2:a ordningens ytor: exempel

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

Eleven möter oftast ytor av 2:a ordningen under det första året. Till en början kan uppgifter om detta ämne verka enkla, men när du studerar högre matematik och fördjupar dig i den vetenskapliga sidan kan du äntligen sluta orientera dig i vad som händer. För att förhindra att detta händer är det nödvändigt att inte bara memorera utan också förstå hur den eller den ytan erhålls, hur förändring av koefficienterna påverkar den och dess placering i förhållande till det ursprungliga koordinatsystemet och hur man hittar ett nytt system (en där dess centrum sammanfaller med origokoordinaterna och symmetriaxeln är parallell med en av koordinataxlarna). Låt oss börja från början.

Definition

GMT kallas en yta av 2:a ordningen, vars koordinater uppfyller den allmänna ekvationen med följande form:

F(x, y, z)=0.

Det är tydligt att varje punkt som hör till ytan måste ha tre koordinater i någon bestämd grund. Även om i vissa fall punkternas plats kan urarta till exempel till ett plan. Det betyder bara att en av koordinaterna är konstant och lika med noll i hela området av acceptabla värden.

Den fullmålade formen av jämlikheten som nämns ovan ser ut så här:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm – några konstanter, x, y, z – variabler som motsvarar affina koordinater för någon punkt. I detta fall får åtminstone en av konstantfaktorerna inte vara lika med noll, det vill säga ingen punkt kommer att motsvara ekvationen.}

I de allra flesta exempel är många numeriska faktorer fortfarande identiskt lika med noll, och ekvationen är mycket förenklad. I praktiken är det inte svårt att avgöra om en punkt tillhör en yta (det räcker att ersätta dess koordinater i ekvationen och kontrollera om identiteten observeras). Nyckelpunkten i ett sådant arbete är att föra det senare till en kanonisk form.

Ekvationen som skrivs ovan definierar alla (alla listade nedan) ytor av 2:a ordningen. Vi kommer att överväga exempel nedan.

Typer av ytor av 2:a ordningen

Ekvationer för ytor av 2:a ordningen skiljer sig endast i värdena på koefficienterna A_{nm. Ur allmän synvinkel, för vissa värden av konstanterna, kan olika ytor erhållas, klassificerade enligt följande:}

Cylinder.
Elliptisk typ.
Hyperbolisk typ.
Konisk typ.
Paraboltyp.
Planes.

Var och en av de uppräknade typerna har en naturlig och imaginär form: i den imaginära formen urartar platsen för reella punkter antingen till en enklare figur eller saknas helt.

Cylinder

Detta är den enklaste typen, eftersom en relativt komplex kurva endast ligger vid basen och fungerar som en guide. Generatorerna är raka linjer vinkelräta mot det plan som basen ligger i.

Graffen visar en cirkulär cylinder, ett specialfall av en elliptisk cylinder. I XY-planet kommer dess projektion att vara en ellips (i vårt fall en cirkel) - en guide, och i XZ - en rektangel - eftersom generatorerna är parallella med Z-axeln. För att få det från den allmänna ekvationen behöver du för att ge koefficienterna följande värden:

Istället för de vanliga symbolerna används x, y, z, x med ett serienummer - det spelar ingen roll.

Faktum är att 1/a2och de andra konstanterna som anges här är samma koefficienter som anges i den allmänna ekvationen, men det är vanligt att skriva dem i denna form - det här är den kanoniska representationen. Vidare kommer endast en sådan notation att användas.

Så här definieras en hyperbolisk cylinder. Schemat är detsamma - överdriften kommer att vara vägledningen.

y2=2px

En parabolcylinder definieras något annorlunda: dess kanoniska form inkluderar en koefficient p, kallad en parameter. Faktum är att koefficienten är lika med q=2p, men det är vanligt att dela upp den i de två presenterade faktorerna.

Det finns en annan typ av cylinder: imaginär. Ingen riktig punkt tillhör en sådan cylinder. Det beskrivs av ekvationenelliptisk cylinder, men istället för enhet är -1.

