En triangel är en polygon med tre sidor (tre hörn). Oftast är sidorna betecknade med små bokstäver, motsvarande de versaler som betecknar motsatta hörn. I den här artikeln kommer vi att bekanta oss med typerna av dessa geometriska former, satsen som bestämmer vad summan av vinklarna i en triangel är.
Visningar per vinkel
Följande typer av polygoner med tre hörn särskiljs:
- spetsvinklade, där alla hörn är skarpa;
- rektangulär, med en rät vinkel, medan sidorna som bildar den kallas ben, och sidan som är placerad mitt emot rät vinkel kallas hypotenusan;
- trubbig när ett hörn är trubbig;
- isosceles, där två sidor är lika, och de kallas laterala, och den tredje är triangelns bas;
- liksidig, med alla tre lika sidor.
Properties
De framhäver de huvudsakliga egenskaperna som är karakteristiska för varje typ av triangel:
- mitt emot den större sidan finns det alltid en större vinkel, och vice versa;
- motsatta sidor av samma storlek är lika stora, och vice versa;
- valfri triangel har två spetsiga vinklar;
- ett yttre hörn är större än alla inre hörn som inte gränsar till det;
- summan av två valfria vinklar är alltid mindre än 180 grader;
- yttre hörn är lika med summan av de andra två hörnen som inte korsar det.
Triangelsumma av vinklar teorem
Satsen säger att om du lägger ihop alla vinklarna för en given geometrisk figur, som är belägen på det euklidiska planet, så blir deras summa 180 grader. Låt oss försöka bevisa denna sats.
Låt oss ha en godtycklig triangel med hörn av KMN.
Dra genom spetsen M en rät linje parallell med den räta linjen KN (denna linje kallas även den euklidiska räta linjen). Vi markerar punkt A på den på ett sådant sätt att punkterna K och A ligger på olika sidor av den räta linjen MN. Vi får lika vinklar AMN och KNM, som liksom interna ligger tvärs över och bildas av sekanten MN tillsammans med räta linjer KN och MA, som är parallella. Av detta följer att summan av vinklarna i triangeln som ligger vid hörnen M och H är lika med storleken på vinkeln KMA. Alla tre vinklarna utgör summan, som är lika med summan av vinklarna KMA och MKN. Eftersom dessa vinklar är invändigt ensidiga med avseende påparallella räta linjer KN och MA med en sekant KM, deras summa är 180 grader. Teorem bevisat.
Konsekvens
Följande följd följer av satsen som bevisats ovan: vilken triangel som helst har två spetsiga vinklar. För att bevisa detta, låt oss anta att en given geometrisk figur bara har en spetsig vinkel. Det kan också antas att ingen av vinklarna är spetsig. I detta fall måste det finnas minst två vinklar som är lika med eller större än 90 grader. Men då blir summan av vinklarna större än 180 grader. Men det kan inte vara så, för enligt satsen är summan av vinklarna i en triangel 180 ° - varken mer eller mindre. Detta är vad som måste bevisas.
Exteriör hörnfastighet
Vad är summan av vinklarna i en triangel som är externa? Denna fråga kan besvaras på ett av två sätt. Den första är att det är nödvändigt att hitta summan av vinklarna, som tas en vid varje vertex, det vill säga tre vinklar. Den andra innebär att du måste hitta summan av alla sex vinklarna vid hörnen. Låt oss först ta itu med det första alternativet. Så triangeln innehåller sex yttre hörn - två vid varje vertex.
Varje par har lika stora vinklar eftersom de är vertikala:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Dessutom är det känt att en triangels yttre vinkel är lika med summan av två inre vinklar som inte skär den. Därför
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Av detta visar det sig att summan av externahörn, som tas ett vid varje hörn, kommer att vara lika med:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Med tanke på att summan av vinklarna är 180 grader kan man hävda att ∟A + ∟B + ∟C=180°. Och det betyder att ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Om det andra alternativet används, kommer summan av de sex vinklarna att vara dubbelt så stor. Det vill säga summan av triangelns yttre vinklar blir:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Höger triangel
Vad är summan av de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel? Svaret på denna fråga, återigen, följer av satsen, som säger att vinklarna i en triangel summerar till 180 grader. Och vårt uttalande (egenskap) låter så här: i en rätvinklig triangel blir spetsiga vinklar upp till 90 grader. Låt oss bevisa dess sanning.
Låt oss ges en triangel KMN, där ∟Н=90°. Det är nödvändigt att bevisa att ∟K + ∟M=90°.
