Ett av de svåraste och mest obegripliga ämnena inom universitetsmatematik är integration och differentialkalkyl. Du behöver känna till och förstå dessa begrepp, samt kunna tillämpa dem. Många universitets tekniska discipliner är knutna till differentialer och integraler.
Kort information om ekvationer
Dessa ekvationer är ett av de viktigaste matematiska begreppen i utbildningssystemet. En differentialekvation är en ekvation som relaterar de oberoende variablerna, funktionen som ska hittas och derivatorna av den funktionen till de variabler som antas vara oberoende. Differentialkalkyl för att hitta en funktion av en variabel kallas ordinär. Om den önskade funktionen beror på flera variabler talar man om en partiell differentialekvation.
Faktum är att hitta ett visst svar på ekvationen handlar om integration, och lösningsmetoden bestäms av typen av ekvation.
Första ordningens ekvationer
En differentialekvation av första ordningen är en ekvation som kan beskriva en variabel, en önskad funktion och dess första derivata. Sådana ekvationer kan ges i tre former: explicit, implicit, differential.
Koncept som behövs för att lösa
Initial condition - inställning av värdet för den önskade funktionen för ett givet värde på en variabel som är oberoende.
Lösning av en differentialekvation - varje differentierbar funktion, exakt ersatt i den ursprungliga ekvationen, gör den till identisk lika. Den erhållna lösningen, som inte är explicit, är integralen av ekvationen.
Den allmänna lösningen av differentialekvationer är en funktion y=y(x;C), som kan uppfylla följande bedömningar:
- En funktion kan bara ha en godtycklig konstant С.
- Den resulterande funktionen måste vara en lösning på ekvationen för eventuella godtyckliga värden på en godtycklig konstant.
- Med ett givet initi altillstånd kan en godtycklig konstant definieras på ett unikt sätt så att den resulterande specifika lösningen kommer att överensstämma med det givna tidiga initiala tillståndet.
I praktiken används ofta Cauchy-problemet - att hitta en lösning som är speciell och kan jämföras med villkoret som sattes i början.
Cauchys sats är en sats som betonar existensen och det unika hos en viss lösning i differentialkalkyl.
Geometrisk betydelse:
- Allmän lösning y=y(x;C)ekvationen är det totala antalet integralkurvor.
- Differentialkalkyl låter dig koppla koordinaterna för en punkt i XOY-planet och tangenten ritad till integralkurvan.
- Att ställa in det ursprungliga tillståndet innebär att ställa in en punkt på planet.
- För att lösa Cauchy-problemet innebär att från hela uppsättningen av integralkurvor som representerar samma lösning av ekvationen, är det nödvändigt att välja den enda som passerar genom den enda möjliga punkten.
- Uppfyllelse av villkoren för Cauchy-satsen vid en punkt innebär att en integralkurva (för övrigt endast en) nödvändigtvis passerar genom den valda punkten i planet.
Separerbar variabelekvation
Per definition är en differentialekvation en ekvation där dess högra sida beskriver eller reflekteras som en produkt (ibland ett förhållande) av två funktioner, en endast beroende av "x", och den andra - endast på "y ". Ett tydligt exempel för denna typ: y'=f1(x)f2(y).
För att lösa ekvationer av en viss form måste du först transformera derivatan y'=dy/dx. Sedan, genom att manipulera ekvationen, måste du föra den till en form där du kan integrera de två delarna av ekvationen. Efter de nödvändiga omvandlingarna integrerar vi båda delarna och förenklar resultatet.
homogena ekvationer
Per definition kan en differentialekvation kallas homogen om den har följande form: y'=g(y/x).
I det här fallet används oftast ersättningen y/x=t(x).
För att lösa sådana ekvationer är det nödvändigt att reducera en homogen ekvation till en form med separerbara variabler. För att göra detta måste du utföra följande operationer:
- Visa, uttrycker derivatan av den ursprungliga funktionen, från valfri originalfunktion som en ny ekvation.
