Den här artikeln kommer att fokusera på en speciell del av matematiken som kallas kombinatorik. Formler, regler, exempel på problemlösning - allt detta hittar du här genom att läsa artikeln till slutet.
Så, vad är det här avsnittet? Combinatorics behandlar frågan om att räkna några objekt. Men i det här fallet är föremålen inte plommon, päron eller äpplen, utan något annat. Kombinatorik hjälper oss att hitta sannolikheten för en händelse. Till exempel, när man spelar kort, vad är sannolikheten att motståndaren har ett trumfkort? Eller ett sådant exempel - vad är sannolikheten att du får exakt vitt från en påse med tjugo bollar? Det är för den här typen av uppgifter som vi åtminstone behöver känna till grunderna i den här delen av matematiken.
Kombinatoriska konfigurationer
Med tanke på frågan om kombinatorikens grundläggande begrepp och formler kan vi inte annat än uppmärksamma kombinatoriska konfigurationer. De används inte bara för formulering, utan också för att lösa olika kombinatoriska problem. Exempel på sådana modeller är:
- placement;
- permutation;
- kombination;
- nummersammansättning;
- delat nummer.
Vi kommer att prata om de tre första mer i detalj senare, men vi kommer att vara uppmärksamma på komposition och uppdelning i det här avsnittet. När de talar om sammansättningen av ett visst tal (säg, a), menar de representationen av talet a som en ordnad summa av några positiva tal. Och en split är en oordnad summa.
Sektioner
Innan vi går direkt till kombinatorikens formler och övervägandet av problem, är det värt att uppmärksamma det faktum att kombinatoriken, liksom andra delar av matematiken, har sina egna underavdelningar. Dessa inkluderar:
- enumerative;
- strukturell;
- extrem;
- Ramsey-teori;
- probabilistic;
- topologiska;
- oändlig.
I det första fallet talar vi om enumerativ kombinatorik, problemen överväger uppräkning eller räkning av olika konfigurationer som bildas av element i mängder. Som regel läggs vissa begränsningar på dessa uppsättningar (särskiljbarhet, omöjlighet att särskilja, möjligheten till upprepning och så vidare). Och antalet av dessa konfigurationer beräknas med hjälp av regeln för addition eller multiplikation, som vi kommer att prata om lite senare. Strukturell kombinatorik inkluderar teorierna om grafer och matroider. Ett exempel på ett extremal kombinatorikproblem är vad som är den största dimensionen av en graf som uppfyller följande egenskaper… I fjärde stycket nämnde vi Ramsey-teorin, som studerar förekomsten av reguljära strukturer i slumpmässiga konfigurationer. Probabilistiskkombinatorik kan svara på frågan - vad är sannolikheten att en given mängd har en viss egenskap. Som du kanske kan gissa, tillämpar topologisk kombinatorik metoder inom topologi. Och slutligen, den sjunde punkten - infinitär kombinatorik studerar tillämpningen av kombinatoriska metoder på oändliga mängder.
tilläggsregel
Bland kombinatorikens formler kan man hitta ganska enkla sådana, som vi varit bekanta med länge. Ett exempel är summaregeln. Anta att vi får två handlingar (C och E), om de utesluter varandra, kan åtgärd C utföras på flera sätt (till exempel a), och åtgärd E kan utföras på b-vägar, då vilken som helst av dem (C eller E) kan göras på ett + b sätt.
I teorin är detta ganska svårt att förstå, vi ska försöka förmedla hela poängen med ett enkelt exempel. Låt oss ta det genomsnittliga antalet elever i en klass – låt oss säga att det är tjugofem. Bland dem finns femton flickor och tio pojkar. En skötare tilldelas klassen dagligen. Hur många sätt finns det att tilldela en klassvärd idag? Lösningen på problemet är ganska enkel, vi kommer att tillgripa additionsregeln. Uppgiftstexten säger inte att endast pojkar eller bara flickor kan vara i tjänst. Därför kan det vara vilken som helst av de femton tjejerna eller någon av de tio killarna. Genom att tillämpa summaregeln får vi ett ganska enkelt exempel som en grundskoleelev lätt klarar av: 15 + 10. Efter att ha räknat får vi svaret: tjugofem. Det vill säga, det finns bara tjugofem sätttilldela en pliktklass för idag.
