Matriser: Gauss-metoden. Gauss Matrix Beräkning: Exempel

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 05:42

Linjär algebra, som lärs ut vid universitet i olika specialiteter, kombinerar många komplexa ämnen. Några av dem är relaterade till matriser, såväl som till lösningen av linjära ekvationssystem med Gauss- och Gauss-Jordan-metoderna. Alla elever lyckas inte förstå dessa ämnen, algoritmer för att lösa olika problem. Låt oss tillsammans förstå matriserna och metoderna för Gauss och Gauss-Jordan.

Grundläggande begrepp

En matris i linjär algebra är en rektangulär matris av element (tabell). Nedan visas uppsättningar av element inom parentes. Det här är matriser. Från exemplet ovan kan man se att elementen i rektangulära arrayer inte bara är siffror. Matrisen kan bestå av matematiska funktioner, algebraiska symboler.

För att förstå några begrepp, låt oss göra en matris A av elementen a_ij. Index är inte bara bokstäver: i är numret på raden i tabellen, och j är numret på kolumnen, i området för skärningspunkten där elementet är belägeta_ij. Så vi ser att vi har en matris av element som a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ och så vidare Bokstaven n anger antalet kolumner och bokstaven m anger antalet rader. Symbolen m × n anger matrisens dimension. Detta är konceptet som definierar antalet rader och kolumner i en rektangulär uppsättning element.

Valfritt måste matrisen ha flera kolumner och rader. Med en dimension på 1 × n är matrisen av element en rad och med en dimension på m × 1 är den en enkolumn matris. När antalet rader och antalet kolumner är lika, kallas matrisen kvadrat. Varje kvadratisk matris har en determinant (det A). Denna term hänvisar till numret som är tilldelat matrisen A.

Några fler viktiga begrepp att komma ihåg för att framgångsrikt lösa matriser är huvud- och sekundärdiagonalerna. Huvuddiagonalen i en matris är diagonalen som går ner till bordets högra hörn från det övre vänstra hörnet. Sidodiagonalen går till det högra hörnet upp från det vänstra hörnet från botten.

Stegmatrisvy

Titta på bilden nedan. På den ser du en matris och ett diagram. Låt oss ta itu med matrisen först. I linjär algebra kallas en matris av detta slag en stegmatris. Den har en egenskap: om a_ij är det första elementet som inte är noll i den i:te raden, då är alla andra element från matrisen nedanför och till vänster om a_ij , är null (dvs. alla de element som kan ges bokstavsbeteckningen a_kl, där k>i ochl<j).

Tänk nu på diagrammet. Den återspeglar matrisens stegform. Schemat visar 3 typer av celler. Varje typ betecknar vissa element:

tomma celler - noll element i matrisen;
skuggade celler är godtyckliga element som kan vara både noll och icke-noll;
svarta rutor är element som inte är noll, som kallas hörnelement, "steg" (i matrisen som visas bredvid dem är sådana element siffrorna –1, 5, 3, 8).

När man löser matriser blir resultatet ibland att stegets "längd" är större än 1. Detta är tillåtet. Endast "höjden" på stegen spelar roll. I en stegmatris måste denna parameter alltid vara lika med ett.

Matrixminskning till stegform

Val som helst rektangulär matris kan konverteras till en stegvis form. Detta görs genom elementära transformationer. De inkluderar:

arrangerar om strängar;
Lägga till ytterligare en rad på en rad, vid behov multiplicerad med ett tal (du kan också utföra en subtraktion).

Låt oss överväga elementära transformationer för att lösa ett specifikt problem. Bilden nedan visar matrisen A, som måste reduceras till en stegvis form.

