Matrix är ett speciellt objekt i matematik. Det är avbildat i form av en rektangulär eller kvadratisk tabell, sammansatt av ett visst antal rader och kolumner. Inom matematik finns det en mängd olika typer av matriser, olika i storlek eller innehåll. Numren på dess rader och kolumner kallas order. Dessa objekt används i matematik för att organisera skrivningen av system med linjära ekvationer och bekvämt söka efter deras resultat. Ekvationer som använder en matris löses med metoden av Carl Gauss, Gabriel Cramer, moll och algebraiska tillägg och många andra sätt. Den grundläggande färdigheten när man arbetar med matriser är att få dem till en standardform. Men låt oss först ta reda på vilka typer av matriser som särskiljs av matematiker.
Nulltyp
Alla komponenter i den här typen av matris är nollor. Samtidigt är antalet rader och kolumner helt olika.
Kvadratisk typ
Antalet kolumner och rader i denna typ av matris är detsamma. Det är med andra ord ett "fyrkantigt" bord. Antalet kolumner (eller rader) kallas ordningen. Speciella fall är förekomsten av en matris av andra ordningen (matris 2x2), fjärde ordningen (4x4), tionde (10x10), sjuttonde (17x17) och så vidare.
Kolumnvektor
Detta är en av de enklaste typerna av matriser, som bara innehåller en kolumn, som innehåller tre numeriska värden. Den representerar en serie fria termer (tal oberoende av variabler) i system av linjära ekvationer.
radvektor
Visa liknande den föregående. Består av tre numeriska element, i sin tur organiserade på en rad.
Diagon altyp
Endast komponenter i huvuddiagonalen (markerade i grönt) har numeriska värden i matrisens diagonala form. Huvuddiagonalen börjar med elementet i det övre vänstra hörnet respektive slutar med elementet i det nedre högra hörnet. Resten av komponenterna är noll. Den diagonala typen är bara en kvadratisk matris av någon ordning. Bland matriser av den diagonala formen kan man peka ut en skalär. Alla dess komponenter har samma värden.
Identitetsmatris
En underart av den diagonala matrisen. Alla dess numeriska värden är enheter. Använd en enda typ av matristabeller, utför dess grundläggande transformationer eller hitta en matris invers till den ursprungliga.
kanonisk typ
Den kanoniska formen av en matris anses vara en av de viktigaste; gjutning till den behövs ofta för att fungera. Antalet rader och kolumner i den kanoniska matrisen är olika, det hör inte nödvändigtvis till kvadrattypen. Det är något likt identitetsmatrisen, men i dess fall får inte alla komponenter i huvuddiagonalen ett värde lika med ett. Det kan finnas två eller fyra huvuddiagonala enheter (allt beror på matrisens längd och bredd). Eller så kanske det inte finns några enheter alls (då anses det vara noll). De återstående komponenterna av den kanoniska typen, såväl som elementen i diagonalen och identiteten, är lika med noll.
Triangeltyp
En av de viktigaste typerna av matris, som används när man söker efter dess determinant och när man utför enkla operationer. Den triangulära typen kommer från den diagonala typen, så matrisen är också kvadratisk. Den triangulära vyn av matrisen är uppdelad i övre triangulär och nedre triangulär.
I den övre triangulära matrisen (fig. 1) får bara element som är ovanför huvuddiagonalen ett värde lika med noll. Komponenterna i själva diagonalen och delen av matrisen under den innehåller numeriska värden.
I den nedre triangulära matrisen (fig. 2), tvärtom, är elementen i den nedre delen av matrisen lika med noll.
Stegmatris
Vyn är nödvändig för att hitta rangordningen för en matris, såväl som för elementära operationer på dem (tillsammans med den triangulära typen). Stegmatrisen heter så eftersom den innehåller karakteristiska "steg" med nollor (som visas i figuren). I den stegvisa typen bildas en diagonal med nollor (inte nödvändigtvis den huvudsakliga), och alla element under denna diagonal har också värden lika med noll. En förutsättning är följande: om det finns en nollrad i stegmatrisen, innehåller de återstående raderna under den inte heller numeriska värden.
