Typiska linjära parametrar för varje pyramid är längden på sidorna på dess bas, höjd, sidokanter och apotemer. Ändå finns det en annan egenskap som är associerad med de noterade parametrarna - det här är den dihedriska vinkeln. Fundera på i artikeln vad det är och hur du hittar det.
Spatial figurpyramid
Varje elev har en bra uppfattning om vad som står på spel när han hör ordet "pyramid". Den kan konstrueras geometriskt enligt följande: välj en viss polygon, fixera sedan en punkt i rymden och anslut den till varje hörn av polygonen. Den resulterande tredimensionella figuren kommer att vara en pyramid av en godtycklig typ. Polygonen som bildar den kallas basen, och punkten som alla dess hörn är anslutna till är figurens spets. Figuren nedan visar schematiskt en femkantig pyramid.
Det kan ses att dess yta inte bara bildas av en femhörning, utan också av fem trianglar. I allmänhet kommer antalet av dessa trianglar att vara lika med antaletsidor av en polygonal bas.
Dihedriska vinklar på figuren
När geometriska problem betraktas på ett plan, bildas vilken vinkel som helst av två skärande raka linjer, eller segment. I rymden läggs dihedriska vinklar till dessa linjära vinklar, bildade av skärningspunkten mellan två plan.
Om den markerade definitionen av en vinkel i rymden tillämpas på figuren i fråga, så kan vi säga att det finns två typer av dihedriska vinklar:
- Vid basen av pyramiden. Den bildas av basens plan och någon av sidoytorna (triangeln). Det betyder att pyramidens basvinklar är n, där n är antalet sidor i polygonen.
- Mellan sidorna (trianglar). Antalet av dessa dihedriska vinklar är också n stycken.
Observera att den första typen av övervägda vinklar är byggda på kanterna av basen, den andra typen - på sidokanterna.
Hur beräknar man vinklarna på en pyramid?
Den linjära vinkeln för en dihedrisk vinkel är måttet på den senare. Det är inte lätt att beräkna det, eftersom pyramidens ytor, till skillnad från prismats ytor, inte skär varandra i räta vinklar i det allmänna fallet. Det är mest tillförlitligt att beräkna värdena för dihedriska vinklar med hjälp av planets ekvationer i allmän form.
I tredimensionellt rum ges ett plan av följande uttryck:
Ax + By + Cz + D=0
Där A, B, C, D är några reella tal. Bekvämligheten med denna ekvation är att de tre första markerade talen är vektorns koordinater,som är vinkelrät mot det givna planet, dvs.:
n¯=[A; B; C]
Om koordinaterna för tre punkter som hör till planet är kända kan man genom att ta vektorprodukten av två vektorer byggda på dessa punkter erhålla koordinaterna n¯. Vektorn n¯ kallas guiden för planet.
Enligt definitionen är den dihedriska vinkeln som bildas av skärningen av två plan lika med den linjära vinkeln mellan deras riktningsvektorer. Anta att vi har två plan vars normalvektorer är lika:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
För att beräkna vinkeln φ mellan dem kan du använda den skalära produktegenskapen, då blir motsvarande formel:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Eller i koordinatform:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Låt oss visa hur man använder metoden ovan för att beräkna dihedriska vinklar när man löser geometriska problem.
Vinklar på en vanlig fyrkantig pyramid
Anta att det finns en vanlig pyramid, vid vars bas det finns en kvadrat med en sida på 10 cm. Höjden på figuren är12 cm. Det är nödvändigt att beräkna vilka dihedriska vinklarna är vid basen av pyramiden och för dess sidor.
Eftersom siffran som ges i problemets tillstånd är korrekt, det vill säga den har hög symmetri, är alla vinklar vid basen lika med varandra. Vinklarna som bildas av sidoytorna är också desamma. För att beräkna de erforderliga dihedriska vinklarna hittar vi riktningsvektorerna för basen och två sidoplan. Ange längden på sidan av basen med bokstaven a och höjden h.
Bilden ovan visar en fyrkantig vanlig pyramid. Låt oss skriva ut koordinaterna för punkterna A, B, C och D i enlighet med det angivna koordinatsystemet:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Nu hittar vi riktningsvektorerna för basplanen ABC och de två sidorna ABD och BCD i enlighet med metoden som beskrivs i stycket ovan:
För ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
För ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
För BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Nu återstår det att tillämpa lämplig formel för vinkeln φ och ersätta sido- och höjdvärdena från problemformuleringen:
Vinkel mellan ABC ochABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
Vinkel mellan ABD och BDC:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81, 49o
Vi beräknade värdena för de vinklar som behövde hittas av problemets tillstånd. Formlerna som erhålls för att lösa problemet kan användas för att bestämma dihedriska vinklar för fyrkantiga regelbundna pyramider med valfritt värde på a och h.
Vinklar på en triangulär regelbunden pyramid
Figuren nedan visar en pyramid vars bas är en vanlig triangel. Det är känt att den dihedriska vinkeln mellan sidorna är rätt. Det är nödvändigt att beräkna arean av basen om det är känt att höjden på figuren är 15 cm.
En dihedral vinkel lika med 90o betecknas som ABC i figuren. Du kan lösa problemet med metoden ovan, men i det här fallet kommer vi att göra det lättare. Låt oss beteckna sidan av triangeln a, höjden på figuren - h, apotemet - hb och sidanrevben - b. Nu kan du skriva följande formler:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Eftersom de två sidotrianglarna i pyramiden är lika, är sidorna AB och CB lika och är benen i triangeln ABC. Låt oss beteckna deras längd med x, sedan:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
När vi liknar ytorna på sidotrianglarna och ersätter apotemet med motsvarande uttryck, har vi:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Arean av en liksidig triangel beräknas enligt följande:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Ersätt höjdvärdet från problemets tillstånd, vi får svaret: S=584, 567 cm2.
