Att studera sannolikhetsteorin börjar med att lösa problem med addition och multiplikation av sannolikheter. Det är värt att omedelbart nämna att när man behärskar detta kunskapsområde kan en student stöta på ett problem: om fysiska eller kemiska processer kan representeras visuellt och förstås empiriskt, då är nivån av matematisk abstraktion mycket hög, och förståelse här kommer endast med erfarenhet.
Men spelet är värt ljuset, eftersom formlerna - både övervägda i den här artikeln och mer komplexa - används överallt idag och kan mycket väl vara användbara i arbetet.
Ursprung
Märkligt nog var drivkraften till utvecklingen av den här delen av matematiken … hasardspel. Faktum är att tärningar, myntkastning, poker, roulette är typiska exempel som använder addition och multiplikation av sannolikheter. På exemplet med uppgifter i någon lärobok kan detta ses tydligt. Folk var intresserade av att lära sig att öka sina chanser att vinna, och jag måste säga att några lyckades med detta.
Till exempel, redan på 2000-talet, en person vars namn vi inte kommer att avslöja,använde denna kunskap som samlats under århundradena för att bokstavligen "städa" kasinot och vann flera tiotals miljoner dollar på roulette.
Men trots det ökade intresset för ämnet var det inte förrän på 1900-talet som ett teoretiskt ramverk utvecklades som gjorde "teorveren" till en fullvärdig komponent i matematiken. Idag, i nästan vilken vetenskap som helst, kan du hitta beräkningar med probabilistiska metoder.
Tillämpning
En viktig punkt när man använder formler för addition och multiplikation av sannolikheter, betingad sannolikhet är tillfredsställelsen av den centrala gränssatsen. Annars, även om det kanske inte förstås av eleven, kommer alla beräkningar, oavsett hur troliga de kan verka, att vara felaktiga.
Ja, den mycket motiverade eleven frestas att använda ny kunskap vid varje tillfälle. Men i det här fallet bör man sakta ner lite och strikt beskriva tillämpningsområdet.
Sannolikhetsteori handlar om slumpmässiga händelser, som i empiriska termer är resultat av experiment: vi kan slå en sexsidig tärning, dra ett kort från en kortlek, förutsäga antalet defekta delar i en batch. Men i vissa frågor är det kategoriskt omöjligt att använda formler från detta avsnitt av matematik. Vi kommer att diskutera funktionerna i att överväga sannolikheterna för en händelse, satserna för addition och multiplikation av händelser i slutet av artikeln, men låt oss nu gå till exempel.
Grundläggande begrepp
En slumpmässig händelse betyder en process eller ett resultat som kanske inte visassom ett resultat av experimentet. Vi slänger till exempel en smörgås - den kan falla smör upp eller smör ner. Endera av de två resultaten kommer att vara slumpmässiga och vi vet inte i förväg vilket av dem som kommer att ske.
När vi studerar addition och multiplikation av sannolikheter behöver vi ytterligare två begrepp.
Gemensamma händelser är sådana händelser vars förekomst av den ena inte utesluter förekomsten av den andra. Låt oss säga att två personer skjuter mot ett mål samtidigt. Om en av dem skjuter ett lyckat skott kommer det inte att påverka den andras förmåga att träffa eller missa.
Inkonsekventa kommer att vara sådana händelser, vilkas förekomst samtidigt är omöjliga. Till exempel, genom att bara dra ut en boll ur boxen kan du inte få både blå och röd på en gång.
Beteckning
Begreppet sannolikhet betecknas med den latinska stora bokstaven P. Nästa inom parentes är argument som anger vissa händelser.
I formlerna för additionssatsen, betingad sannolikhet, multiplikationssatsen, kommer du att se uttryck inom parentes, till exempel: A+B, AB eller A|B. De kommer att beräknas på olika sätt, vi kommer nu att vända oss till dem.
Addition
Låt oss överväga fall där additions- och multiplikationsformler används.
För inkompatibla händelser är den enklaste additionsformeln relevant: sannolikheten för något av de slumpmässiga utfallen kommer att vara lika med summan av sannolikheterna för vart och ett av dessa utfall.
Anta att det finns en låda med 2 blå, 3 röda och 5 gula ballonger. Det finns tot alt 10 artiklar i lådan. Hur stor är procentandelen sanningen i påståendet att vi kommer att rita en blå eller röd boll? Det kommer att vara lika med 2/10 + 3/10, dvs. femtio procent.
I fallet med inkompatibla händelser blir formeln mer komplicerad, eftersom ytterligare en term läggs till. Vi återkommer till det i ett stycke efter att ha övervägt ytterligare en formel.
Multiplication
Addition och multiplikation av sannolikheter för oberoende händelser används i olika fall. Om vi, enligt experimentets tillstånd, är nöjda med något av de två möjliga resultaten, kommer vi att beräkna summan; om vi vill få två vissa utfall efter varandra kommer vi att använda en annan formel.