Vi har därför övervägt de viktigaste typerna av matriser som behövs för att arbeta med dem. Låt oss nu ta itu med uppgiften att konvertera en matris till önskad form.
Reducera till triangulär form
Hur får man matrisen till en triangulär form? Oftast behöver man i uppgifter omvandla en matris till en triangulär form för att hitta dess determinant, annars kallad determinant. När du utför denna procedur är det extremt viktigt att "bevara" huvuddiagonalen i matrisen, eftersom determinanten för en triangulär matris är exakt produkten av komponenterna i dess huvuddiagonal. Låt mig också påminna dig om alternativa metoder för att hitta determinanten. Den kvadratiska determinanten hittas med hjälp av speciella formler. Du kan till exempel använda triangelmetoden. För andra matriser används metoden för nedbrytning efter rad, kolumn eller deras element. Du kan också tillämpa metoden för biämnen och algebraiska komplement till matrisen.
DetaljerLåt oss analysera processen att föra en matris till en triangulär form med hjälp av exempel på några uppgifter.
Uppgift 1
Det är nödvändigt att hitta determinanten för den presenterade matrisen genom att använda metoden för att få den till en triangulär form.
Matrisen som vi har fått är en kvadratisk matris av tredje ordningen. Därför, för att omvandla den till en triangulär form, måste vi annullera två komponenter i den första kolumnen och en komponent i den andra.
För att få det till en triangulär form, börja omvandlingen från det nedre vänstra hörnet av matrisen - från siffran 6. För att vända den till noll, multiplicera den första raden med tre och subtrahera den från den sista raden.
Viktigt! Den översta raden ändras inte, utan förblir densamma som i den ursprungliga matrisen. Du behöver inte skriva en sträng fyra gånger den ursprungliga. Men värdena för strängarna vars komponenter måste ogiltigförklaras förändras ständigt.
Nästa, låt oss ta itu med nästa värde - elementet i den andra raden i den första kolumnen, nummer 8. Multiplicera den första raden med fyra och subtrahera den från den andra raden. Vi får noll.
Endast det sista värdet finns kvar - elementet i den tredje raden i den andra kolumnen. Detta är siffran (-1). För att vrida den till noll, subtrahera den andra från den första raden.
Låt oss kolla:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Så svaret på uppgiften är -22.
Uppgift 2
Vi måste hitta determinanten för matrisen genom att föra den till en triangulär form.
Representerad matristillhör kvadrattypen och är en matris av fjärde ordningen. Det betyder att tre komponenter i den första kolumnen, två komponenter i den andra kolumnen och en komponent i den tredje kolumnen måste nollställas.
Låt oss börja reduktionen från elementet i det nedre vänstra hörnet - från siffran 4. Vi måste vrida denna siffra till noll. Det enklaste sättet att göra detta är att multiplicera den översta raden med fyra och sedan subtrahera den från den fjärde raden. Låt oss skriva ner resultatet av det första steget av transformationen.
Så, komponenten på den fjärde raden är noll. Låt oss gå vidare till det första elementet i den tredje raden, till nummer 3. Vi utför en liknande operation. Multiplicera den första raden med tre, subtrahera den från den tredje raden och skriv resultatet.
Närnäst ser vi siffran 2 på andra raden. Vi upprepar operationen: multiplicera den översta raden med två och subtrahera den från den andra.
Vi lyckades nollställa alla komponenter i den första kolumnen i denna kvadratiska matris, förutom siffran 1, elementet i huvuddiagonalen som inte kräver transformation. Nu är det viktigt att behålla de resulterande nollorna, så vi kommer att utföra transformationer med rader, inte kolumner. Låt oss gå vidare till den andra kolumnen i den presenterade matrisen.
Låt oss börja från botten igen - från elementet i den andra kolumnen i den sista raden. Detta är siffran (-7). Men i det här fallet är det mer bekvämt att börja med siffran (-1) - elementet i den andra kolumnen i den tredje raden. För att vrida den till noll, subtrahera den andra raden från den tredje raden. Sedan multiplicerar vi den andra raden med sju och subtraherar den från den fjärde. Vi fick noll istället för elementet i den fjärde raden i den andra kolumnen. Låt oss nu gå vidare till den tredjekolumn.
