Inskriven fyrhörning i en cirkel. Fyrhörning ABCD är inskrivet i en cirkel

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

Med indelningen av matematik i algebra och geometri blir utbildningsmaterialet svårare. Nya figurer och deras speciella fall dyker upp. För att förstå materialet väl är det nödvändigt att studera objektens begrepp, egenskaper och relaterade satser.

Allmänna begrepp

En fyrhörning betyder en geometrisk figur. Den består av 4 punkter. Dessutom är 3 av dem inte placerade på samma raka linje. Det finns segment som kopplar de angivna punkterna i serie.

Alla fyrhörningar som studerats i skolans geometrikurs visas i följande diagram. Slutsats: alla objekt från den presenterade figuren har egenskaperna hos den föregående figuren.

En fyrhörning kan vara av följande typer:

Parallelogram. Parallellen mellan dess motsatta sidor bevisas av motsvarande satser.
Trapes. En fyrhörning med parallella baser. De andra två partierna är inte det.
Rektangel. En figur som har alla fyra hörnen=90º.
Rhombus. En figur med alla sidor lika.
Kvadrat. Kombinerar egenskaperna för de två sista figurerna. Den har alla sidor lika och alla vinklar är räta.

Huvuddefinitionen av detta ämne är en fyrhörning inskriven i en cirkel. Den består av följande. Detta är en figur runt vilken en cirkel beskrivs. Den måste passera genom alla hörn. De inre vinklarna för en fyrhörning inskriven i en cirkel summerar till 360º.

Inte alla fyrhörningar kan inskrivas. Detta beror på det faktum att de vinkelräta halvledarna på de fyra sidorna kanske inte skär varandra vid en punkt. Detta gör det omöjligt att hitta mitten av en cirkel som omger en 4-gon.

Specialfall

Det finns undantag från varje regel. Så i det här ämnet finns det också specialfall:

Ett parallellogram som sådant kan inte skrivas in i en cirkel. Bara hans speciella fall. Det är en rektangel.
Om alla hörn på en romb är på den omgivande linjen, är det en kvadrat.
Alla hörn i trapetsen är på cirkelns gräns. I det här fallet talar de om en likbent figur.

Egenskaper för en inskriven fyrhörning i en cirkel

Innan du löser enkla och komplexa problem om ett givet ämne måste du verifiera dina kunskaper. Utan att studera utbildningsmaterialet är det omöjligt att lösa ett enda exempel.

Sats 1

Summan av de motsatta vinklarna på en fyrhörning inskriven i en cirkel är 180º.

egenskaper hos en inskriven fyrhörning i en cirkel

Proof

Givet: fyrhörning ABCD är inskrivet i en cirkel. Dess centrum är punkt O. Vi måste bevisa att _<A + _<C=180º och _< B + _<D=180º.

Behöver överväga de presenterade siffrorna.

_{<A är inskrivet i en cirkel centrerad vid punkten O. Den mäts genom ½ BCD (halv båge).}

_{<C är inskrivet i samma cirkel. Den mäts genom ½ BAD (halvbåge).}
BAD och BCD bildar en hel cirkel, d.v.s. deras magnitud är 360º.

_<A + _{<C är lika med halva summan av de representerade halvbågarna.}

Därav _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

vinklar på en fyrhörning inskriven i en cirkel

På ett liknande sätt, beviset för _<B och _{<D. Det finns dock en andra lösning på problemet.}

Det är känt att summan av de inre vinklarna i en fyrhörning är 360º.

Because _<A + _<C=180º. Följaktligen _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Sats 2

(Det kallas ofta invers) Om i en fyrhörning _<A + _<C=180º och _{<B +} <_{D=180º (om de är motsatta), då kan en cirkel beskrivas runt en sådan figur.}

Proof

Summan av motsatta vinklar på fyrhörningen ABCD lika med 180º ges. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Vi måste bevisa att en cirkel kan omskrivas runt ABCD.}

Från geometrikursen är det känt att en cirkel kan ritas genom 3 punkter på en fyrhörning. Du kan till exempel använda punkterna A, B, C. Var kommer punkt D att ligga? Det finns 3 gissningar:

Hon hamnar inne i cirkeln. I det här fallet rör D inte linjen.
Utanför cirkeln. Hon kliver långt utanför den skisserade linjen.
Det visar sig på en cirkel.