Problemet med att reducera en matris till en stegvis form

För att lösa problemet kommer vi att följa algoritmen:

Det är bekvämt att utföra transformationer på en matris meddet första elementet i det övre vänstra hörnet (d.v.s. det "ledande" elementet) är 1 eller -1. I vårt fall är det första elementet i den översta raden 2, så låt oss byta första och andra raden.
Låt oss utföra subtraktionsoperationer som påverkar raderna 2, 3 och 4. Vi bör få nollor i den första kolumnen under det "ledande" elementet. För att uppnå detta resultat: från elementen i linje nr 2 subtraherar vi sekventiellt elementen i linje nr 1, multiplicerat med 2; från elementen i linje nr 3 subtraherar vi sekventiellt elementen i linje nr 1, multiplicerat med 4; från elementen i linje nr 4 subtraherar vi sekventiellt elementen i linje nr 1.
Nästa kommer vi att arbeta med en trunkerad matris (utan kolumn 1 och utan rad 1). Det nya "ledande" elementet, som står i skärningspunkten mellan den andra kolumnen och den andra raden, är lika med -1. Det finns inget behov av att ordna om raderna, så vi skriver om den första kolumnen och den första och andra raden utan ändringar. Låt oss utföra subtraktionsoperationer för att få nollor i den andra kolumnen under det "ledande" elementet: från elementen i den tredje raden subtraherar vi sekventiellt elementen i den andra raden, multiplicerat med 3; subtrahera elementen i den andra raden multiplicerat med 2 från elementen i den fjärde raden.
Det återstår att ändra den sista raden. Från dess element subtraherar vi successivt elementen i den tredje raden. Således fick vi en stegvis matris.

Reduktion av matriser till en stegform används för att lösa system av linjära ekvationer (SLE) med Gauss-metoden. Innan vi tittar på den här metoden, låt oss förstå några av termerna relaterade till SLN.

Matriser och system av linjära ekvationer

Matriser används inom olika vetenskaper. Med hjälp av t altabeller kan man till exempel lösa linjära ekvationer kombinerade till ett system med Gaussmetoden. Låt oss först bekanta oss med några termer och deras definitioner, och även se hur en matris bildas från ett system som kombinerar flera linjära ekvationer.

SLU – flera kombinerade algebraiska ekvationer med okända första potens och inga produkttermer.

SLE-lösning – hittade värden av okända, som ersätter vilka ekvationerna i systemet blir identiteter.

En gemensam SLE är ett ekvationssystem som har minst en lösning.

Inconsistent SLE är ett ekvationssystem som inte har några lösningar.

Hur bildas en matris baserad på ett system som kombinerar linjära ekvationer? Det finns sådana begrepp som systemets huvudmatriser och utökade matriser. För att erhålla systemets huvudmatris är det nödvändigt att lägga in alla koefficienter för de okända i tabellen. Den utökade matrisen erhålls genom att lägga till en kolumn med fria termer till huvudmatrisen (den inkluderar kända element som varje ekvation i systemet är likställt med). Du kan förstå hela processen genom att studera bilden nedan.

Det första vi ser på bilden är ett system som inkluderar linjära ekvationer. Dess element: a_ij – numeriska koefficienter, x_j – okända värden, b_i – konstanta termer (där i=1, 2, …, m och j=1, 2, …, n). Det andra elementet i bilden är huvudmatrisen av koefficienter. Från varje ekvation skrivs koefficienterna i rad. Som ett resultat finns det lika många rader i matrisen som det finns ekvationer i systemet. Antalet kolumner är lika med det största antalet koefficienter i någon ekvation. Det tredje elementet i bilden är en förstärkt matris med en kolumn med fria termer.

Allmän information om Gauss-metoden

Inom linjär algebra är Gauss-metoden det klassiska sättet att lösa SLE. Den bär namnet Carl Friedrich Gauss, som levde på 1700-1800-talen. Detta är en av de största matematikerna genom tiderna. Kärnan i Gauss-metoden är att utföra elementära transformationer på ett system av linjära algebraiska ekvationer. Med hjälp av transformationer reduceras SLE till ett ekvivalent system av triangulär (stegad) form, från vilken alla variabler kan hittas.

Det är värt att notera att Carl Friedrich Gauss inte är upptäckaren av den klassiska metoden för att lösa ett system av linjära ekvationer. Metoden uppfanns mycket tidigare. Dess första beskrivning finns i kunskapsuppslagsverket av forntida kinesiska matematiker, kallat "Matematik i 9 böcker".