Elliptisk typ

En ellipsoid kan sträckas utmed en av axlarna (till vilken den beror på värdena av konstanterna a, b, c, indikerade ovan; det är uppenbart att en större koefficient kommer att motsvara den större axeln).

Det finns också en imaginär ellipsoid - förutsatt att summan av koordinaterna multiplicerat med koefficienterna är -1:

Hyperboloider

När ett minus visas i en av konstanterna förvandlas ellipsoidekvationen till ekvationen för en enkelarkshyperboloid. Det måste förstås att detta minus inte behöver placeras före x₃-koordinaten! Den bestämmer bara vilken av axlarna som kommer att vara rotationsaxeln för hyperboloiden (eller parallell med den, eftersom när ytterligare termer visas i kvadraten (exempelvis (x-2))^{2) figurens centrum förskjuts, som ett resultat av att ytan rör sig parallellt med koordinataxlarna). Detta gäller alla andra ordningens ytor.}

Dessutom måste du förstå att ekvationerna presenteras i kanonisk form och att de kan ändras genom att variera konstanterna (med tecknet bevarat!); medan deras form (hyperboloid, kon och så vidare) förblir densamma.

Denna ekvation ges redan av en hyperboloid med två ark.

Konisk yta

Det finns ingen enhet i konekvationen - lika med noll.

Endast en avgränsad konisk yta kallas kon. Bilden nedan visar att det faktiskt kommer att finnas två så kallade koner på sjökortet.

Viktig anmärkning: i alla betraktade kanoniska ekvationer tas konstanterna som standard positiva. Annars kan tecknet påverka det slutliga diagrammet.

Koordinatplanen blir konens symmetriplan, symmetricentrum ligger vid origo.

Det finns bara plus i den imaginära konekvationen; den äger en enda riktig poäng.

Paraboloids

Ytor av andra ordningen i rymden kan ha olika former även med liknande ekvationer. Det finns till exempel två typer av paraboloider.

x²/a²+y²/b^2=2z

En elliptisk paraboloid, när Z-axeln är vinkelrät mot ritningen, kommer att projiceras till en ellips.

x²/a²-y²/b^2=2z

Hyperbolisk paraboloid: sektioner med plan parallella med ZY kommer att producera paraboler, och sektioner med plan parallella med XY kommer att producera hyperbler.

Korsande plan

Det finns fall då ytor av andra ordningen urartar till ett plan. Dessa plan kan ordnas på olika sätt.

Tänk först på de skärande planen:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Denna modifiering av den kanoniska ekvationen resulterar i bara två skärande plan (imaginära!); alla reella punkter är på axeln för koordinaten som saknas i ekvationen (i den kanoniska - Z-axeln).

Parallellplan

y²=a²

När det bara finns en koordinat, urartar ytorna av 2:a ordningen till ett par parallella plan. Kom ihåg att vilken annan variabel som helst kan ersätta Y; då kommer plan parallella med andra axlar att erhållas.

y²=−a²

I det här fallet blir de imaginära.

sammanfallande plan

y2=0

Med en så enkel ekvation urartar ett par plan till ett - de sammanfaller.

Glöm inte att i fallet med en tredimensionell bas definierar inte ekvationen ovan den räta linjen y=0! Den saknar de andra två variablerna, men det betyder bara att deras värde är konstant och lika med noll.

Byggnad

En av de svåraste uppgifterna för en elev är att bygga ytor av andra ordningen. Det är ännu svårare att flytta från ett koordinatsystem till ett annat, givet kurvans vinklar med avseende på axlarna och förskjutningen av mitten. Låt oss upprepa hur man konsekvent bestämmer den framtida bilden av ritningen med en analytisksätt.

För att bygga en 2:a ordningsyta behöver du:

för ekvationen till kanonisk form;
bestäm vilken typ av yta som studeras;
konstruktion baserat på koefficientvärden.

Nedan är alla typer som beaktas:

För att konsolidera, låt oss i detalj beskriva ett exempel på denna typ av uppgift.

