Även i skolan studerade var och en av oss ekvationer och, förvisso, ekvationssystem. Men det är inte många som vet att det finns flera sätt att lösa dem. Idag kommer vi att analysera i detalj alla metoder för att lösa ett system av linjära algebraiska ekvationer, som består av mer än två likheter.
Historia
Idag är det känt att konsten att lösa ekvationer och deras system har sitt ursprung i det gamla Babylon och Egypten. Men jämlikheter i sin vanliga form dök upp efter uppkomsten av likhetstecknet "=", som infördes 1556 av den engelska matematikern Record. Förresten, detta tecken valdes av en anledning: det betyder två parallella lika segment. Det finns faktiskt inget bättre exempel på jämlikhet.
Grundaren av moderna bokstavsbeteckningar på okända och tecken på grader är den franske matematikern Francois Viet. Hans beteckningar skiljde sig dock betydligt från dagens. Till exempel betecknade han kvadraten på ett okänt tal med bokstaven Q (lat. "quadratus") och kuben med bokstaven C (lat. "cubus"). Dessa beteckningar verkar nu vara obekväma, men alltsådet var det mest begripliga sättet att skriva system med linjära algebraiska ekvationer.
Nackdelen med dåtidens lösningsmetoder var dock att matematiker endast ansåg positiva rötter. Kanske beror detta på det faktum att negativa värden inte hade någon praktisk användning. På ett eller annat sätt var det de italienska matematikerna Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano och Rafael Bombelli som var de första som övervägde negativa rötter på 1500-talet. Och det moderna utseendet, huvudmetoden för att lösa andragradsekvationer (genom diskriminanten) skapades först på 1600-talet tack vare Descartes och Newtons arbete.
I mitten av 1700-talet hittade den schweiziske matematikern Gabriel Cramer ett nytt sätt att göra det enklare att lösa system med linjära ekvationer. Denna metod döptes senare efter honom och än idag använder vi den. Men vi kommer att prata om Cramer-metoden lite senare, men för nu kommer vi att diskutera linjära ekvationer och metoder för att lösa dem separat från systemet.
Linjära ekvationer
Linjära ekvationer är de enklaste likheterna med variabel(er). De klassificeras som algebraiska. Linjära ekvationer skrivs i allmän form enligt följande: 2+…a x =b. Vi kommer att behöva deras representation i denna form när vi kompilerar system och matriser vidare.
System av linjära algebraiska ekvationer
Definitionen av denna term är denna: det är en uppsättning ekvationer som har gemensamma okända och en gemensam lösning. I regel bestämdes allt av system i skolanmed två eller till och med tre ekvationer. Men det finns system med fyra eller fler komponenter. Låt oss först ta reda på hur man skriver ner dem så att det är bekvämt att lösa dem senare. För det första kommer system med linjära algebraiska ekvationer att se bättre ut om alla variabler skrivs som x med lämpligt index: 1, 2, 3, och så vidare. För det andra bör alla ekvationer reduceras till den kanoniska formen: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Efter alla dessa steg kan vi börja prata om hur man hittar en lösning på system med linjära ekvationer. Matriser kommer att vara mycket användbara för detta.
Matriser
En matris är en tabell som består av rader och kolumner, och dess element är placerade i deras skärningspunkt. Dessa kan antingen vara specifika värden eller variabler. Oftast, för att beteckna element, placeras prenumerationer under dem (till exempel a11 eller a23). Det första indexet betyder radnumret och det andra kolumnnumret. På matriser, såväl som på alla andra matematiska element, kan du utföra olika operationer. Så du kan:
1) Subtrahera och lägg till tabeller av samma storlek.
2) Multiplicera en matris med något tal eller vektor.
3) Transponera: Förvandla matrisrader till kolumner och kolumner till rader.
4) Multiplicera matriser om antalet rader i en av dem är lika med antalet kolumner i den andra.
Vi kommer att diskutera alla dessa tekniker mer i detalj, eftersom de kommer att vara användbara för oss i framtiden. Att subtrahera och lägga till matriser är väldigt enkelt. SåNär vi tar matriser av samma storlek, så motsvarar varje element i en tabell varje element i en annan. Således adderar (subtraherar) vi dessa två element (det är viktigt att de är på samma ställen i sina matriser). När du multiplicerar en matris med ett tal eller vektor behöver du helt enkelt multiplicera varje element i matrisen med det talet (eller vektorn). Transponering är en mycket intressant process. Det är väldigt intressant ibland att se det i verkligheten, till exempel när du ändrar orienteringen på en surfplatta eller telefon. Ikonerna på skrivbordet är en matris, och när du ändrar positionen transponeras den och blir bredare, men minskar i höjd.