Det bör antas att D är inuti cirkeln. Platsen för det angivna hörnet upptas av D´. Det visar sig fyrhörning ABCD´.

Resultatet är:_<B + _<D´=2d.

Om vi fortsätter AD´ till skärningen med den befintliga cirkeln centrerad i punkt E och kopplar E och C, får vi en inskriven fyrhörning ABCE. Från den första satsen följer likheten:

I enlighet med geometrins lagar är uttrycket inte giltigt eftersom _<D´ är det yttre hörnet av triangeln CD´E. Följaktligen bör den vara mer än _{<E. Av detta kan vi dra slutsatsen att D måste vara antingen på cirkeln eller utanför den.}

På liknande sätt kan det tredje antagandet bevisas vara fel när D´´ går utanför gränsen för den beskrivna figuren.

Från två hypoteser följer den enda korrekta. Vertex D ligger på cirkellinjen. Med andra ord sammanfaller D med E. Det följer att alla punkter på fyrhörningen är belägna på den beskrivna linjen.

Från dessatvå satser, följderna följer:

Val som helst rektangel kan skrivas in i en cirkel. Det finns en annan konsekvens. En cirkel kan omskrivas runt vilken rektangel som helst

Trapets med lika höfter kan skrivas in i en cirkel. Med andra ord låter det så här: en cirkel kan beskrivas runt en trapets med lika kanter

Flera exempel

Problem 1. Fyrhörning ABCD är inskrivet i en cirkel. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Behöver hitta _{<ABD. Svaret måste skrivas i grader.}

Beslut. Till en början kan det verka svårt att hitta svaret.

1. Du måste komma ihåg egenskaperna från detta ämne. Nämligen: summan av motsatta vinklar=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Inom geometri är det bättre att hålla fast vid principen: hitta allt du kan. Användbart senare.

2. Nästa steg: använd triangelsummesatsen.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º – 75º=70º}

_<ABD och _{<ACD är inskrivna. Tillståndet förlitar sig på en båge. Följaktligen har de samma värden:}

_<ABD=_<ACD=70º

Svar: _<ABD=70º.

Problem 2. BCDE är en inskriven fyrhörning i en cirkel. _<B=69º, _<C=84º. Cirkelns centrum är punkt E. Hitta - _<E.

fyrhörning ABCD är inskriven i en cirkel

Beslut.

Need to find _{<E av Theorem 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Svar: _{< E=96º.}

Problem 3. Given en fyrhörning inskriven i en cirkel. Uppgifterna visas i figuren. Det är nödvändigt att hitta okända värden x, y, z.

Lösning:

z=180º – 93º=87º (av sats 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (genom sats 1)

Svar: z=87º, x=82º, y=98º.

Problem 4. Det finns en fyrhörning inskriven i en cirkel. Värdena visas i figuren. Hitta x, y.

Lösning:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Svar: x=100º, y=109º.

Problem för oberoende lösning

Exempel 1. Givet en cirkel. Dess centrum är punkt O. AC och BD är diametrar. _<ACB=38º. Behöver hitta _{<AOD. Svar måste ges i grader.}

Exempel 2. Givet en fyrhörning ABCD och en cirkel omskriven runt den. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Hitta _{<CAD. Skriv ditt svar i grader.}

Exempel 3. Givet en cirkel och en inskriven fyrhörning ABCD. Dess två vinklar är 82º och58º. Du måste hitta den största av de återstående vinklarna och skriva ner svaret i grader.

Exempel 4. Fyrhörning ABCD ges. Vinklar A, B, C ges i förhållandet 1:2:3. Det är nödvändigt att hitta vinkeln D om den angivna fyrhörningen kan inskrivas i en cirkel. Svar måste ges i grader.

Exempel 5. Fyrhörning ABCD ges. Dess sidor bildar bågar av den omskrivna cirkeln. Gradvärden AB, BC, CD respektive AD är: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Du bör hitta _{<Från den givna fyrkanten och skriv ner svaret i grader.}