sekunder, tangenter - allt detta kunde höras hundratals gånger under geometrilektioner. Men examen från skolan är över, åren går och all denna kunskap glöms bort. Vad bör man komma ihåg?
Essence
Uttrycket "tangens till en cirkel" är förmodligen bekant för alla. Men det är osannolikt att alla snabbt kommer att kunna formulera sin definition. Samtidigt är en tangent en sådan rät linje som ligger i samma plan med en cirkel som skär den i endast en punkt. Det kan finnas en stor variation av dem, men de har alla samma egenskaper, vilket kommer att diskuteras nedan. Som du kanske kan gissa är kontaktpunkten den plats där cirkeln och linjen skär varandra. I varje fall är det en, men om det finns fler, så blir det en sekant.
Historia om upptäckter och studier
Begreppet en tangent dök upp i antiken. Konstruktionen av dessa raka linjer, först till en cirkel, och sedan till ellipser, paraboler och hyperboler med hjälp av en linjal och en kompass, utfördes även i de inledande stadierna av utvecklingen av geometri. Naturligtvis har historien inte bevarat namnet på upptäckaren, mendet är uppenbart att folk redan vid den tiden var mycket medvetna om egenskaperna hos tangenten till cirkeln.
I modern tid blossade intresset för detta fenomen upp igen - en ny omgång av att studera detta koncept började, kombinerat med upptäckten av nya kurvor. Så Galileo introducerade konceptet med en cykloid, och Fermat och Descartes byggde en tangent till det. När det gäller cirklarna verkar det som att det inte finns några hemligheter kvar för de gamla i det här området.
Properties
Radien som ritas till skärningspunkten kommer att vara vinkelrät mot linjen. Det här är
den huvudsakliga, men inte den enda egenskapen som en tangent till en cirkel har. En annan viktig egenskap inkluderar redan två raka linjer. Så genom en punkt som ligger utanför cirkeln kan två tangenter dras, medan deras segment kommer att vara lika. Det finns ett annat teorem om detta ämne, men det täcks sällan inom ramen för en vanlig skolkurs, även om det är extremt bekvämt för att lösa vissa problem. Det låter så här. Från en punkt utanför cirkeln dras en tangent och en sekant till den. Segment AB, AC och AD bildas. A är skärningspunkten mellan linjer, B är kontaktpunkten, C och D är skärningspunkterna. I detta fall kommer följande likhet att vara giltig: längden på tangenten till cirkeln, kvadratisk, kommer att vara lika med produkten av segmenten AC och AD.
Från ovanstående finns en viktig konsekvens. För varje punkt i cirkeln kan du bygga en tangent, men bara en. Beviset för detta är ganska enkelt: genom att teoretiskt släppa en vinkelrät från radien på den, får vi reda på att den bildadetriangel kan inte existera. Och detta betyder att tangenten är den enda.
Byggnad
Bland andra problem inom geometri finns det en speciell kategori, som regel, inte
älskad av elever och studenter. För att lösa uppgifter från denna kategori behöver du bara en kompass och en linjal. Det är bygguppgifter. Det finns också metoder för att konstruera en tangent.
Så, givet en cirkel och en punkt som ligger utanför dess gränser. Och det är nödvändigt att dra en tangent genom dem. Hur man gör det? Först och främst måste du rita ett segment mellan mitten av cirkeln O och en given punkt. Använd sedan en kompass och dela den på mitten. För att göra detta måste du ställa in radien - lite mer än halva avståndet mellan centrum av den ursprungliga cirkeln och den givna punkten. Efter det måste du bygga två korsande bågar. Dessutom behöver kompassens radie inte ändras, och mitten av varje del av cirkeln kommer att vara initialpunkten respektive O. Skärningspunkterna mellan bågarna måste anslutas, vilket kommer att dela segmentet på mitten. Ställ in en radie på kompassen lika med detta avstånd. Därefter, med mitten vid skärningspunkten, rita en annan cirkel. På den kommer både initialpunkten och O. I det här fallet kommer det att finnas ytterligare två skärningar med cirkeln som anges i problemet. De kommer att vara kontaktpunkter för den initi alt givna punkten.
Intressant
Det var konstruktionen av tangenter till cirkeln som ledde till födelsen av
differentialkalkyl. Det första arbetet med detta ämne varutgiven av den berömda tyske matematikern Leibniz. Han tillhandahöll möjligheten att hitta maxima, minima och tangenter, oavsett bråktal och irrationella värden. Nåväl, nu används den för många andra beräkningar också.
