Jag tycker att vi bör börja med historien om ett så fantastiskt matematiskt verktyg som differentialekvationer. Liksom alla differential- och integralkalkyler uppfanns dessa ekvationer av Newton i slutet av 1600-talet. Han ansåg just denna upptäckt av honom så viktig att han till och med krypterade meddelandet, som idag kan översättas ungefär så här: "Alla naturlagar beskrivs av differentialekvationer." Detta kan verka som en överdrift, men det är sant. Alla lagar inom fysik, kemi, biologi kan beskrivas med dessa ekvationer.
Matematikerna Euler och Lagrange gjorde ett enormt bidrag till utvecklingen och skapandet av teorin om differentialekvationer. Redan på 1700-talet upptäckte och utvecklade de det de nu studerar på universitetens seniorkurser.
En ny milstolpe i studiet av differentialekvationer började tack vare Henri Poincare. Han skapade en "kvalitativ teori om differentialekvationer", som, i kombination med teorin om funktioner för en komplex variabel, gav ett betydande bidrag till grunden för topologi - vetenskapen om rymden och dessegenskaper.
Vad är differentialekvationer?
Många människor är rädda för en fras "differentialekvation". Men i den här artikeln kommer vi att beskriva hela essensen av denna mycket användbara matematiska apparat, som faktiskt inte är så komplicerad som det verkar av namnet. För att börja prata om första ordningens differentialekvationer bör du först bekanta dig med de grundläggande begreppen som är naturligt relaterade till denna definition. Och vi börjar med skillnaden.
Differential
Många känner till detta koncept från skolan. Men låt oss ta en närmare titt på det. Föreställ dig en graf över en funktion. Vi kan öka det till en sådan grad att vilket som helst av dess segment kommer att ta formen av en rät linje. På den tar vi två punkter som ligger oändligt nära varandra. Skillnaden mellan deras koordinater (x eller y) kommer att vara ett oändligt litet värde. Det kallas en differential och betecknas med tecknen dy (differential från y) och dx (differential från x). Det är mycket viktigt att förstå att differentialen inte är ett ändligt värde, och detta är dess betydelse och huvudfunktion.
Och nu måste vi överväga nästa element, som kommer att vara användbart för oss för att förklara konceptet med en differentialekvation. Det här är derivatan.
derivat
Vi har förmodligen alla hört i skolan och det här konceptet. Derivaten sägs vara tillväxten eller minskningen av en funktion. Men från denna definitionmycket blir oklart. Låt oss försöka förklara derivatan i termer av differentialer. Låt oss gå tillbaka till ett infinitesim alt segment av en funktion med två punkter som är på minsta avstånd från varandra. Men även för detta avstånd lyckas funktionen ändras något. Och för att beskriva denna förändring kom de fram till en derivata, som annars kan skrivas som ett förhållande mellan differentialer: f(x)'=df/dx.
Nu är det värt att överväga de grundläggande egenskaperna hos derivatan. Det finns bara tre av dem:
- Derivatan av summan eller skillnaden kan representeras som summan eller skillnaden av derivator: (a+b)'=a'+b' och (a-b)'=a'-b'.
- Den andra egenskapen är relaterad till multiplikation. Derivatan av en produkt är summan av produkterna av en funktion och derivatan av en annan: (ab)'=a'b+ab'.
- Derivatan av skillnaden kan skrivas som följande likhet: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Alla dessa egenskaper kommer att vara användbara för att hitta lösningar på första ordningens differentialekvationer.
Det finns också partiella derivator. Låt oss säga att vi har en funktion z som beror på variablerna x och y. För att beräkna den partiella derivatan av denna funktion, till exempel med avseende på x, måste vi ta variabeln y som en konstant och helt enkelt differentiera.
Integral
Ett annat viktigt koncept är integralen. I själva verket är detta den raka motsatsen till derivatan. Det finns flera typer av integraler, men för att lösa de enklaste differentialekvationerna behöver vi de mest triviala obestämda integralerna.
Så vad är en integral? Låt oss säga att vi har ett visst beroende ffrån x. Vi tar integralen från den och får funktionen F (x) (ofta kallad antiderivatan), vars derivata är lika med den ursprungliga funktionen. Således F(x)'=f(x). Av detta följer också att integralen av derivatan är lika med den ursprungliga funktionen.
När man löser differentialekvationer är det mycket viktigt att förstå innebörden och funktionen av integralen, eftersom man måste ta dem väldigt ofta för att hitta lösningen.
Ekvationer är olika beroende på deras natur. I nästa avsnitt kommer vi att överväga typerna av första ordningens differentialekvationer och sedan lära oss hur man löser dem.
Klasser av differentialekvationer
"Diffury" är uppdelade enligt ordningen på de derivat som är involverade i dem. Således finns den första, andra, tredje och fler ordningen. De kan också delas in i flera klasser: ordinära och partiella derivator.