Multiplikationsregel
Regeln för multiplikation hör också till kombinatorikens grundformler. Låt oss börja med teori. Anta att vi behöver utföra flera åtgärder (a): den första åtgärden utförs på 1 sätt, den andra - på 2 sätt, den tredje - på 3 sätt, och så vidare tills den sista a-åtgärden utförs på sa sätt. Då kan alla dessa åtgärder (som vi har tot alt) utföras på N sätt. Hur beräknar man det okända N? Formeln hjälper oss med detta: N \u003d c1c2c3…ca.
Återigen, ingenting är klart i teorin, låt oss gå vidare till ett enkelt exempel på att tillämpa multiplikationsregeln. Låt oss ta samma klass på tjugofem personer, där femton flickor och tio pojkar studerar. Bara den här gången behöver vi välja två skötare. De kan vara antingen bara pojkar eller flickor, eller en pojke med en flicka. Vi vänder oss till den elementära lösningen av problemet. Vi väljer den första skötaren, som vi bestämde i sista stycket får vi tjugofem möjliga alternativ. Den andra tjänstgörande personen kan vara vilken som helst av de återstående personerna. Vi hade tjugofem elever, vi valde en, vilket innebär att vilken som helst av de återstående tjugofyra personerna kan vara den andra i tjänst. Slutligen tillämpar vi multiplikationsregeln och finner att de två åtföljarna kan väljas på sexhundra sätt. Vi fick detta tal genom att multiplicera tjugofem och tjugofyra.
Swap
Nu ska vi överväga ytterligare en kombinatorisk formel. I det här avsnittet av artikeln, viLåt oss prata om permutationer. Överväg problemet omedelbart med ett exempel. Låt oss ta biljardbollar, vi har n:te antal av dem. Vi måste beräkna: hur många alternativ det finns för att ordna dem i rad, det vill säga att göra en beställd uppsättning.
Låt oss börja, om vi inte har bollar så har vi också nollplacerings alternativ. Och om vi har en boll, är arrangemanget också detsamma (matematiskt kan detta skrivas enligt följande: Р1=1). Två bollar kan arrangeras på två olika sätt: 1, 2 och 2, 1. Därför är Р2=2. Tre bollar kan arrangeras på sex sätt (Р3=6): 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 2, 1; 3, 1, 2. Och om det inte finns tre sådana bollar, utan tio eller femton? Att lista alla möjliga alternativ är väldigt långt, då kommer kombinatorik till vår hjälp. Permutationsformeln hjälper oss att hitta svaret på vår fråga. Pn=nP(n-1). Om vi försöker förenkla formeln får vi: Pn=n (n - 1) … 21. Och detta är produkten av de första naturliga talen. Ett sådant tal kallas en faktor och betecknas som n!
Låt oss överväga problemet. Ledaren bygger varje morgon sin avskildhet i en rad (tjugo personer). Det finns tre bästa vänner i avdelningen - Kostya, Sasha och Lesha. Vad är sannolikheten att de kommer att ligga bredvid varandra? För att hitta svaret på frågan måste du dividera sannolikheten för ett "bra" utfall med det totala antalet utfall. Det totala antalet permutationer är 20!=2,5 kvintiljoner. Hur räknar man antalet "bra" resultat? Anta att Kostya, Sasha och Lesha är en superman. Då viVi har bara arton ämnen. Antalet permutationer i detta fall är 18=6,5 kvadriljoner. Med allt detta kan Kostya, Sasha och Lesha godtyckligt röra sig sinsemellan i sin odelbara trippel, och det här är 3 till!=6 alternativ. Så vi har tot alt 18 "bra" konstellationer! 3! Vi måste bara hitta önskad sannolikhet: (18!3!) / 20! Vilket är ungefär 0,016. Om det omvandlas till en procentandel visar det sig att det bara är 1,6%.