Ett exempel på att lösa SLE med Gauss-metoden

Låt oss överväga lösningen av system med Gauss-metoden på ett specifikt exempel. Vi kommer att arbeta med SLU som visas på bilden.

Lösningsalgoritm:

Vi kommer att reducera systemet till en stegform genom att direkt flytta Gauss-metoden, men förstvi kommer att komponera en utökad matris av numeriska koefficienter och fria medlemmar.
För att lösa matrisen med den Gaussiska metoden (dvs. föra den till en stegvis form), subtraherar vi elementen i den första raden från elementen i den andra och tredje raden. Vi får nollor i den första kolumnen under elementet "ledande". Därefter kommer vi att ändra den andra och tredje raden på platser för bekvämlighet. Till elementen i den sista raden, lägg till elementen i den andra raden i följd, multiplicerat med 3.
Som ett resultat av beräkningen av matrisen med Gauss-metoden fick vi en stegvis uppsättning element. Utifrån det kommer vi att komponera ett nytt system av linjära ekvationer. Med Gauss-metodens omvända förlopp hittar vi värdena för de okända termerna. Det kan ses från den sista linjära ekvationen att x₃ är lika med 1. Vi ersätter detta värde i den andra raden i systemet. Du får ekvationen x₂ – 4=–4. Det följer att x₂ är lika med 0. Ersätt x₂ och x₃ i systemets första ekvation: x1 _{+ 0 +3=2. Den okända termen är -1.}

Svar: med hjälp av matrisen, den Gaussiska metoden, hittade vi värdena för de okända; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordan-metoden

I linjär algebra finns det också en sådan sak som Gauss-Jordan-metoden. Det anses vara en modifiering av Gaussmetoden och används för att hitta den inversa matrisen, beräkna okända termer av kvadratiska system av algebraiska linjära ekvationer. Gauss-Jordan-metoden är bekväm genom att den tillåter att lösa SLE i ett steg (utan användning av direkt och inversdrag).

Låt oss börja med termen "invers matris". Antag att vi har en matris A. Inversen för den kommer att vara matrisen A^-1, medan villkoret nödvändigtvis är uppfyllt: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, dvs produkten av dessa matriser är lika med identitetsmatrisen (elementen i identitetsmatrisens huvuddiagonal är ettor, och de återstående elementen är noll).}

En viktig nyans: i linjär algebra finns en sats om förekomsten av en invers matris. Ett tillräckligt och nödvändigt villkor för existensen av matrisen A^-1 är att matrisen A är icke-singular.

Grundläggande steg som Gauss-Jordan-metoden bygger på:

Titta på den första raden i en viss matris. Gauss-Jordan-metoden kan startas om det första värdet inte är lika med noll. Om den första platsen är 0, byt sedan raderna så att det första elementet har ett värde som inte är noll (det är önskvärt att talet är närmare ett).
Dividera alla element i den första raden med den första siffran. Du kommer att sluta med en sträng som börjar med en.
Från den andra raden, subtrahera den första raden multiplicerat med det första elementet på den andra raden, dvs i slutet får du en linje som börjar från noll. Gör samma sak för resten av raderna. Dividera varje rad med dess första element som inte är noll för att få 1:or diagon alt.
Som ett resultat kommer du att få den övre triangulära matrisen med Gauss - Jordan-metoden. I den representeras huvuddiagonalen av enheter. Det nedre hörnet är fyllt med nollor, ochövre hörnet - olika värden.
Från den näst sista raden, subtrahera den sista raden multiplicerad med den nödvändiga koefficienten. Du bör få en sträng med nollor och en. För resten av raderna, upprepa samma åtgärd. Efter alla transformationer kommer identitetsmatrisen att erhållas.

Ett exempel på att hitta den inversa matrisen med metoden Gauss-Jordan

För att beräkna den inversa matrisen måste du skriva den utökade matrisen A|E och utföra nödvändiga transformationer. Låt oss överväga ett enkelt exempel. Bilden nedan visar matrisen A.