I den här artikeln kommer vi att behandla vanliga differentialekvationer av första ordningen. Vi kommer också att diskutera exempel och sätt att lösa dem i följande avsnitt. Vi kommer endast att överväga ODE, eftersom dessa är de vanligaste typerna av ekvationer. Vanliga är indelade i underarter: med separerbara variabler, homogena och heterogena. Därefter kommer du att lära dig hur de skiljer sig från varandra och lära dig hur du löser dem.
Dessutom kan dessa ekvationer kombineras, så att vi efter det får ett system av differentialekvationer av första ordningen. Vi kommer också att överväga sådana system och lära oss hur man löser dem.
Varför överväger vi bara den första beställningen? För du måste börja med en enkel och beskriva allt som har med differential att göraekvationer, i en artikel är helt enkelt omöjligt.
Separerbara variabelekvationer
Dessa är kanske de enklaste differentialekvationerna av första ordningen. Dessa inkluderar exempel som kan skrivas så här: y'=f(x)f(y). För att lösa denna ekvation behöver vi en formel för att representera derivatan som ett förhållande mellan differentialer: y'=dy/dx. Med hjälp av det får vi följande ekvation: dy/dx=f(x)f(y). Nu kan vi vända oss till metoden för att lösa standardexempel: vi kommer att dela upp variablerna i delar, dvs vi kommer att överföra allt med variabeln y till den del där dy finns, och vi kommer att göra samma sak med variabeln x. Vi får en ekvation av formen: dy/f(y)=f(x)dx, som löses genom att ta integralerna av båda delarna. Glöm inte konstanten som måste ställas in efter att ha tagit integralen.
Lösningen på eventuell "diffurans" är en funktion av beroendet av x på y (i vårt fall) eller, om det finns ett numeriskt villkor, så är svaret i form av ett tal. Låt oss analysera hela lösningens förlopp med ett specifikt exempel:
y'=2ysin(x)
Flytta variabler i olika riktningar:
dy/y=2sin(x)dx
Nu tar vi integraler. Alla kan hittas i en speciell tabell med integraler. Och vi får:
ln(y)=-2cos(x) + C
Vi kan uttrycka "y" som en funktion av "x" om det behövs. Nu kan vi säga att vår differentialekvation är löst om inget villkor ges. Ett villkor kan ges, till exempel, y(n/2)=e. Sedan byter vi helt enkelt ut värdet av dessa variabler i lösningen ochhitta värdet på konstanten. I vårt exempel är det lika med 1.
Första ordningens homogena differentialekvationer
Nu till den svårare delen. Homogena differentialekvationer av första ordningen kan skrivas i allmän form enligt följande: y'=z(x, y). Det bör noteras att den rätta funktionen av två variabler är homogen, och den kan inte delas upp i två beroenden: z på x och z på y. Att kontrollera om ekvationen är homogen eller inte är ganska enkelt: vi gör substitutionen x=kx och y=ky. Nu avbryter vi alla k. Om alla dessa bokstäver reduceras är ekvationen homogen och du kan säkert fortsätta att lösa den. Om vi ser framåt, låt oss säga: principen för att lösa dessa exempel är också mycket enkel.
Vi måste göra en substitution: y=t(x)x, där t är någon funktion som också beror på x. Då kan vi uttrycka derivatan: y'=t'(x)x+t. Genom att ersätta allt detta i vår ursprungliga ekvation och förenkla den får vi ett exempel med separerbara variabler t och x. Vi löser det och får beroendet t(x). När vi fick det, ersätter vi helt enkelt y=t(x)x med vår tidigare ersättning. Då får vi beroendet av y på x.
För att göra det tydligare, låt oss titta på ett exempel: xy'=y-xey/x.
När du kontrollerar med byte, reduceras allt. Så ekvationen är verkligen homogen. Nu gör vi en annan substitution som vi pratade om: y=t(x)x och y'=t'(x)x+t(x). Efter förenkling får vi följande ekvation: t'(x)x=-et. Vi löser det resulterande exemplet med separerade variabler och får: e-t=ln(Cx). Vi behöver bara ersätta t med y/x (trots allt, om y=tx, då t=y/x), och vi fårsvar: e-y/x=ln(xC).
Första ordningens linjära differentialekvationer
Det är dags för ännu ett stort ämne. Vi kommer att analysera inhomogena differentialekvationer av första ordningen. Hur skiljer de sig från de två föregående? Låt oss ta reda på det. Linjära differentialekvationer av första ordningen i allmän form kan skrivas på följande sätt: y' + g(x)y=z(x). Det är värt att förtydliga att z(x) och g(x) kan vara konstanter.
Och nu ett exempel: y' - yx=x2.
Det finns två sätt att lösa det, och vi kommer att hantera båda i ordning. Den första är metoden för variation av godtyckliga konstanter.