Så, enligt vinkelsummesatsen ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Vårt villkor säger att ∟Н=90°. Så det visar sig, ∟K + ∟M + 90°=180°. Det vill säga ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Det var vad vi var tvungna att bevisa.
Utöver ovanstående egenskaper för en rätvinklig triangel kan du lägga till följande:
- vinklar som ligger mot benen är vassa;
- hypotenusan är triangulär mer än något av benen;
- summan av benen är större än hypotenusan;
- legen triangel som ligger mitt emot en vinkel på 30 grader är halva hypotenusan, det vill säga lika med hälften av den.
Som en annan egenskap hos denna geometriska figur kan Pythagoras sats urskiljas. Hon anger att i en triangel med en vinkel på 90 grader (rektangulär) är summan av benens kvadrater lika med kvadraten på hypotenusan.
Summan av vinklarna i en likbent triangel
Tidigare sa vi att likbent är en polygon med tre hörn, som innehåller två lika sidor. Denna egenskap hos en given geometrisk figur är känd: vinklarna vid dess bas är lika. Låt oss bevisa det.
Ta triangeln KMN, som är likbent, KN är dess bas.
Vi måste bevisa att ∟К=∟Н. Så låt oss säga att MA är bisektorn av vår triangel KMN. MCA-triangeln, med hänsyn till det första tecknet på likhet, är lika med MCA-triangeln. Av villkoret ges nämligen att KM=NM, MA är en gemensam sida, ∟1=∟2, eftersom MA är en bisektrik. Med hjälp av det faktum att dessa två trianglar är lika, kan vi konstatera att ∟K=∟Н. Så satsen är bevisad.
Men vi är intresserade av vad som är summan av vinklarna i en triangel (likbent). Eftersom den i detta avseende inte har sina egna särdrag, kommer vi att utgå från den tidigare satsen. Det vill säga, vi kan säga att ∟K + ∟M + ∟H=180°, eller 2 x ∟K + ∟M=180° (eftersom ∟K=∟H). Vi kommer inte att bevisa denna egenskap, eftersom triangelsummesatsen i sig bevisades tidigare.
Utom som diskuteratsegenskaper om vinklarna i en triangel, det finns också sådana viktiga påståenden:
- i en likbent triangel är höjden som sänktes till basen både medianen, halveringslinjen för vinkeln som är mellan lika sidor, samt symmetriaxeln för dess bas;
- medianer (halvled, höjder) som är ritade till sidorna av en sådan geometrisk figur är lika.
liksidig triangel
Det kallas också höger, det är triangeln med alla sidor lika. Därför är även vinklarna lika. Var och en är 60 grader. Låt oss bevisa den här egenskapen.
Anta att vi har en triangel KMN. Vi vet att KM=NM=KN. Och detta betyder att enligt egenskapen hos vinklarna som ligger vid basen i en likbent triangel, ∟К=∟М=∟Н. Eftersom, enligt satsen, summan av vinklarna i en triangel är ∟К + ∟М + ∟Н=180°, då är 3 x ∟К=180° eller ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Í=60°. Därmed är påståendet bevisat.
Som du kan se från ovanstående bevis baserat på satsen, är summan av vinklarna i en liksidig triangel, liksom summan av vinklarna i alla andra triangel, 180 grader. Det finns inget behov av att bevisa detta teorem igen.
Det finns också sådana egenskaper som är karakteristiska för en liksidig triangel:
- median, bisekt, höjd i en sådan geometrisk figur är desamma, och deras längd beräknas som (a x √3): 2;
- om du beskriver en cirkel runt en given polygon, så blir dess radieär lika med (a x √3): 3;
- om du skriver in en cirkel i en liksidig triangel, kommer dess radie att vara (a x √3): 6;
- arean av den här geometriska figuren beräknas med formeln: (a2 x √3): 4.
Skärvinklad triangel
Enligt definitionen av en trubbig triangel är en av dess vinklar mellan 90 och 180 grader. Men med tanke på att de andra två vinklarna i denna geometriska figur är spetsiga, kan vi dra slutsatsen att de inte överstiger 90 grader. Därför fungerar triangelsummans sats när man beräknar summan av vinklar i en trubbig triangel. Det visar sig att vi säkert kan säga, baserat på ovannämnda sats, att summan av vinklarna i en trubbig triangel är 180 grader. Återigen, denna sats behöver inte bevisas igen.