Exempel

Anta att det finns en ekvation:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60y+144=0}

Låt oss ta det till den kanoniska formen. Låt oss peka ut de fullständiga kvadraterna, det vill säga vi ordnar de tillgängliga termerna på ett sådant sätt att de är expansionen av kvadraten på summan eller skillnaden. Till exempel: om (a+1)²=a²+2a+1 then a²+2a +1=(a+1)^{2. Vi kommer att genomföra den andra operationen. I det här fallet är det inte nödvändigt att öppna parenteserna, eftersom detta bara kommer att komplicera beräkningarna, men det är nödvändigt att ta ut den gemensamma faktorn 6 (inom parentes med den fulla kvadraten av Y):}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Variabeln z förekommer i det här fallet endast en gång - du kan låta den vara ifred tills vidare.

Vi analyserar ekvationen i detta skede: alla okända föregås av ett plustecken; dividerat med sex återstår en. Därför har vi en ekvation som definierar en ellipsoid.

Observera att 144 räknades in i 150-6, varefter -6:an flyttades åt höger. Varför behövde det göras på detta sätt? Uppenbarligen är den största divisorn i detta exempel -6, så att efter att ha dividerat med denen är vänster till höger, det är nödvändigt att "skjuta upp" exakt 6 från 144 (det faktum att man bör vara till höger indikeras av närvaron av en fri term - en konstant som inte multipliceras med en okänd).

Dela allt med sex och få den kanoniska ekvationen för ellipsoiden:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

I den tidigare använda klassificeringen av ytor av 2:a ordningen övervägs ett specialfall när figurens centrum är i utgångspunkten för koordinater. I det här exemplet är det offset.

Vi antar att varje parentes med okända är en ny variabel. Det vill säga: a=x-1, b=y+5, c=z. I de nya koordinaterna sammanfaller ellipsoidens centrum med punkten (0, 0, 0), därför a=b=c=0, varav: x=1, y=-5, z=0. I de initiala koordinaterna ligger figurens mitt i punkten (1, -5, 0).

Ellipsoid kommer att erhållas från två ellipser: den första i XY-planet och den andra i XZ-planet (eller YZ - det spelar ingen roll). Koefficienterna som variablerna divideras med kvadreras i den kanoniska ekvationen. Därför skulle det i exemplet ovan vara mer korrekt att dividera med roten av två, ett och roten av tre.

Den första ellipsens mindre axel, parallell med Y-axeln, är två. Huvudaxeln parallell med x-axeln är två rötter av två. Den andra ellipsens mindre axel, parallell med Y-axeln, förblir densamma - den är lika med två. Och huvudaxeln, parallell med Z-axeln, är lika med två rötter av tre.

Med hjälp av data som erhållits från den ursprungliga ekvationen genom att konvertera till den kanoniska formen kan vi rita en ellipsoid.

Sammanfattning

Täcks i den här artikelnämnet är ganska omfattande, men faktiskt, som du nu kan se, inte särskilt komplicerat. Dess utveckling slutar faktiskt i det ögonblick då du memorerar ytornas namn och ekvationer (och, naturligtvis, hur de ser ut). I exemplet ovan har vi diskuterat varje steg i detalj, men att föra ekvationen till den kanoniska formen kräver minimal kunskap om högre matematik och bör inte orsaka några svårigheter för eleven.

Analys av det framtida schemat för den befintliga jämställdheten är redan en svårare uppgift. Men för en framgångsrik lösning räcker det att förstå hur motsvarande andra ordningens kurvor är uppbyggda - ellipser, paraboler och andra.

Degenerationsfall – ett ännu enklare avsnitt. På grund av frånvaron av vissa variabler förenklas inte bara beräkningarna, som tidigare nämnts, utan även själva konstruktionen.

Så snart du med säkerhet kan namnge alla typer av ytor, variera konstanterna, förvandla grafen till en eller annan form - ämnet kommer att bemästras.

Framgång med dina studier!