Boende
Nu ska vi överväga en annan mycket viktig och nödvändig kombinatorisk formel. Boende är vårt nästa nummer, som vi föreslår att du överväger i det här avsnittet av artikeln. Vi kommer att bli mer komplicerade. Låt oss anta att vi vill överväga möjliga permutationer, bara inte från hela mängden (n), utan från en mindre (m). Det vill säga, vi betraktar permutationer av n objekt med m.
Kombinatorikens grundläggande formler bör inte bara memoreras utan förstås. Även trots att de blir mer komplicerade, eftersom vi inte har en parameter, utan två. Antag att m \u003d 1, sedan A \u003d 1, m \u003d 2, sedan A \u003d n(n - 1). Om vi ytterligare förenklar formeln och byter till notation med hjälp av faktorialer får vi en ganska kortfattad formel: A \u003d n! / (n - m)!
kombination
Vi har övervägt nästan alla grundformler för kombinatorik med exempel. Låt oss nu gå vidare till det sista stadiet av att överväga grundkursen i kombinatorik - lära känna kombinationen. Nu kommer vi att välja m objekt från det n vi har, medan vi kommer att välja alla på alla möjliga sätt. Hur skiljer sig då detta från boende? Vi kommer inteöverväga ordning. Denna oordnade uppsättning kommer att vara en kombination.
Introducera omedelbart notationen: C. Vi tar placeringar av m bollar ur n. Vi slutar uppmärksamma ordning och får upprepade kombinationer. För att få antalet kombinationer måste vi dividera antalet placeringar med m! (m faktoriell). Det vill säga C \u003d A / m! Det finns alltså några sätt att välja mellan n bollar, ungefär lika med hur många att välja nästan allt. Det finns ett logiskt uttryck för detta: att välja lite är detsamma som att slänga nästan allt. Det är också viktigt att nämna nu att det maximala antalet kombinationer kan uppnås när man försöker välja hälften av objekten.
Hur väljer man en formel för att lösa ett problem?
Vi har undersökt de grundläggande formlerna för kombinatorik i detalj: placering, permutation och kombination. Nu är vår uppgift att underlätta valet av den nödvändiga formeln för att lösa problemet i kombinatorik. Du kan använda följande ganska enkla schema:
- Fråga dig själv: beaktas ordningen på elementen i problemets text?
- Om svaret är nej, använd då kombinationsformeln (C=n! / (m!(n - m)!)).
- Om svaret är nej måste du svara på en fråga till: ingår alla element i kombinationen?
- Om svaret är ja, använd sedan permutationsformeln (P=n!).
- Om svaret är nej, använd sedan allokeringsformeln (A=n! / (n - m)!).
Exempel
Vi har övervägt delarna av kombinatorik, formler och några andra frågor. Låt oss nu gå vidare tillöverväger ett verkligt problem. Föreställ dig att du har en kiwi, en apelsin och en banan framför dig.
Fråga ett: på hur många sätt kan de ordnas om? För att göra detta använder vi permutationsformeln: P=3!=6 sätt.
Fråga två: på hur många sätt kan en frukt väljas? Detta är uppenbart, vi har bara tre alternativ - välj kiwi, apelsin eller banan, men vi tillämpar kombinationsformeln: C \u003d 3! / (2!1!)=3.
Fråga tre: på hur många sätt kan två frukter väljas? Vilka alternativ har vi? Kiwi och apelsin; kiwi och banan; apelsin och banan. Det vill säga tre alternativ, men detta är lätt att kontrollera med kombinationsformeln: C \u003d 3! / (1!2!)=3
Fråga fyra: på hur många sätt kan tre frukter väljas? Som du kan se finns det bara ett sätt att välja tre frukter: ta en kiwi, en apelsin och en banan. C=3! / (0!3!)=1.
Fråga fem: hur många sätt kan du välja minst en frukt? Detta tillstånd innebär att vi kan ta en, två eller alla tre frukterna. Därför lägger vi till C1 + C2 + C3=3 + 3 + 1=7. Det vill säga, vi har sju sätt att ta minst en bit frukt från bordet.
