Matriser och determinanter upptäcktes på 1700- och 1800-talen. Inledningsvis gällde deras utveckling omvandlingen av geometriska objekt och lösningen av system med linjära ekvationer. Historiskt låg den tidiga tonvikten på det avgörande. I moderna linjära algebrabehandlingsmetoder övervägs matriser först. Det är värt att fundera över den här frågan ett tag.
Svar från detta kunskapsområde
Matriser ger ett teoretiskt och praktiskt användbart sätt att lösa många problem, som:
- system av linjära ekvationer;
- jämvikt mellan fasta ämnen (i fysik);
- grafteori;
- Leontiefs ekonomiska modell;
- skogsbruk;
- datorgrafik och tomografi;
- genetik;
- kryptografi;
- elektriska nätverk;
- fractal.
Faktum är att matrisalgebra för "dummies" har en förenklad definition. Det uttrycks på följande sätt: detta är ett vetenskapligt kunskapsområde därvärdena i fråga studeras, analyseras och utforskas fullt ut. I detta avsnitt av algebra studeras olika operationer på de matriser som studeras.
Hur man arbetar med matriser
Dessa värden anses lika om de har samma dimensioner och varje element i det ena är lika med motsvarande element i det andra. Det är möjligt att multiplicera en matris med vilken konstant som helst. Denna given kallas skalär multiplikation. Exempel: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matriser av samma storlek kan adderas och subtraheras av indata, och värden för kompatibla storlekar kan multipliceras. Exempel: lägg till två A och B: A=[21−10]B=[1423]. Detta är möjligt eftersom A och B båda är matriser med två rader och samma antal kolumner. Det är nödvändigt att lägga till varje element i A till motsvarande element i B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matriser subtraheras på samma sätt i algebra.
Matrismultiplikation fungerar lite annorlunda. Dessutom kan det finnas många fall och alternativ, såväl som lösningar. Om vi multiplicerar matrisen Apq och Bmn, så blir produkten Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Posten i den g:te raden och den h:te kolumnen i AB är summan av produkten av motsvarande poster i g A och h B. Det är bara möjligt att multiplicera två matriser om antalet kolumner i den första och rader i den andra är jämlika. Exempel: uppfyll villkoret för betraktade A och B: A=[1−130]B=[2−11214]. Detta är möjligt eftersom den första matrisen innehåller 2 kolumner och den andra innehåller 2 rader. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Grundläggande information om matriser
Värdena i fråga organiserar information som variabler och konstanter och lagrar dem i rader och kolumner, vanligtvis kallade C. Varje position i matrisen kallas ett element. Exempel: C=[1234]. Består av två rader och två kolumner. Element 4 finns i rad 2 och kolumn 2. Du kan vanligtvis namnge en matris efter dess dimensioner, den som heter Cmk har m rader och k kolumner.
Utökade matriser
Överväganden är otroligt användbara saker som dyker upp inom många olika applikationsområden. Matriser baserades ursprungligen på linjära ekvationssystem. Med tanke på följande struktur av ojämlikheter måste följande kompletterade matris beaktas:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Skriv ner koefficienter och svarsvärden, inklusive alla minustecken. Om elementet med ett negativt tal, kommer det att vara lika med "1". Det vill säga, givet ett system av (linjära) ekvationer är det möjligt att associera en matris (rutnät av tal inom parentes) till den. Det är den som bara innehåller koefficienterna för det linjära systemet. Detta kallas den "expanderade matrisen". Rutnätet som innehåller koefficienterna från den vänstra sidan av varje ekvation har "utfyllts" med svaren från den högra sidan av varje ekvation.
Rekord, alltsåB-värdena i matrisen motsvarar x-, y- och z-värdena i det ursprungliga systemet. Om det är korrekt arrangerat, kontrollera först och främst det. Ibland behöver du ordna om termerna eller infoga nollor som platshållare i matrisen som studeras eller studeras.
Med tanke på följande ekvationssystem kan vi omedelbart skriva den tillhörande förstärkta matrisen:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Se till att först ordna om systemet som:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Då är det möjligt att skriva den tillhörande matrisen som: [11000113-1012]. När du bildar en utökad etta är det värt att använda noll för alla poster där motsvarande punkt i systemet med linjära ekvationer är tom.