Låt oss ta en ny titt på en sådan process som matrismultiplikation. Även om det inte kommer att vara användbart för oss, kommer det fortfarande att vara användbart att veta det. Du kan bara multiplicera två matriser om antalet kolumner i en tabell är lika med antalet rader i den andra. Låt oss nu ta elementen i en rad i en matris och elementen i motsvarande kolumn i en annan. Vi multiplicerar dem med varandra och adderar dem sedan (det vill säga till exempel produkten av elementen a11 och a12 med b 12och b22 kommer att vara lika med: a11b12 + a 12 b22). Således erhålls ett element i tabellen, och det fylls ytterligare med en liknande metod.
Nu kan vi börja titta på hur systemet med linjära ekvationer löses.
Gauss-metoden
Det här ämnet börjar passera även i skolan. Vi känner väl till begreppet "system av två linjära ekvationer" och vet hur man löser dem. Men vad händer om antalet ekvationer är fler än två? Gauss-metoden hjälper oss med detta.
Självklart är den här metoden bekväm att använda om du gör en matris av systemet. Men du kan inte omvandla det och lösa det i dess renaste form.
Så hur löser den här metoden systemet med linjära Gaussiska ekvationer? Förresten, även om denna metod är uppkallad efter honom, upptäcktes den i antiken. Gauss föreslår följande: att utföra operationer med ekvationer för att så småningom reducera hela mängden till en stegvis form. Det vill säga, det är nödvändigt att från topp till botten (om den är korrekt placerad) från den första ekvationen till den sista minskar en okänd. Med andra ord måste vi se till att vi får, säg, tre ekvationer: i den första - tre okända, i den andra - två, i den tredje - en. Från den sista ekvationen hittar vi den första okända, ersätter dess värde med den andra eller första ekvationen och hittar sedan de återstående två variablerna.
Cramer-metoden
För att behärska den här metoden är det viktigt att behärska färdigheterna i addition, subtraktion av matriser, och du måste också kunna hitta determinanter. Därför, om du gör allt detta dåligt eller inte vet hur alls, måste du lära dig och öva.
Vad är kärnan i denna metod, och hur gör man det så att ett system av linjära Cramer-ekvationer erhålls? Allt är väldigt enkelt. Vi måste konstruera en matris från numeriska (nästan alltid) koefficienter för ett system av linjära algebraiska ekvationer. För att göra detta, ta helt enkelt siffrorna framför de okända och ordna demtabellen i den ordning som de registreras i systemet. Om talet föregås av ett "-"-tecken, skriver vi ner en negativ koefficient. Så vi har sammanställt den första matrisen från koefficienterna för de okända, inte inklusive talen efter likhetstecken (naturligtvis bör ekvationen reduceras till den kanoniska formen, när bara talet är till höger, och alla okända med koefficienter till vänster). Sedan behöver du skapa flera matriser till - en för varje variabel. För att göra detta ersätter vi i sin tur varje kolumn med koefficienter i den första matrisen med en kolumn med tal efter likhetstecknet. Således får vi flera matriser och hittar sedan deras determinanter.
Efter att vi har hittat bestämningsfaktorerna är saken liten. Vi har en initial matris, och det finns flera resulterande matriser som motsvarar olika variabler. För att få systemets lösningar delar vi determinanten för den resulterande tabellen med determinanten för den initiala tabellen. Det resulterande talet är värdet av en av variablerna. På samma sätt hittar vi alla okända.
Andra metoder
Det finns flera fler metoder för att få lösningen av system med linjära ekvationer. Till exempel den så kallade Gauss-Jordan-metoden, som används för att hitta lösningar på ett system av andragradsekvationer och som också är förknippad med användning av matriser. Det finns också en Jacobi-metod för att lösa ett system av linjära algebraiska ekvationer. Det är lättast att anpassa till en dator och används i datoranvändning.
Svåra fall
Komplexitet uppstår vanligtvis när antalet ekvationer är mindre än antalet variabler. Då kan vi med säkerhet säga att antingen är systemet inkonsekvent (det vill säga har det inga rötter), eller så tenderar antalet av dess lösningar till oändlighet. Om vi har det andra fallet, måste vi skriva ner den allmänna lösningen av systemet med linjära ekvationer. Den kommer att innehålla minst en variabel.
Slutsats
Här kommer vi till slutet. För att sammanfatta: vi har analyserat vad ett system och en matris är, vi har lärt oss hur man hittar en generell lösning på ett system av linjära ekvationer. Dessutom övervägdes andra alternativ. Vi fick reda på hur systemet med linjära ekvationer löses: Gaussmetoden och Cramermetoden. Vi pratade om svåra fall och andra sätt att hitta lösningar.
Det här ämnet är faktiskt mycket mer omfattande, och om du vill förstå det bättre rekommenderar vi att du läser mer specialiserad litteratur.