För att lösa ekvationen på detta sätt måste du först likställa den högra sidan till noll och lösa den resulterande ekvationen, som efter att ha flyttat delarna kommer att ha formen:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Nu måste vi ersätta konstanten C1 med funktionen v(x) som vi måste hitta.
y=vex2/2.
Låt oss ändra derivatan:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Och ersätt dessa uttryck med den ursprungliga ekvationen:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Du kan se att två termer avbryts på vänster sida. Om det i något exempel inte hände så gjorde du något fel. Fortsätt:
v'ex2/2 =x2.
Nu löser vi den vanliga ekvationen där vi måste separera variablerna:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
För att extrahera integralen måste vi tillämpa integration av delar här. Detta är dock inte ämnet för vår artikel. Om du är intresserad kan du lära dig hur du själv utför sådana åtgärder. Det är inte svårt, och med tillräcklig skicklighet och uppmärksamhet tar det inte mycket tid.
Låt oss övergå till den andra metoden för att lösa inhomogena ekvationer: Bernoulli-metoden. Vilken metod som är snabbare och enklare är upp till dig.
Så, när vi löser ekvationen med den här metoden måste vi ersätta: y=kn. Här är k och n några x-beroende funktioner. Då kommer derivatan att se ut så här: y'=k'n+kn'. Ersätt båda ersättningarna i ekvationen:
k'n+kn'+xkn=x2.
Grupp:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Nu måste vi likställa med noll vad som står inom parentes. Om du nu kombinerar de två resulterande ekvationerna får du ett system av första ordningens differentialekvationer som du behöver lösa:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Den första likheten löses som en vanlig ekvation. För att göra detta måste du separera variablerna:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Ta integralen och få: ln(n)=x2/2. Sedan, om vi uttrycker n:
n=ex2/2.
Nu ersätter vi den resulterande likheten med den andra ekvationen i systemet:
k'ex2/2=x2.
Och omvandling får vi samma jämställdhet som i den första metoden:
dk=x2/ex2/2.
Vi kommer inte att gå in i ytterligare steg heller. Det är värt att säga att till en början orsakar lösningen av första ordningens differentialekvationer betydande svårigheter. Men när du dyker djupare in i ämnet börjar det bli bättre och bättre.
Var används differentialekvationer?
Differentialekvationer används mycket aktivt i fysiken, eftersom nästan alla grundläggande lagar är skrivna i differentialform, och formlerna som vi ser är lösningen av dessa ekvationer. Inom kemin används de av samma anledning: grundläggande lagar härleds från dem. Inom biologi används differentialekvationer för att modellera beteendet hos system, såsom rovdjur-byte. De kan också användas för att skapa reproduktionsmodeller av till exempel en koloni av mikroorganismer.
Hur kommer differentialekvationer att hjälpa i livet?
Svaret på den här frågan är enkelt: inget sätt. Om du inte är en vetenskapsman eller ingenjör, är det osannolikt att de kommer att vara användbara för dig. Men för allmän utveckling skadar det inte att veta vad en differentialekvation är och hur den löses. Och så frågan om en son eller dotter "vad är en differentialekvation?" kommer inte att förvirra dig. Tja, om du är en vetenskapsman eller ingenjör, då förstår du själv vikten av detta ämne i vilken vetenskap som helst. Men det viktigaste är att nu frågan "hur man löser en första ordningens differentialekvation?" du kan alltid svara. Håller med, det är alltid trevligtnär du förstår vad folk till och med är rädda för att förstå.
Huvudsakliga inlärningsproblem
Det största problemet med att förstå detta ämne är den dåliga förmågan att integrera och differentiera funktioner. Om du är dålig på att ta derivator och integraler så borde du nog lära dig mer, behärska olika metoder för integration och differentiering och först därefter börja studera materialet som beskrevs i artikeln.
En del människor blir förvånade när de får reda på att dx kan överföras, eftersom det tidigare (i skolan) angavs att bråket dy/dx är odelbart. Här måste du läsa litteraturen om derivatan och förstå att det är förhållandet mellan infinitesimala storheter som kan manipuleras när man löser ekvationer.
Många inser inte omedelbart att lösningen av första ordningens differentialekvationer ofta är en funktion eller en integral som inte kan tas, och denna vanföreställning ger dem mycket problem.
Vad mer kan studeras för en bättre förståelse?
Det är bäst att börja ytterligare fördjupa sig i differentialkalkylens värld med specialiserade läroböcker, till exempel i kalkyl för elever med icke-matematiska specialiteter. Sedan kan du gå vidare till mer specialiserad litteratur.
Det ska sägas att det förutom differentialekvationer även finns integralekvationer, så du kommer alltid att ha något att sträva efter och något att studera.
Slutsats
Vi hoppas att efter att ha lästDen här artikeln gav dig en uppfattning om vad differentialekvationer är och hur du löser dem korrekt.
I alla fall kommer matematik på något sätt vara användbart för oss i livet. Den utvecklar logik och uppmärksamhet, utan vilken varje person är som utan händer.
