Ojämlikheter och system för ojämlikhet är ett av ämnena som lärs ut i gymnasiealgebra. När det gäller svårighetsgrad är det inte det svåraste, eftersom det har enkla regler (om dem lite senare). Som regel lär sig skolbarn lösningen av system för ojämlikhet ganska lätt. Detta beror också på att lärare helt enkelt "utbildar" sina elever i detta ämne. Och de kan inte annat än att göra detta, eftersom det studeras i framtiden med användning av andra matematiska storheter, och kontrolleras även för OGE och Unified State Examination. I skolböcker behandlas ämnet ojämlikheter och system för ojämlikhet mycket detaljerat, så om du ska studera det är det bäst att ta till dem. Den här artikeln är bara en omskrivning av mycket material och kan innehålla vissa utelämnanden.
Begreppet ett system av ojämlikheter
Om vi vänder oss till det vetenskapliga språket kan vi definiera begreppet "systemojämlikheter". Detta är en sådan matematisk modell som representerar flera ojämlikheter. Naturligtvis kräver denna modell en lösning, och den kommer att vara det allmänna svaret för alla ojämlikheter i systemet som föreslås i uppgiften (vanligtvis skrivs det så här, för exempel: "Lös systemet med ojämlikheter 4 x + 1 > 2 och 30 - x > 6… ").
Ojämlikhetssystem och ekvationssystem
I processen att lära sig ett nytt ämne uppstår ofta missförstånd. Å ena sidan är allt klart och jag vill hellre börja lösa uppgifter, men å andra sidan ligger vissa stunder kvar i "skuggan", de förstås inte så bra. Vissa delar av redan förvärvad kunskap kan också flätas samman med nya. Misstag uppstår ofta som ett resultat av denna överlappning.
Därför, innan vi går vidare till analysen av vårt ämne, bör vi komma ihåg skillnaderna mellan ekvationer och ojämlikheter, deras system. För att göra detta är det nödvändigt att återigen klargöra vad dessa matematiska begrepp är. En ekvation är alltid en likhet, och den är alltid lika med något (i matematiken betecknas detta ord med tecknet "="). Ojämlikhet är en modell där ett värde antingen är större eller mindre än ett annat, eller innehåller påståendet att de inte är samma. I det första fallet är det alltså lämpligt att tala om jämlikhet, och i det andra, hur självklart det än kan låta avsjälva namnet, om de initiala uppgifternas ojämlikhet. Ekvationssystem och ojämlikheter skiljer sig praktiskt taget inte från varandra och metoderna för deras lösning är desamma. Den enda skillnaden är att den förra använder jämlikheter medan den senare använder ojämlikheter.
Typer av ojämlikheter
Det finns två typer av ojämlikheter: numeriska och med en okänd variabel. Den första typen tillhandahålls värden (tal) som inte är lika med varandra, till exempel 8 > 10. Den andra typen är ojämlikheter som innehåller en okänd variabel (anges med någon bokstav i det latinska alfabetet, oftast X). Denna variabel måste hittas. Beroende på hur många det finns skiljer den matematiska modellen mellan ojämlikheter med en (de utgör ett system av ojämlikheter med en variabel) eller flera variabler (de utgör ett system av ojämlikheter med flera variabler).
De två sista typerna, beroende på graden av deras konstruktion och graden av komplexitet hos lösningen, är uppdelade i enkla och komplexa. Enkla sådana kallas också linjära ojämlikheter. De är i sin tur uppdelade i strikta och icke-stränga. Strikt specifikt "säg" att ett värde måste vara antingen mindre eller mer, så detta är ren ojämlikhet. Det finns flera exempel: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, etc. Icke strikta inkluderar även jämlikhet. Det vill säga, ett värde kan vara större än eller lika med ett annat värde (tecken "≧") eller mindre än eller lika med ett annat värde (tecken "≦"). Fortfarande i köI ojämlikheter står variabeln inte vid roten, kvadrat, är inte delbar med någonting, varför de kallas "enkla". Komplexa sådana inkluderar okända variabler, vars upptäckt kräver mer matematiska operationer. De är ofta i en kvadrat, kub eller under roten, de kan vara modulära, logaritmiska, bråkdelar etc. Men eftersom vår uppgift är att förstå lösningen av system av ojämlikheter kommer vi att prata om ett system av linjära ojämlikheter. Men innan dess bör några ord sägas om deras egenskaper.
