Inom matematik och bearbetning är konceptet med en analytisk signal (förkortat - C, AC) en komplex funktion som inte har negativa frekvenskomponenter. De verkliga och imaginära delarna av detta fenomen är verkliga funktioner relaterade till varandra genom Hilbert-transformen. En analytisk signal är ett ganska vanligt fenomen inom kemin, vars kärna liknar den matematiska definitionen av detta begrepp.
Föreställningar
Analytisk representation av en verklig funktion är en analytisk signal som innehåller den ursprungliga funktionen och dess Hilbert-transform. Denna representation underlättar många matematiska manipulationer. Huvudtanken är att de negativa frekvenskomponenterna i Fouriertransformen (eller spektrumet) av en verklig funktion är redundanta på grund av den hermitiska symmetrin hos ett sådant spektrum. Dessa negativa frekvenskomponenter kan kasseras utanförlust av information, förutsatt att du istället vill ta itu med en komplex funktion. Detta gör vissa funktionsattribut mer tillgängliga och gör det lättare att härleda modulerings- och demoduleringstekniker som SSB.
Negativa komponenter
Så länge funktionen som manipuleras inte har några negativa frekvenskomponenter (dvs. den är fortfarande analytisk), är konvertering från komplex tillbaka till verklig bara en fråga om att kassera den imaginära delen. Den analytiska representationen är en generalisering av konceptet med en vektor: medan en vektor är begränsad till en tidsinvariant amplitud, fas och frekvens, tillåter en kvalitativ analys av en analytisk signal tidsvarierande parametrar.
Momentan amplitud, momentan fas och frekvens används i vissa tillämpningar för att mäta och detektera lokala egenskaper hos C. En annan tillämpning av den analytiska representationen avser demodulering av modulerade signaler. Polära koordinater separerar bekvämt effekterna av AM- och fas- (eller frekvens-) modulering och demodulerar effektivt vissa typer.
Då kan ett enkelt lågpassfilter med verkliga koefficienter skära bort den del av intresse. Ett annat motiv är att sänka maxfrekvensen, vilket sänker lägsta frekvensen för icke-alias sampling. Frekvensförskjutningen undergräver inte representationens matematiska användbarhet. Så i denna mening är nedkonverterad fortfarande analytisk. Men återställandet av den verkliga representationenär inte längre en enkel fråga om att bara extrahera den verkliga komponenten. Uppkonvertering kan krävas, och om signalen samplas (diskret tid), kan interpolering (uppsampling) också krävas för att undvika aliasing.
Variables
Begreppet är väldefinierat för enstaka variabla fenomen, vilket vanligtvis är tillfälligt. Denna temporalitet förvirrar många nybörjare matematiker. För två eller flera variabler kan analytiskt C definieras på olika sätt, och två tillvägagångssätt presenteras nedan.
De verkliga och imaginära delarna av detta fenomen motsvarar två element i en vektorvärderad monogen signal, som definieras för liknande fenomen med en variabel. Men monogen kan utökas till ett godtyckligt antal variabler på ett enkelt sätt, vilket skapar en (n + 1)-dimensionell vektorfunktion för fallet med n-variabla signaler.
Signalomvandling
Du kan konvertera en verklig signal till en analytisk genom att lägga till en imaginär (Q)-komponent, som är Hilbert-transformen av den verkliga komponenten.
Förresten, detta är inte nytt för dess digitala bearbetning. Ett av de traditionella sätten att generera single sideband (SSB) AM, fasningsmetoden, innebär att skapa signaler genom att generera en Hilbert-transform av en ljudsignal i ett analogt motstånd-kondensatornätverk. Eftersom den bara har positiva frekvenser är det lätt att konvertera den till en modulerad RF-signal med endast ett sidband.
Definitionsformler
Analytiskt signaluttryck är en holomorf komplex funktion definierad på gränsen för det övre komplexa halvplanet. Gränsen för det övre halvplanet sammanfaller med slumpen, så C ges av mappningen fa: R → C. Sedan mitten av förra seklet, när Denis Gabor 1946 föreslog att använda detta fenomen för att studera konstant amplitud och fas, har signalen hittat många tillämpningar. Det speciella med detta fenomen underströks [Vak96], där det visades att endast en kvalitativ analys av den analytiska signalen motsvarar de fysiska förutsättningarna för amplitud, fas och frekvens.