Matrix Algebra: Properties of Operations
Om det är nödvändigt att endast bilda element från koefficientvärden, kommer det övervägda värdet att se ut så här: [110011-101]. Detta kallas "koefficientmatrisen".
Med hänsyn till följande utökade matrisalgebra är det nödvändigt att förbättra den och lägga till det associerade linjära systemet. Med detta sagt är det viktigt att komma ihåg att de kräver att variablerna är välordnade och snygga. Och vanligtvis när det finns tre variabler, använd x, y och z i den ordningen. Därför bör det associerade linjära systemet vara:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Matrix size
Föremålen i fråga hänvisas ofta till genom deras prestanda. Storleken på en matris i algebra anges sommått, eftersom rummet kan kallas annorlunda. Uppmätta mått på värden är rader och kolumner, inte bredd och längd. Till exempel, matris A:
[1234]
[2345]
[3456].
Eftersom A har tre rader och fyra kolumner är storleken på A 3 × 4.
→
↓
Linjer går i sidled. Kolumnerna går upp och ner. "Rad" och "kolumn" är specifikationer och är inte utbytbara. Matrisstorlekar anges alltid med antalet rader och sedan antalet kolumner. Efter denna konvention, följande B:
[123]
[234] är 2 × 3. Om en matris har samma antal rader som kolumner, kallas den en "kvadrat". Till exempel koefficientvärden från ovan:
[110]
[011]
[-101] är en 3×3 kvadratisk matris.
Matrixnotation och formatering
Formateringsnotering: När du till exempel behöver skriva en matris är det viktigt att använda parenteser . Absolutvärdesstaplar || används inte eftersom de har en annan riktning i detta sammanhang. Parenteser eller hängslen {} används aldrig. Eller någon annan grupperingssymbol, eller ingen alls, eftersom dessa presentationer inte har någon betydelse. I algebra är en matris alltid inom hakparenteser. Endast korrekt notation måste användas, annars kan svar anses förvrängda.
Som nämnts tidigare kallas värdena som finns i en matris för poster. Av vilken anledning som helst, är de aktuella elementen vanligtvis skrivnaversaler, som A eller B, och poster anges med motsvarande gemener, men med nedsänkta bokstäver. I matris A kallas värdena vanligtvis "ai, j", där i är raden i A och j är kolumnen i A. Till exempel, a3, 2=8. Inmatningen för a1, 3 är 3.
För mindre matriser, de med färre än tio rader och kolumner, utelämnas ibland kommatecken. Till exempel kan "a1, 3=3" skrivas som "a13=3". Uppenbarligen kommer detta inte att fungera för stora matriser eftersom a213 kommer att vara oklar.
Matrixtyper
Ibland klassificeras enligt deras postkonfigurationer. Till exempel, en sådan matris som har alla nollposter under den diagonala övre-vänster-nedre-höger "diagonalen" kallas övre triangulär. Bland annat kan det finnas andra sorter och typer, men de är inte särskilt användbara. I allmänhet uppfattas det mesta som övre triangulärt. Värden med exponenter som inte är noll bara horisontellt kallas diagonala värden. Liknande typer har poster som inte är noll där alla är 1, sådana svar kallas identiska (av skäl som kommer att bli tydliga när man lär sig och förstår hur man multiplicerar värdena i fråga). Det finns många liknande forskningsindikatorer. 3 × 3-identiteten betecknas med I3. På samma sätt är 4 × 4-identiteten I4.
Matrix Algebra and Linear Spaces
Observera att triangulära matriser är kvadratiska. Men diagonalerna är triangulära. Med tanke på detta är defyrkant. Och identiteter anses vara diagonaler och därför triangulära och kvadratiska. När det krävs att beskriva en matris anger man vanligtvis helt enkelt sin egen mest specifika klassificering, eftersom det innebär alla andra. Klassificera följande forsknings alternativ:som 3 × 4. I det här fallet är de inte kvadratiska. Därför kan värdena inte vara något annat. Följande klassificering:är möjlig som 3 × 3. Men det anses vara en kvadrat, och det finns inget speciellt med det. Klassificering av följande data:som 3 × 3 övre triangulär, men den är inte diagonal. Det är sant att i de övervägda värdena kan det finnas ytterligare nollor på eller ovanför det belägna och indikerade utrymmet. Klassificeringen som studeras är vidare: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], där den representeras som en diagonal och dessutom är posterna alla 1. Då är detta en 3 × 3 identitet, I3.