- Nästa steg är att omvandla den resulterande funktionen till formen f(x;y)=g(y/x). Med enklare ord, låt ekvationen endast innehålla förhållandet y/x och konstanter.
- Gör följande ersättning: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Substitutionen som görs kommer att hjälpa till att dividera variablerna i ekvationen och gradvis föra den till en enklare form.
Linjära ekvationer
Definitionen av sådana ekvationer är följande: en linjär differentialekvation är en ekvation där dess högra sida uttrycks som ett linjärt uttryck med avseende på den ursprungliga funktionen. Den önskade funktionen i detta fall: y'=a(x)y + b(x).
Låt oss omformulera definitionen enligt följande: alla ekvationer av första ordningen blir linjära i sin form om den ursprungliga funktionen och dess derivata ingår i förstagradsekvationen och inte multipliceras med varandra. Den "klassiska formen" av en linjär differentialekvation har följande struktur: y' + P(x)y=Q(x).
Innan man löser en sådan ekvation bör den omvandlas till den "klassiska formen". Nästa steg blir valet av lösningsmetoden: Bernoulli-metoden eller Lagrange-metoden.
Lösa ekvationen medanvänder metoden introducerad av Bernoulli, innebär substitution och reduktion av en linjär differentialekvation till två ekvationer med separata variabler i förhållande till funktionerna U(x) och V(x), som gavs i sin ursprungliga form.
Larangemetoden är att hitta en allmän lösning på den ursprungliga ekvationen.
- Det är nödvändigt att hitta samma lösning av den homogena ekvationen. Efter sökning har vi funktionen y=y(x, C), där C är en godtycklig konstant.
- Vi letar efter en lösning på den ursprungliga ekvationen i samma form, men vi anser att C=C(x). Vi ersätter funktionen y=y(x, C(x)) i den ursprungliga ekvationen, hittar funktionen C(x) och skriver ner lösningen av den allmänna ursprungliga ekvationen.
Bernoullis ekvation
Bernoullis ekvation - om den högra sidan av kalkylen har formen f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, där k är ett möjligt rationellt numeriskt värde, inte som ett exempel när k=0 och k=1.
Om k=1 blir kalkylen separerbar, och när k=0 förblir ekvationen linjär.
Låt oss överväga det allmänna fallet att lösa den här typen av ekvationer. Vi har standard Bernoullis ekvation. Den måste reduceras till en linjär, för detta måste du dividera ekvationen med yk. Efter denna operation, byt ut z(x)=y1-k. Efter en serie transformationer kommer ekvationen att reduceras till en linjär, oftast med substitutionsmetoden z=UV.
Ekvationer i totala differentialer
Definition. En ekvation med strukturen P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 kallas en ekvation i sin helhetdifferentialer, om följande villkor är uppfyllt (i detta villkor är "d" en partiell differential): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Alla första ordningens differentialekvationer som övervägdes tidigare kan visas som differentialer.
Sådana beräkningar löses på flera sätt. Men de börjar dock alla med en tillståndskontroll. Om villkoret är uppfyllt, är ekvationens region längst till vänster den totala differentialen för den ännu okända funktionen U(x;y). Sedan, i enlighet med ekvationen, kommer dU (x; y) att vara lika med noll, och därför kommer samma integral av ekvationen i totala differentialer att visas i formen U (x; y) u003d C. Därför visas lösningen av ekvationen reduceras till att hitta funktionen U (x; y).
Integreringsfaktor
Om villkoret dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx inte är uppfyllt i ekvationen, så har inte ekvationen den form som vi ansåg ovan. Men ibland är det möjligt att välja någon funktion M(x;y), när den multipliceras med vilken ekvationen tar formen av en ekvation i full "diffurs". Funktionen M (x;y) kallas den integrerande faktorn.
En integrator kan bara hittas när den blir en funktion av endast en variabel.