Senaste prestationerna
Under de senaste decennierna har det funnits ett intresse för studier av signaler i många dimensioner, motiverat av problem som uppstår inom områden som sträcker sig från bild-/videobehandling till flerdimensionella oscillerande processer inom fysik, såsom seismiska, elektromagnetiska och gravitationsvågor. Det har allmänt accepterats att man, för att korrekt generalisera analytisk C (kvalitativ analys) till fallet med flera dimensioner, måste förlita sig på en algebraisk konstruktion som utökar de vanliga komplexa talen på ett bekvämt sätt. Sådana konstruktioner brukar kallas hyperkomplexa tal [SKE].
Slutligen borde det vara möjligt att konstruera en hyperkomplex analytisk signal fh: Rd → S, där något allmänt hyperkomplext algebraiskt system representeras, vilket naturligtvis utökar alla nödvändiga egenskaper för att erhålla en momentan amplitud ochfas.
Studier
Ett antal artiklar ägnas åt olika frågor relaterade till det korrekta valet av det hyperkomplexa talsystemet, definitionen av den hyperkomplexa Fouriertransformen och Hilbert-bråktransformerna för att studera den momentana amplituden och fasen. Det mesta av detta arbete baserades på egenskaper hos olika utrymmen såsom Cd, quaternions, Clearon algebror och Cayley-Dixon konstruktioner.
Närnäst kommer vi bara att lista några av de verk som ägnas åt studiet av signalen i många dimensioner. Så vitt vi vet erhölls de första arbetena om den multivariata metoden i början av 1990-talet. Dessa inkluderar Ells arbete [Ell92] om hyperkomplexa transformationer; Bulows arbete med generaliseringen av metoden för analytisk reaktion (analytisk signal) till många mätningar [BS01] och Felsbergs och Sommers arbete om monogena signaler.
Ytterligare framtidsutsikter
Den hyperkomplexa signalen förväntas utöka alla användbara egenskaper vi har i 1D-fallet. Först och främst måste vi kunna extrahera och generalisera den momentana amplituden och fasen till mätningarna. För det andra upprätthålls Fourier-spektrumet för en komplex analytisk signal endast vid positiva frekvenser, så vi förväntar oss att den hyperkomplexa Fourier-transformen har sitt eget hypervärderade spektrum, som endast kommer att bibehållas i någon positiv kvadrant av det hyperkomplexa rummet. För det är väldigt viktigt.
För det tredje, konjugera delar av ett komplext konceptav den analytiska signalen är relaterade till Hilbert-transformen, och vi kan förvänta oss att de konjugerade komponenterna i det hyperkomplexa rummet också måste vara relaterade till någon kombination av Hilbert-transformerna. Och slutligen måste faktiskt en hyperkomplex signal definieras som en förlängning av någon hyperkomplex holomorf funktion av flera hyperkomplexa variabler definierade på gränsen för någon form i ett hyperkomplext utrymme.
Vi tar upp dessa problem i sekventiell ordning. Först och främst börjar vi med att titta på Fourier-integralformeln och visar att Hilbert-transformen till 1-D är relaterad till den modifierade Fourier-integralformeln. Detta faktum tillåter oss att definiera den momentana amplituden, fasen och frekvensen utan någon referens till hyperkomplexa talsystem och holomorfa funktioner.
Ändring av integraler
Vi fortsätter med att utöka den modifierade Fourier-integralformeln till flera dimensioner och bestämmer alla nödvändiga fasförskjutna komponenter som vi kan samla in i momentan amplitud och fas. För det andra vänder vi oss till frågan om förekomsten av holomorfa funktioner för flera hyperkomplexa variabler. Efter [Sch93] visar det sig att den kommutativa och associativa hyperkomplexa algebra som genereras av en uppsättning elliptiska (e2i=−1) generatorer är ett lämpligt utrymme för en hyperkomplex analytisk signal att leva, vi kallar en sådan hyperkomplex algebra för Schaefersrymden och betecknar DetSd.
Därför definieras hyperkomplexet av analytiska signaler som en holomorf funktion på gränsen för polydisken / övre halvan av planet i något hyperkomplext utrymme, som vi kallar det allmänna Schaefers-utrymmet, och betecknat med Sd. Vi observerar sedan giltigheten av Cauchy-integralformeln för funktionerna Sd → Sd, som beräknas över en hyperyta inuti en polydisk i Sd och härleder motsvarande fraktionerade Hilbert-transformer som relaterar de hyperkomplexa konjugerade komponenterna. Slutligen visar det sig att Fourier-transformen med värden i Schaefers-rymden endast stöds vid icke-negativa frekvenser. Tack vare den här artikeln har du lärt dig vad som är en analytisk signal.