Lösning:

Först, låt oss hitta matrisdeterminanten med den Gaussiska metoden (det A). Om denna parameter inte är lika med noll, kommer matrisen att betraktas som icke-singular. Detta gör att vi kan dra slutsatsen att A definitivt har A^-1. För att beräkna determinanten transformerar vi matrisen till en stegvis form genom elementära transformationer. Låt oss räkna antalet K lika med antalet radpermutationer. Vi ändrade linjerna endast 1 gång. Låt oss beräkna determinanten. Dess värde kommer att vara lika med produkten av elementen i huvuddiagonalen, multiplicerat med (–1)^K. Beräkningsresultat: det A=2.
Komponera den utökade matrisen genom att lägga till identitetsmatrisen till den ursprungliga matrisen. Den resulterande matrisen av element kommer att användas för att hitta den inversa matrisen med Gauss-Jordan-metoden.
Det första elementet i den första raden är lika med ett. Detta passar oss, eftersom det inte finns något behov av att ordna om linjerna och dividera den givna linjen med något tal. Låt oss börja jobbamed andra och tredje raden. För att omvandla det första elementet i den andra raden till 0, subtrahera den första raden multiplicerat med 3 från den andra raden. Subtrahera den första raden från den tredje raden (ingen multiplikation krävs).
I den resulterande matrisen är det andra elementet i den andra raden -4, och det andra elementet i den tredje raden är -1. Låt oss byta linjer för bekvämlighets skull. Från den tredje raden subtraheras den andra raden multiplicerat med 4. Dividera den andra raden med -1 och den tredje raden med 2. Vi får den övre triangulära matrisen.
Låt oss subtrahera den sista raden multiplicerat med 4 från den andra raden och den sista raden multiplicerad med 5 från den första raden. Subtrahera sedan den andra raden multiplicerad med 2 från den första raden. På vänster sida fick vi identitetsmatrisen. Till höger finns den inversa matrisen.

Ett exempel på att lösa SLE med Gauss-Jordan-metoden

Figuren visar ett system av linjära ekvationer. Det krävs att man hittar värdena för okända variabler med hjälp av en matris, Gauss-Jordan-metoden.

Lösning:

Låt oss skapa en utökad matris. För att göra detta lägger vi in koefficienterna och fria termer i tabellen.
Lös matrisen med Gauss-Jordan-metoden. Från rad nr 2 subtraherar vi rad nr 1. Från rad nr 3 subtraherar vi rad nr 1, tidigare multiplicerad med 2.
Byt rad 2 och 3.
Från rad 3 subtrahera rad 2 multiplicerat med 2. Dividera den resulterande tredje raden med –1.
Subtrahera rad 3 från rad 2.
Subtrahera rad 1 från rad 12 gånger -1. På sidan fick vi en kolumn som består av siffrorna 0, 1 och -1. Av detta drar vi slutsatsen att x₁=0, x₂=1 och x₃ =–1.

Om du vill kan du kontrollera att lösningen är korrekt genom att ersätta de beräknade värdena i ekvationerna:

0 – 1=–1, den första identiteten från systemet är korrekt;
0 + 1 + (–1)=0, den andra identiteten från systemet är korrekt;
0 – 1 + (–1)=–2, den tredje identiteten från systemet är korrekt.

Slutsats: med Gauss-Jordan-metoden har vi hittat den korrekta lösningen på ett kvadratiskt system som kombinerar linjära algebraiska ekvationer.

Onlinekalkylatorer

Livet för dagens ungdomar som studerar vid universitet och studerar linjär algebra har förenklats avsevärt. För några år sedan var vi tvungna att hitta lösningar på system med Gauss och Gauss-Jordan-metoden på egen hand. Vissa elever klarade uppgifterna framgångsrikt, medan andra blev förvirrade i lösningen, gjorde misstag, bad klasskamrater om hjälp. Idag kan du använda miniräknare online när du gör läxor. För att lösa system med linjära ekvationer, söka efter inversa matriser, har program skrivits som visar inte bara de korrekta svaren, utan också visar framstegen med att lösa ett visst problem.

Det finns många resurser på Internet med inbyggda onlineräknare. Gaussiska matriser, ekvationssystem löses av dessa program på några sekunder. Eleverna behöver bara ange de nödvändiga parametrarna (till exempel antalet ekvationer,antal variabler).