Eftersom analoga matriser per definition är kvadratiska behöver du bara använda ett enda index för att hitta deras dimensioner. För att två matriser ska vara lika måste de ha samma parameter och ha samma poster på samma ställen. Anta till exempel att det finns två element som övervägs: A=[1 3 0] [-2 0 0] och B=[1 3] [-2 0]. Dessa värden kan inte vara samma eftersom de är olika i storlek.
Även om A och B är: A=[3 6] [2 5] [1 4] och B=[1 2 3] [4 5 6] - är de fortfarande inte samma samma sak. A och B har varderasex poster och har även samma nummer, men det räcker inte för matriser. A är 3×2. Och B är en 2×3-matris. A för 3×2 är inte 2×3. Det spelar ingen roll om A och B har samma mängd data eller till och med samma antal som posterna. Om A och B inte har samma storlek och form, men har identiska värden på liknande platser, är de inte lika.
Liknande operationer i det aktuella området
Denna egenskap hos matrisjämlikhet kan omvandlas till uppgifter för oberoende forskning. Till exempel ges två matriser och det anges att de är lika. I det här fallet måste du använda denna likhet för att utforska och få svar på variablernas värden.
Exempel och lösningar på matriser i algebra kan varieras, särskilt när det gäller likheter. Med tanke på att följande matriser beaktas är det nödvändigt att hitta x- och y-värdena. För att A och B ska vara lika måste de ha samma storlek och form. Faktum är att de är sådana, eftersom var och en av dem är 2 × 2 matriser. Och de borde ha samma värderingar på samma ställen. Då måste a1, 1 vara lika med b1, 1, a1, 2 måste vara lika med b1, 2, och så vidare. dem). Men a1, 1=1 är uppenbarligen inte lika med b1, 1=x. För att A ska vara identisk med B måste posten ha a1, 1=b1, 1, så den kan vara 1=x. På liknande sätt är indexen a2, 2=b2, 2, så 4=y. Då är lösningen: x=1, y=4. Givet att följandematriser är lika, du måste hitta värdena för x, y och z. För att ha A=B måste koefficienterna ha alla poster lika. Det vill säga a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 och så vidare. I synnerhet måste:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Som du kan se från de valda matriserna: med 1, 1-, 2, 2- och 3, 1-element. När vi löser dessa tre ekvationer får vi svaret: x=4, y=-6 och z=9. Matrisalgebra och matrisoperationer skiljer sig från vad alla är vana vid, men de är inte reproducerbara.
Ytterligare information i det här området
Linjär matrisalgebra är studiet av liknande uppsättningar av ekvationer och deras transformationsegenskaper. Detta kunskapsområde låter dig analysera rotationer i rymden, approximera minsta kvadrater, lösa tillhörande differentialekvationer, bestämma en cirkel som går genom tre givna punkter och lösa många andra problem inom matematik, fysik och teknik. Den linjära algebra för en matris är inte riktigt den tekniska betydelsen av ordet som används, det vill säga ett vektorrum v över ett fält f, etc.
Matrix och determinant är extremt användbara linjära algebraverktyg. En av de centrala uppgifterna är lösningen av matrisekvationen Ax=b, för x. Även om detta teoretiskt skulle kunna lösas med hjälp av inversen x=A-1 b. Andra metoder, som Gaussisk eliminering, är numeriskt mer tillförlitliga.
Förutom att den används för att beskriva studiet av linjära uppsättningar av ekvationer,ovanstående term används också för att beskriva en viss typ av algebra. Speciellt har L över ett fält F strukturen som en ring med alla vanliga axiom för intern addition och multiplikation, tillsammans med distributiva lagar. Därför ger det mer struktur än en ring. Linjär matrisalgebra tillåter också en yttre operation av multiplikation med skalärer som är element i det underliggande fältet F. Till exempel bildas mängden av alla betraktade transformationer från ett vektorrum V till sig självt över ett fält F över F. Ett annat exempel på linjär algebra är mängden av alla reella kvadratiska matriser över ett fält R reella tal.
