Planimetri är en gren av geometrin som studerar egenskaperna hos plana figurer. Dessa inkluderar inte bara välkända trianglar, kvadrater, rektanglar, utan även raka linjer och vinklar. Inom planimetri finns det också sådana begrepp som vinklar i en cirkel: central och inskriven. Men vad betyder de?
Vad är den centrala vinkeln?
För att förstå vad en central vinkel är måste du definiera en cirkel. En cirkel är en samling av alla punkter på samma avstånd från en given punkt (cirkelns mitt).
Det är mycket viktigt att skilja den från en cirkel. Man måste komma ihåg att en cirkel är en sluten linje, och en cirkel är en del av ett plan som begränsas av den. En polygon eller en vinkel kan skrivas in i en cirkel.
En mittvinkel är en vinkel vars spets sammanfaller med cirkelns mittpunkt och vars sidor skär cirkeln i två punkter. Bågen, som vinkeln begränsar av skärningspunkter, kallas den båge som den givna vinkeln vilar på.
Tänk på exempel 1.
På bilden är vinkeln AOB central, eftersom vinkelns spets och cirkelns centrum är en punkt O. Den vilar på bågen AB, som inte innehåller punkt C.
Hur skiljer sig en inskriven vinkel från en central?
Men förutom de centrala finns det även inskrivna vinklar. Vad är deras skillnad? Precis som den centrala vilar vinkeln inskriven i en cirkel på en viss båge. Men dess spets sammanfaller inte med cirkelns centrum, utan ligger på den.
Låt oss ta följande exempel.
Vinkel ACB kallas en vinkel inskriven i en cirkel som är centrerad i punkten O. Punkten C tillhör cirkeln, det vill säga ligger på den. Vinkeln vilar på bågen AB.
Vilken är den centrala vinkeln
För att framgångsrikt klara av problem inom geometri räcker det inte att kunna skilja mellan inskrivna och centrala vinklar. För att lösa dem måste du som regel veta exakt hur du hittar den centrala vinkeln i en cirkel och kunna beräkna dess värde i grader.
Så, den centrala vinkeln är lika med gradmåttet på bågen den vilar på.
På bilden vilar vinkeln AOB på bågen AB lika med 66°. Så vinkeln AOB är också lika med 66°.
De centrala vinklarna baserade på lika bågar är alltså lika.
I figuren är båge DC lika med båge AB. Så vinkel AOB är lika med vinkel DOC.
Hur man hittar en inskriven vinkel
Det kan tyckas som om vinkeln inskriven i cirkeln är lika med mittvinkeln,som förlitar sig på samma båge. Detta är dock ett grovt misstag. I själva verket, även om du bara tittar på ritningen och jämför dessa vinklar med varandra, kan du se att deras gradmått kommer att ha olika värden. Så vad är vinkeln inskriven i cirkeln?
Gradmåttet för en inskriven vinkel är hälften av den båge den vilar på, eller halva mittvinkeln om de förlitar sig på samma båge.
Låt oss ta ett exempel. Vinkel ACB är baserad på en båge lika med 66°.
Så vinkeln DIA=66°: 2=33°
Låt oss överväga några konsekvenser av detta teorem.
- Inskrivna vinklar, om de är baserade på samma båge, ackord eller lika bågar, är lika.
- Om de inskrivna vinklarna är baserade på samma korda, men deras hörn ligger på motsatta sidor av det, är summan av gradmåtten för sådana vinklar 180°, eftersom båda vinklarna i detta fall är baserade på bågar, vars totala gradmått är 360° (hel cirkel), 360°: 2=180°
- Om den inskrivna vinkeln är baserad på diametern av den givna cirkeln, är dess gradmått 90°, eftersom diametern understryker en båge lika med 180°, 180°: 2=90°
- Om de centrala och inskrivna vinklarna i en cirkel är baserade på samma båge eller ackord, är den inskrivna vinkeln lika med hälften av den centrala.
Var kan problem i detta ämne hittas? Deras typer och lösningar
Eftersom cirkeln och dess egenskaper är en av de viktigaste delarna av geometrin, i synnerhet planimetri, är de inskrivna och centrala vinklarna i cirkeln ett ämne som är brett och i detaljstuderade i skolans läroplan. Uppgifter som ägnas åt deras egenskaper finns i huvudprovet (OGE) och unified state-provet (USE). För att lösa dessa problem bör du i regel hitta vinklarna på cirkeln i grader.