För att återgå till exemplet från föregående avsnitt vill vi först rita den blå bollen och sedan den röda. Den första siffran vi känner till är 2/10. Vad händer sen? Det är 9 bollar kvar, det finns fortfarande lika många röda - tre stycken. Enligt beräkningarna får du 3/9 eller 1/3. Men vad ska man göra med två siffror nu? Rätt svar är att multiplicera för att få 2/30.
Joint Events
Nu kan vi se över summaformeln för gemensamma evenemang. Varför går vi bort från ämnet? Att lära sig hur sannolikheter multipliceras. Nu kommer den här kunskapen väl till pass.
Vi vet redan vad de två första termerna kommer att vara (samma som i additionsformeln som ansågs tidigare), nu måste vi subtraheraprodukten av sannolikheter som vi just har lärt oss att beräkna. För tydlighetens skull skriver vi formeln: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Det visar sig att både addition och multiplikation av sannolikheter används i ett uttryck.
Låt oss säga att vi måste lösa något av de två problemen för att få kredit. Vi kan lösa den första med en sannolikhet på 0,3 och den andra - 0,6 Lösning: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Observera att det inte räcker att bara summera siffrorna här.
villkorlig sannolikhet
Slutligen finns det begreppet villkorlig sannolikhet, vars argument anges inom parentes och separeras med en vertikal stapel. Posten P(A|B) lyder som följer: "sannolikhet för händelse A given händelse B".
Låt oss titta på ett exempel: en vän ger dig en enhet, låt det vara en telefon. Den kan vara trasig (20 %) eller bra (80 %). Du kan reparera vilken enhet som helst som faller i dina händer med en sannolikhet på 0,4 eller så kan du inte göra det (0,6). Slutligen, om enheten fungerar, kan du nå rätt person med en sannolikhet på 0,7.
Det är lätt att se hur villkorad sannolikhet fungerar i det här fallet: du kan inte komma fram till en person om telefonen är trasig, och om den är bra behöver du inte laga den. För att få några resultat på den "andra nivån", måste du alltså veta vilken händelse som utfördes på den första.
Beräkningar
Låt oss överväga exempel på att lösa problem med addition och multiplikation av sannolikheter, med hjälp av data från föregående stycke.
Först, låt oss ta reda på sannolikheten att dureparera enheten som du fått. För att göra detta måste det för det första vara felaktigt, och för det andra måste du klara av reparationen. Detta är ett typiskt multiplikationsproblem: vi får 0,20,4=0,08.
Vad är sannolikheten att du omedelbart kommer fram till rätt person? Lättare än enkelt: 0,80,7=0,56. I det här fallet upptäckte du att telefonen fungerar och lyckades ringa ett samtal.
Tänk slutligen på det här scenariot: du fick en trasig telefon, fixade den, slog sedan numret och personen i andra änden svarade i telefonen. Här krävs redan multiplikation av tre komponenter: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Och vad händer om du har två icke-fungerande telefoner samtidigt? Hur troligt är det att du fixar minst en av dem? Detta är ett problem med addition och multiplikation av sannolikheter, eftersom gemensamma händelser används. Lösning: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Försiktig användning
Som nämndes i början av artikeln bör användningen av sannolikhetsteori vara medveten och medveten.
Ju större serie experiment, desto närmare närmar sig det teoretiskt förutsagda värdet det praktiska. Vi kastar till exempel ett mynt. Teoretiskt kan vi, genom att veta om förekomsten av formler för addition och multiplikation av sannolikheter, förutsäga hur många gånger huvuden och svansarna kommer att falla ut om vi genomför experimentet 10 gånger. Vi gjorde ett experiment ochAv en slump var förhållandet mellan de tappade sidorna 3 till 7. Men om du genomför en serie på 100, 1000 eller fler försök, visar det sig att distributionsgrafen kommer närmare och närmare den teoretiska: 44 till 56, 482 till 518 och så vidare.
Föreställ dig nu att detta experiment inte utförs med ett mynt, utan med framställning av något nytt kemiskt ämne, vars sannolikhet vi inte vet. Vi skulle köra 10 experiment och, om vi inte fick ett framgångsrikt resultat, kunde vi generalisera: "substansen kan inte erhållas." Men vem vet, om vi gjorde det elfte försöket, skulle vi ha nått målet eller inte?
Så om du går in i det okända, det outforskade riket, kanske sannolikhetsteorin inte gäller. Varje efterföljande försök i det här fallet kan bli framgångsrikt och generaliseringar som "X existerar inte" eller "X är omöjligt" kommer att vara för tidigt.
Slutord
Så vi har tittat på två typer av addition, multiplikation och betingade sannolikheter. Med ytterligare studier av detta område är det nödvändigt att lära sig att skilja situationer när varje specifik formel används. Dessutom måste du förstå om probabilistiska metoder är generellt tillämpliga för att lösa ditt problem.
Om du övar kommer du efter ett tag att börja utföra alla nödvändiga operationer uteslutande i ditt sinne. För dem som är förtjusta i kortspel kan denna färdighet övervägasextremt värdefullt - du kommer avsevärt att öka dina vinstchanser, bara genom att beräkna sannolikheten för att ett visst kort eller färg faller ut. Den förvärvade kunskapen kan dock lätt appliceras inom andra verksamhetsområden.
