med noll när en eller flera (alla) dess medlemmar är noll.
Tänk nu på sekvensen av specifika åtgärder som måste utföras för att hitta rötterna till ekvationen:
- Flytta alla medlemmar till en del av uttrycket (till exempel till vänster) så att endast 0 finns kvar i dess andra del (höger).
- Representera summan av termerna i en del av ekvationen som en produkt av två linjära ekvationer.
- Ställ in vart och ett av de linjära uttrycken till noll och lös dem.
Som du kan se är faktoriseringsalgoritmen ganska enkel, men de flesta elever har svårigheter under implementeringen av den andra punkten, så vi kommer att förklara det mer detaljerat.
För att gissa vilka två linjära uttryck, när de multipliceras med varandra, som ger den önskade andragradsekvationen, måste du komma ihåg två enkla regler:
- Linjära koefficienter för två linjära uttryck, när de multipliceras med varandra, bör ge den första koefficienten i andragradsekvationen, det vill säga talet a.
- De fria termerna för linjära uttryck ska, när de multipliceras, ge talet c för den önskade ekvationen.
När alla antalet faktorer har v alts ska de multipliceras, och om de ger önskad ekvation, gå till steg 3 iovanstående algoritm, annars bör du ändra multiplikatorerna, men du måste göra detta så att ovanstående regler alltid följs.
Exempel på lösning med faktoriseringsmetod
Låt oss tydligt visa hur algoritmen för att lösa en andragradsekvation är att komponera och hitta okända rötter. Låt ett godtyckligt uttryck ges, till exempel 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Låt oss gå vidare till dess lösning och observera sekvensen av punkterna från 1 till 3, som anges i föregående stycke i artikeln.
Item 1. Flytta alla termer till vänster och ordna dem i den klassiska sekvensen för en andragradsekvation. Vi har följande likhet: 2x+(-8)+x2=0.
Item 2. Vi delar upp det i en produkt av linjära ekvationer. Eftersom a=1, och c=-8, kommer vi att välja till exempel en sådan produkt (x-2)(x+4). Det uppfyller reglerna för att hitta de förväntade faktorerna som anges i stycket ovan. Om vi öppnar parenteserna får vi: -8+2x+x2, det vill säga vi får exakt samma uttryck som på vänster sida av ekvationen. Det betyder att vi gissade multiplikatorerna korrekt och vi kan fortsätta till det tredje steget i algoritmen.
Artikel 3. Jämför varje faktor med noll, vi får: x=-4 och x=2.
Om det finns några tvivel om resultatet, rekommenderas det att kontrollera genom att ersätta de hittade rötterna i den ursprungliga ekvationen. I det här fallet har vi: 22+22-8=0 och 2(-4)+(-4)2 -8=0. Rötter hittades korrekt.
Sålunda, med hjälp av faktoriseringsmetoden, fann vi att den givna ekvationen har två rötter av olikahar: 2 och -4.
Metod 2. Komplettera till hela kvadraten
I algebra av kvadratiska ekvationer kan multiplikatormetoden inte alltid användas, eftersom i fallet med bråkvärden av koefficienterna för den kvadratiska ekvationen, uppstår svårigheter vid implementeringen av paragraf 2 i algoritmen.
Fullkvadratmetoden är i sin tur universell och kan tillämpas på andragradsekvationer av vilken typ som helst. Dess kärna är att utföra följande operationer:
- Termen i ekvationen som innehåller koefficienterna a och b måste överföras till en del av ekvationen och den fria termen c till den andra.
- Nästa ska delarna av likheten (höger och vänster) divideras med koefficienten a, det vill säga presentera ekvationen i reducerad form (a=1).
- Summa termerna med koefficienterna a och b för att representera som en kvadrat av en linjär ekvation. Eftersom en \u003d 1, då den linjära koefficienten kommer att vara lika med 1, som för den fria termen för den linjära ekvationen, bör den vara lika med halva den linjära koefficienten för den reducerade kvadratiska ekvationen. Efter att kvadraten på det linjära uttrycket har ritats upp, är det nödvändigt att lägga till motsvarande tal till höger sida av likheten, där den fria termen finns, vilket erhålls genom att expandera kvadraten.
- Ta kvadratroten med "+" och "-"-tecken och lös den linjära ekvationen som redan erhållits.
Den beskrivna algoritmen kan vid första anblicken uppfattas som ganska komplicerad, men i praktiken är den lättare att implementera än faktoriseringsmetoden.
Ett exempel på en lösning som använder hela kvadratkomplementet
Låt oss ge ett exempel på en andragradsekvation för att träna sin lösning med metoden som beskrivs i föregående stycke. Låt andragradsekvationen -10 - 6x+5x2=0. Vi börjar lösa den enligt algoritmen som beskrivs ovan.
Item 1. Vi använder överföringsmetoden när vi löser kvadratekvationer, vi får: - 6x+5x2=10.
Punkt 2. Den reducerade formen av denna ekvation erhålls genom att dividera med talet 5 för var och en av dess medlemmar (om båda delarna divideras eller multipliceras med samma tal, kommer likheten att bevaras). Som ett resultat av transformationerna får vi: x2 - 6/5x=2.
