Varje elev vet att kvadraten på hypotenusan alltid är lika med summan av benen, som vart och ett är kvadratiskt. Detta påstående kallas Pythagoras sats. Det är en av de mest kända satserna inom trigonometri och matematik i allmänhet. Överväg det mer i detalj.
Begreppet en rätvinklig triangel
Innan vi fortsätter att betrakta Pythagoras sats, där hypotenusans kvadrat är lika med summan av benen som är kvadratiska, bör vi överväga konceptet och egenskaperna hos en rätvinklig triangel, för vilken satsen är giltig.
Triangel är en platt figur med tre vinklar och tre sidor. En rät triangel har, som namnet antyder, en rät vinkel, det vill säga denna vinkel är 90o.
Från de allmänna egenskaperna för alla trianglar är det känt att summan av alla tre vinklarna i denna figur är 180o, vilket betyder att för en rätvinklig triangel är summan av två vinklar som inte är räta är 180o -90o=90o. Det sista faktumet betyder att varje vinkel i en rätvinklig triangel som inte är en rät vinkel alltid kommer att vara mindre än 90o.
Siden som ligger mitt emot rät vinkel kallas hypotenusan. De andra två sidorna är benen i triangeln, de kan vara lika med varandra, eller så kan de skilja sig åt. Det är känt från trigonometrin att ju större vinkel en sida ligger mot i en triangel, desto större längd på denna sida. Detta betyder att hypotenusan (ligger mitt emot vinkeln 90o) i en rätvinklig triangel alltid kommer att vara större än någon av benen (ligga mittemot vinklarna < 90o)).
Matematisk notation av Pythagoras sats
Denna sats säger att hypotenusans kvadrat är lika med summan av benen, som vart och ett tidigare har kvadrerats. För att skriva denna formulering matematiskt, överväg en rätvinklig triangel där sidorna a, b och c är de två benen respektive hypotenusan. I detta fall kan satsen, som anges som hypotenusans kvadrat är lika med summan av benens kvadrater, representeras av följande formel: c2=a 2 + b 2. Härifrån kan andra formler som är viktiga för övning erhållas: a=√(c2 - b2), b=√(c 2 - a2) och c=√(a2 + b2).
Observera att i fallet med en rätvinklig liksidig triangel, det vill säga a=b, är formuleringen: kvadraten på hypotenusan är lika med summan av benen, som var och enkvadratisk, matematiskt skriven som: c2=a2 + b2=2a 2, vilket innebär likheten: c=a√2.
Historisk bakgrund
Pythagoras sats, som säger att hypotenusans kvadrat är lika med summan av benen, som vart och ett är kvadratiskt, var känt långt innan den berömda grekiske filosofen uppmärksammade det. Många papyri från det forntida Egypten, såväl som babyloniernas lertavlor, bekräftar att dessa folk använde den kända egenskapen hos sidorna av en rätvinklig triangel. Till exempel byggdes en av de första egyptiska pyramiderna, Pyramid of Khafre, vars konstruktion går tillbaka till 2500-talet f. Kr. (2000 år före Pythagoras liv), baserat på kunskapen om bildförhållandet i en 3x4x5 rätvinklig triangel.
Varför är då satsen uppkallad efter en grek? Svaret är enkelt: Pythagoras är den första som matematiskt bevisar denna sats. Bevarade babyloniska och egyptiska skrifter nämner bara dess användning, men ger inga matematiska bevis.
Man tror att Pythagoras bevisade satsen under övervägande genom att använda egenskaperna hos liknande trianglar, som han erhöll genom att rita en höjd i en rätvinklig triangel från vinkeln 90o till hypotenusan.
Ett exempel på att använda Pythagoras sats
Tänk på ett enkelt problem: det är nödvändigt att bestämma längden på en lutande trappa L, om man vet att den har en höjd H=3meter, och avståndet från väggen mot vilken stegen vilar till foten är P=2,5 meter.
I det här fallet är H och P benen och L är hypotenusan. Eftersom längden på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på benen får vi: L2=H2 + P 2, varifrån L=√(H2 + P2)=√(3) 2 + 2, 5 2)=3,905 meter eller 3 meter och 90,5 cm.