Ojämlikheters egenskaper
Egenskaperna hos ojämlikheter inkluderar följande bestämmelser:
- Olikhetstecknet vänds om operationen för att ändra sekvensen av sidor tillämpas (till exempel om t1 ≦ t2, sedan t 2 ≧ t1).
- Båda delarna av ojämlikheten tillåter dig att lägga till samma nummer till dig själv (till exempel om t1 ≦ t2, sedan t 1 + nummer ≦ t2 + nummer).
- Två eller fler olikheter med tecknet i samma riktning låter dig lägga till deras vänstra och högra delar (till exempel om t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, sedan t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Båda delarna av ojämlikheten låter sig multipliceras eller divideras med samma positiva tal (till exempel om t1 ≦ t2och nummer ≦ 0, sedan nummer t1 ≧ nummer t2).
- Två eller fler ojämlikheter som har positiva termer och ett tecken på samma riktning tillåtermultiplicera varandra (till exempel om t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 sedan t1 t3 ≦ t2 t4).
- Båda delarna av olikheten låter sig multipliceras eller divideras med samma negativa tal, men olikhetstecknet ändras (till exempel om t1 ≦ t2 och nummer ≦ 0, sedan nummer t1 ≧ nummer t2).
- Alla ojämlikheter är transitiva (till exempel om t1 ≦ t2 och t2≦ t3, sedan t1 ≦ t3).
Nu, efter att ha studerat de viktigaste bestämmelserna i teorin relaterade till ojämlikheter, kan vi gå direkt vidare till övervägandet av reglerna för att lösa deras system.
Lösning av system för ojämlikhet. Allmän information. Lösningar
Som nämnts ovan är lösningen värdena på variabeln som passar alla olikheter i det givna systemet. Lösningen av system av ojämlikheter är implementeringen av matematiska operationer som i slutändan leder till lösningen av hela systemet eller bevisar att det inte har några lösningar. I det här fallet sägs variabeln hänvisa till den tomma talmängden (skriven enligt följande: bokstaven som anger variabeln ∈ (tecknet "tillhör") ø (tecknet "tom mängd"), till exempel x ∈ ø (det läses så här: "Variabeln "x" tillhör den tomma mängden"). Det finns flera sätt att lösa system av ojämlikheter:grafisk, algebraisk, substitutionsmetod. Det är värt att notera att de hänvisar till de matematiska modeller som har flera okända variabler. Om det bara finns en, fungerar avståndsmetoden.
Grafisk metod
Låter dig lösa ett system av ojämlikheter med flera okända (från två eller fler). Tack vare denna metod löses systemet med linjära ojämlikheter ganska enkelt och snabbt, så det är den vanligaste metoden. Detta beror på att plottning minskar mängden matematiska operationer att skriva. Det blir särskilt trevligt att ta en liten paus från pennan, plocka upp en penna med en linjal och fortsätta med ytterligare åtgärder med deras hjälp när mycket arbete har gjorts och du vill ha lite variation. Vissa gillar dock inte den här metoden på grund av att du måste bryta dig från uppgiften och byta din mentala aktivitet till att rita. Det är dock ett mycket effektivt sätt.
För att lösa ett system av ojämlikheter med hjälp av en grafisk metod, är det nödvändigt att överföra alla medlemmar av varje ojämlikhet till deras vänstra sida. Tecknen kommer att vara omvända, noll ska skrivas till höger, sedan ska varje olikhet skrivas separat. Som ett resultat kommer funktioner att erhållas från ojämlikheter. Efter det kan du få en penna och en linjal: nu måste du rita en graf för varje erhållen funktion. Hela uppsättningen av tal som kommer att vara i intervallet för deras skärningspunkt kommer att vara lösningen på systemet av ojämlikheter.
algebraiskt sätt
Låter dig lösa ett system av ojämlikheter med två okända variabler. Ojämlikheter måste också ha samma olikhetstecken (det vill säga de måste innehålla antingen bara "större än"-tecknet, eller bara "mindre än"-tecknet etc.) Trots sina begränsningar är denna metod också mer komplicerad. Den tillämpas i två steg.
Den första innebär att bli av med en av de okända variablerna. Först måste du välja den och sedan kontrollera förekomsten av siffror framför denna variabel. Om det inte finns några (då kommer variabeln att se ut som en enda bokstav), så ändrar vi ingenting, om det finns det (variabeltypen kommer till exempel att vara 5y eller 12y), då är det nödvändigt att se till att i varje olikhet är talet framför den valda variabeln detsamma. För att göra detta måste du multiplicera varje medlem av ojämlikheten med en gemensam faktor, till exempel om 3y skrivs i den första ojämlikheten och 5y i den andra, då måste du multiplicera alla medlemmarna i den första ojämlikheten med 5, och den andra med 3. Du får 15 år respektive 15 år.