Artikel 3. Hälften av koefficienten - 6/5 är -6/10=-3/5, använd detta nummer för att fylla i kvadraten, vi får: (-3/5+x) 2 . Vi expanderar den och den resulterande fria termen bör subtraheras från den vänstra sidan av likheten för att tillfredsställa den ursprungliga formen av andragradsekvationen, vilket motsvarar att addera den till den högra sidan. Som ett resultat får vi: (-3/5+x)2=59/25.
Item 4. Beräkna kvadratroten med positiva och negativa tecken och hitta rötterna: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. De två hittade rötterna har följande värden: x1=(√59+3)/5 och x1=(3-√59)/5.
Eftersom de utförda beräkningarna är relaterade till rötter är det stor sannolikhet att göra ett misstag. Därför rekommenderas det att kontrollera att rötterna x2 och x1 är korrekta. Vi får för x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Ersätt nux2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0, Vi har alltså visat att de hittade rötterna till ekvationen är sanna.
Metod 3. Tillämpning av den välkända formeln
Denna metod för att lösa andragradsekvationer är kanske den enklaste, eftersom den består i att ersätta koefficienterna med en känd formel. För att använda det behöver du inte tänka på att kompilera lösningsalgoritmer, det räcker med att bara komma ihåg en formel. Det visas på bilden ovan.
I denna formel kallas det radikala uttrycket (b2-4ac) diskriminanten (D). Från dess värde beror på vilka rötter som erhålls. Det finns 3 fall:
- D>0, då har rot två-ekvationen reella och olika.
- D=0, då får man roten, som kan beräknas från uttrycket x=-b/(a2).
- D<0, då får du två olika imaginära rötter, som representeras som komplexa tal. Till exempel är talet 3-5i komplext, medan den imaginära enheten i uppfyller egenskapen: i2=-1.
Ett exempel på en lösning genom att beräkna diskriminanten
Låt oss ge ett exempel på en andragradsekvation att öva på att använda formeln ovan. Hitta rötterna för -3x2-6+3x+4x=0. Beräkna först värdet på diskriminanten, vi får: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Eftersom D<0 erhålls betyder det att rötterna till den betraktade ekvationen är komplexa tal. Låt oss hitta dem genom att ersätta det hittade värdet D i formeln som ges i föregående stycke (det visas också på bilden ovan). Vi får: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Metod 4. Använda funktionsdiagram
Det kallas också den grafiska metoden för att lösa kvadratekvationer. Det bör sägas att det som regel inte används för kvantitativ, utan för kvalitativ analys av den aktuella ekvationen.
Kärnan i metoden är att plotta en kvadratisk funktion y=f(x), som är en parabel. Sedan är det nödvändigt att bestämma vid vilka punkter parabeln skär x-axeln (X), de kommer att vara rötterna till motsvarande ekvation.
För att se om en parabel kommer att skära X-axeln, räcker det att veta positionen för dess minimum (maximum) och riktningen för dess grenar (de kan antingen öka eller minska). Det finns två egenskaper för denna kurva att komma ihåg:
- Om a>0 - grenens paraboler är riktade uppåt, tvärtom, om a<0, så går de ner.
- Minsta (maximala) koordinat för en parabel är alltid x=-b/(2a).
Du måste till exempel avgöra om ekvationen -4x+5x2+10=0 har rötter. Motsvarande parabel kommer att riktas uppåt, eftersom en=5>0. Dess extremum har koordinater: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Sedan kurvans minimum ligger ovanför x-axeln (y=9, 2), då skär den inte den senare för ev.x-värden. Det vill säga, den givna ekvationen har inga riktiga rötter.
Vietas teorem
Som noterats ovan är denna sats en konsekvens av metod nr 3, som är baserad på tillämpningen av en formel med en diskriminant. Kärnan i Vieta-satsen är att den låter dig koppla ekvationens koefficienter och dess rötter till likhet. Låt oss få motsvarande jämlikheter.
Låt oss använda formeln för att beräkna rötterna genom diskriminanten. Lägg till två rötter, vi får: x1+x2=-b/a. Låt oss nu multiplicera rötterna med varandra: x1x2, efter en rad förenklingar får vi talet c/a.
För att lösa andragradsekvationerna med Vieta-satsen kan du alltså använda de erhållna två likheterna. Om alla tre koefficienterna i en ekvation är kända, kan rötterna hittas genom att lösa det lämpliga systemet av dessa två ekvationer.
Ett exempel på användning av Vietas teorem
Du måste skriva en andragradsekvation om du vet att den har formen x2+c=-bx och dess rötter är 3 och -4.
Eftersom a=1 i ekvationen under övervägande kommer Vieta-formlerna att se ut så här: x2+x1=-b och x2x1=sid. Genom att ersätta de kända värdena på rötterna får vi: b=1 och c=-12. Som ett resultat kommer den återställda andragradsreducerade ekvationen att se ut så här: x2-12=-1x. Du kan ersätta värdet av rötterna i det och se till att jämlikheten håller.
Omvänd tillämpning av Vieta-satsen, det vill säga beräkningen av rötterna medkänd form av ekvationen, tillåter små heltal a, b och c för att snabbt (intuitivt) hitta lösningar.