Dessutom är tangenten till cirkeln relaterad till tangentens geometriska betydelse. Det är därifrån dess namn kommer. Översatt från latin betyder tangens "tangens". Detta koncept är alltså inte bara kopplat till geometri och differentialkalkyl, utan också med trigonometri.
Två cirklar
En tangent påverkar inte alltid bara en form. Om ett stort antal raka linjer kan dras till en cirkel, varför inte vice versa? Burk. Men uppgiften i det här fallet är allvarligt komplicerad, eftersom tangenten till två cirklar kanske inte passerar genom några punkter, och den relativa positionen för alla dessa figurer kan vara mycket
annorlunda.
Typer och sorter
När det gäller två cirklar och en eller flera linjer, även om man vet att dessa är tangenter, blir det inte direkt klart hur alla dessa figurer ligger i förhållande till varandra. Baserat på detta finns det flera sorter. Så, cirklar kan ha en eller två gemensamma punkter eller inte ha dem alls. I det första fallet kommer de att skära varandra, och i det andra kommer de att beröra. Och här finns det två varianter. Om en cirkel så att säga är inbäddad i den andra, så kallas beröringen intern, om inte, så extern. förstå ömsesidigtplaceringen av figurerna är möjlig inte bara baserat på ritningen, utan har också information om summan av deras radier och avståndet mellan deras centra. Om dessa två kvantiteter är lika, då rör cirklarna. Om den första är större skär de varandra, och om den är mindre har de inga gemensamma punkter.
Detsamma med raka linjer. För två cirklar som inte har gemensamma punkter kan du
konstruera fyra tangenter. Två av dem kommer att skära mellan figurerna, de kallas interna. Ett par andra är externa.
Om vi pratar om cirklar som har en gemensam poäng, så är uppgiften mycket förenklad. Faktum är att för varje ömsesidigt arrangemang i det här fallet kommer de bara att ha en tangent. Och den kommer att passera genom deras skärningspunkt. Så konstruktionen av svårigheten kommer inte att orsaka.
Om figurerna har två skärningspunkter kan en rät linje konstrueras för dem som tangerar cirkeln, både den ena och den andra, men bara den yttre. Lösningen på det här problemet liknar det som kommer att diskuteras nedan.
Problemlösning
Både inre och yttre tangenter till två cirklar är inte så lätta att konstruera, även om detta problem kan lösas. Faktum är att en hjälpfigur används för detta, så tänk på den här metoden själv
ganska problematiskt. Så, givet två cirklar med olika radier och centra O1 och O2. För dem måste du bygga två par tangenter.
Först av allt, nära mitten av den störrecirklar måste byggas hjälpmedel. I detta fall måste skillnaden mellan radierna för de två initiala figurerna fastställas på kompassen. Tangenter till hjälpcirkeln byggs från mitten av den mindre cirkeln. Efter det, från O1 och O2, ritas vinkelräta till dessa linjer tills de skär de ursprungliga figurerna. Som följer av tangentens huvudegenskap hittas de önskade punkterna på båda cirklarna. Problem löst, åtminstone den första delen av det.
För att konstruera interna tangenter måste du lösa praktiskt
en liknande uppgift. Återigen behövs en hjälpfigur, men den här gången kommer dess radie att vara lika med summan av de ursprungliga. Tangenter konstrueras till den från mitten av en av de givna cirklarna. Lösningens vidare förlopp kan förstås från föregående exempel.
Tangent till en cirkel eller till och med två eller fler är inte en så svår uppgift. Naturligtvis har matematiker länge upphört att lösa sådana problem manuellt och litar på beräkningarna till speciella program. Men tro inte att det nu inte är nödvändigt att kunna göra det själv, för för att korrekt formulera en uppgift för en dator måste du göra och förstå mycket. Tyvärr finns det farhågor om att konstruktionsuppgifter efter den slutliga övergången till testformen kunskapskontroll kommer att orsaka allt fler svårigheter för eleverna.
När det gäller att hitta gemensamma tangenter för fler cirklar är det inte alltid möjligt, även om de ligger i samma plan. Men i vissa fall kan du hitta en sådan rak linje.
Livsexempel
En vanlig tangent till två cirklar påträffas ofta i praktiken, även om den inte alltid märks. Transportörer, blocksystem, remskivor, trådspänning i en symaskin och till och med bara en cykelkedja - allt detta är exempel från livet. Så tro inte att geometriska problem bara finns kvar i teorin: inom teknik, fysik, konstruktion och många andra områden hittar de praktiska tillämpningar.