Den andra etappen av beslutet. Det är nödvändigt att överföra den vänstra sidan av varje olikhet till deras högra sidor med en förändring av tecknet för varje term till det motsatta, skriv noll till höger. Sedan kommer det roliga: att bli av med den valda variabeln (annars känd som "reduktion") samtidigt som man lägger ihop ojämlikheterna. Du kommer att få en ojämlikhet med en variabel som behöver lösas. Efter det bör du göra samma sak, bara med en annan okänd variabel. Resultaten som erhålls kommer att vara systemets lösning.
bytesmetod
Låter dig lösa ett system av ojämlikheter när du har möjlighet att introducera en ny variabel. Vanligtvis används denna metod när den okända variabeln i en term av ojämlikheten höjs till fjärde potens, och i den andra termen kvadreras den. Denna metod syftar således till att minska graden av ojämlikheter i systemet. Provolikheten x4 - x2 - 1 ≦ 0 löses på detta sätt enligt följande. En ny variabel introduceras, till exempel t. De skriver: "Låt t=x2", sedan skrivs modellen om i ny form. I vårt fall får vi t2 - t - 1 ≦0. Denna ojämlikhet måste lösas med intervallmetoden (om det lite senare), gå sedan tillbaka till variabeln X och gör sedan samma sak med en annan olikhet. De mottagna svaren kommer att vara systemets beslut.
Intervallmetod
Detta är det enklaste sättet att lösa system av ojämlikhet, och samtidigt är det universellt och utbrett. Det används i gymnasiet, och även i gymnasiet. Dess väsen ligger i det faktum att eleven letar efter intervall av ojämlikhet på tallinjen, som ritas i en anteckningsbok (detta är inte en graf, utan bara en vanlig rak linje med siffror). Där intervallen av ojämlikheter skär varandra, hittas systemets lösning. Följ dessa steg för att använda avståndsmetoden:
- Alla medlemmar av varje ojämlikhet överförs till vänster sida med en byte av tecken till motsatt (noll skrivs till höger).
- Ojämlikheter skrivs ut separat, lösningen för var och en av dem bestäms.
- Skärningspunkterna för ojämlikheter på numeriskahetero. Alla siffror vid dessa korsningar kommer att vara lösningen.
Vilket sätt att använda?
Självklart den som verkar enklast och bekvämast, men det finns tillfällen då uppgifter kräver en viss metod. Oftast säger de att man måste lösa antingen med en graf eller med intervallmetoden. Den algebraiska metoden och substitutionen används extremt sällan eller inte alls, eftersom de är ganska komplexa och förvirrande, och dessutom används de mer för att lösa ekvationssystem snarare än ojämlikheter, så du bör tillgripa att rita grafer och intervall. De ger synlighet, som inte kan annat än bidra till ett effektivt och snabbt genomförande av matematiska operationer.
Om något inte fungerar
Under studiet av ett visst ämne i algebra kan det naturligtvis uppstå problem med förståelsen. Och detta är norm alt, eftersom vår hjärna är designad på ett sådant sätt att den inte kan förstå komplext material på en gång. Ofta behöver du läsa om ett stycke, ta hjälp av en lärare eller träna på att lösa typiska problem. I vårt fall ser de till exempel ut så här: "Lös systemet med ojämlikheter 3 x + 1 ≧ 0 och 2 x - 1 > 3". Så personlig strävan, hjälp från utomstående och övning hjälper till att förstå alla komplexa ämne.
Reshebnik?
Och lösningsboken är också väldigt bra, men inte för att fuska läxor, utan för självhjälp. I dem kan du hitta system av ojämlikheter med en lösning, titta pådem (som mallar), försök förstå exakt hur författaren till lösningen klarade av uppgiften och försök sedan göra det på egen hand.
slutsatser
Algebra är ett av de svåraste ämnena i skolan. Vad kan du göra? Matematik har alltid varit så här: för vissa går det lätt och för andra är det svårt. Men man ska i alla fall komma ihåg att det allmänna utbildningsprogrammet är utformat på ett sådant sätt att vilken elev som helst kan klara av det. Dessutom måste du tänka på ett stort antal assistenter. Några av dem har nämnts ovan.