Vinklar baserade på samma båge
Den här typen av problem är kanske en av de enklaste, eftersom för att lösa det behöver du bara känna till två enkla egenskaper: om båda vinklarna är inskrivna och lutar mot samma ackord, är de lika, om en av dem är central, då är motsvarande inskrivna vinkel lika med hälften av den. Men när man löser dem måste man vara extremt försiktig: ibland är det svårt att lägga märke till denna egenskap, och studenter, när de löser sådana enkla problem, hamnar i en återvändsgränd. Tänk på ett exempel.
Problem 1
Givet en cirkel centrerad i punkt O. Vinkel AOB är 54°. Hitta gradmåttet för vinkeln DIA.
Denna uppgift löses i ett steg. Det enda du behöver för att snabbt hitta svaret på det är att lägga märke till att bågen som båda hörnen vilar på är en vanlig. När du ser detta kan du använda den redan bekanta egenskapen. Vinkel ACB är halva vinkeln AOB. Så
1) AOB=54°: 2=27°.
Answer: 54°.
Vinklar baserade på olika bågar av samma cirkel
Ibland är storleken på den båge som den erforderliga vinkeln vilar på inte direkt specificerad i förhållandena för problemet. För att kunna beräkna den måste du analysera storleken på dessa vinklar och jämföra dem med cirkelns kända egenskaper.
Problem 2
I en cirkel centrerad vid O, vinkel AOCär 120° och vinkeln AOB är 30°. Hitta hörnet DU.
Till att börja med är det värt att säga att det är möjligt att lösa detta problem med hjälp av egenskaperna hos likbenta trianglar, men detta kommer att kräva mer matematiska operationer. Därför kommer vi här att analysera lösningen med hjälp av egenskaperna för centrala och inskrivna vinklar i en cirkel.
Så, vinkeln AOC vilar på bågen AC och är central, vilket betyder att bågen AC är lika med vinkeln AOC.
AC=120°
På samma sätt vilar vinkeln AOB på bågen AB.
AB=30°.
När du känner till detta och gradmåttet för hela cirkeln (360°), kan du enkelt hitta storleken på bågen BC.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Vinkel CAB, punkt A, ligger på cirkeln. Följaktligen är vinkeln CAB inskriven och lika med hälften av bågen CB.
CAB-vinkel=210°: 2=110°
Svar: 110°
Problem baserade på bågförhållanden
Vissa problem innehåller inte data om vinklar alls, så de behöver sökas endast baserat på kända satser och egenskaper hos en cirkel.
Problem 1
Hitta vinkeln inskriven i en cirkel som stöds av ett korda som är lika med radien för den givna cirkeln.
Om du ment alt ritar linjer som förbinder segmentets ändar med cirkelns mitt, får du en triangel. Efter att ha undersökt det kan du se att dessa linjer är cirkelns radier, vilket betyder att alla sidor i triangeln är lika. Vi vet att alla vinklar i en liksidig triangelär lika med 60°. Därför är bågen AB som innehåller triangelns vertex lika med 60°. Härifrån hittar vi bågen AB, på vilken den önskade vinkeln är baserad.
AB=360° - 60°=300°
Angle ABC=300°: 2=150°
Svar: 150°
Problem 2
I en cirkel centrerad i punkt O är bågarna relaterade till 3:7. Hitta den mindre inskrivna vinkeln.
För lösningen betecknar vi en del som X, då är en båge lika med 3X och den andra 7X. Genom att veta att gradmåttet för en cirkel är 360° kan vi skriva en ekvation.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Beroende på skicket måste du hitta en mindre vinkel. Uppenbarligen, om värdet på vinkeln är direkt proportionell mot bågen som den vilar på, så motsvarar den erforderliga (mindre) vinkeln en båge lika med 3X.
Så den mindre vinkeln är (36°3): 2=108°: 2=54°
Svar: 54°
Problem 3
I en cirkel centrerad i punkt O är vinkeln AOB 60° och längden på den mindre bågen är 50. Beräkna längden på den större bågen.
För att beräkna längden på en större båge måste du göra en proportion - hur den mindre bågen förhåller sig till den större. För att göra detta beräknar vi storleken på båda bågarna i grader. Den mindre bågen är lika med vinkeln som vilar på den. Dess gradmått är 60°. Den större bågen är lika med skillnaden mellan cirkelns gradmått (den är lika med 360° oavsett andra data) och den mindre bågen.
Den stora bågen är 360° - 60°=300°.
Eftersom 300°: 60°=5 är den större bågen 5 gånger den mindre.
Stor båge=505=250
Svar: 250
Så, naturligtvis, det finns andrametoder för att lösa liknande problem, men alla är på något sätt baserade på egenskaperna hos centrala och inskrivna vinklar, trianglar och cirklar. För att framgångsrikt lösa dem måste du noggrant studera ritningen och jämföra den med uppgifterna om problemet, samt kunna tillämpa dina teoretiska kunskaper i praktiken.