I den här kolumnen behöver vi bara vända oss till noll en siffra - 4. Det är lätt att göra: lägg bara till den tredje på sista raden och se den nolla vi behöver.
Efter alla transformationer tog vi den föreslagna matrisen till en triangulär form. Nu, för att hitta dess determinant, behöver du bara multiplicera de resulterande elementen i huvuddiagonalen. Vi får: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Därför är lösningen talet 160.
Så, nu kommer frågan om att föra matrisen till en triangulär form inte göra det svårt för dig.
Reducering till stegform
I elementära operationer på matriser är den stegvisa formen mindre "efterfrågad" än den triangulära. Det används oftast för att hitta rangordningen för en matris (d.v.s. antalet rader som inte är noll) eller för att bestämma linjärt beroende och oberoende rader. Den stegvisa matrisvyn är dock mer mångsidig, eftersom den inte bara lämpar sig för den fyrkantiga typen utan för alla andra.
För att reducera en matris till en stegvis form måste du först hitta dess determinant. För detta är ovanstående metoder lämpliga. Syftet med att hitta determinanten är att ta reda på om den kan omvandlas till en stegmatris. Om determinanten är större eller mindre än noll, kan du säkert fortsätta med uppgiften. Om det är lika med noll fungerar det inte att reducera matrisen till en stegvis form. I det här fallet måste du kontrollera om det finns några fel i posten eller i matristransformationerna. Om det inte finns några sådana felaktigheter kan uppgiften inte lösas.
Låt oss se hurföra matrisen till en stegvis form med exempel på flera uppgifter.
Uppgift 1. Hitta rangordningen för den givna matristabellen.
Före oss är en kvadratisk matris av tredje ordningen (3x3). Vi vet att för att hitta rangen är det nödvändigt att reducera den till en stegvis form. Därför måste vi först hitta determinanten för matrisen. Med hjälp av triangelmetoden: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12, Determinant=12. Den är större än noll, vilket betyder att matrisen kan reduceras till en stegvis form. Låt oss börja omvandlingarna.
Låt oss börja med elementet i den vänstra kolumnen på den tredje raden - talet 2. Multiplicera den översta raden med två och subtrahera den från den tredje. Tack vare denna operation förvandlades både elementet vi behöver och siffran 4 - elementet i den andra kolumnen i den tredje raden - till noll.
Nästa, vrid elementet i den andra raden i den första kolumnen till noll - talet 3. För att göra detta, multiplicera den översta raden med tre och subtrahera den från den andra.
Vi ser att minskningen resulterade i en triangulär matris. I vårt fall kan omvandlingen inte fortsätta, eftersom de återstående komponenterna inte kan nollställas.
Så, vi drar slutsatsen att antalet rader som innehåller numeriska värden i denna matris (eller dess rangordning) är 3. Svar på uppgiften: 3.
Uppgift 2. Bestäm antalet linjärt oberoende rader i denna matris.
Vi måste hitta strängar som inte kan vändas av några transformationertill noll. Faktum är att vi måste hitta antalet rader som inte är noll, eller rangordningen för den representerade matrisen. För att göra detta, låt oss förenkla det.
Vi ser en matris som inte tillhör kvadrattypen. Den har måtten 3x4. Låt oss också börja kasta från elementet i det nedre vänstra hörnet - siffran (-1).
Lägg till den första raden till den tredje. Subtrahera sedan sekunden från den för att vrida siffran 5 till noll.
Ytterligare omvandlingar är omöjliga. Så vi drar slutsatsen att antalet linjärt oberoende linjer i den och svaret på uppgiften är 3.
Att föra matrisen till en stegvis form är inte en omöjlig uppgift för dig.
På exemplen på dessa uppgifter analyserade vi reduktionen av en matris till en triangulär form och en stegform. För att ogiltigförklara de önskade värdena för matristabeller krävs det i vissa fall att visa fantasi och korrekt omvandla sina kolumner eller rader. Lycka till i matte och att arbeta med matriser!
