Logarithms: exempel och lösningar

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

Som ni vet, när man multiplicerar uttryck med potenser, summeras deras exponenter alltid (a^ba^c=a^{b+ c). Denna matematiska lag härleddes av Arkimedes, och senare, på 800-talet, skapade matematikern Virasen en tabell med heltalsindikatorer. Det var de som tjänade för vidare upptäckt av logaritmer. Exempel på att använda denna funktion kan hittas nästan överallt där det krävs för att förenkla besvärlig multiplikation till enkel addition. Om du lägger 10 minuter på att läsa den här artikeln kommer vi att förklara för dig vad logaritmer är och hur du arbetar med dem. Enkelt och tillgängligt språk.}

Definition i matematik

Logaritmen är ett uttryck av följande form: log_ab=c c" till vilken du måste höja basen "a" för att slutligen få värdet " b". Låt oss analysera logaritmen med hjälp av exempel, låt oss säga att det finns ett uttryck log_{28. Hur hittar man svaret? Det är väldigt enkelt, du måste hitta en sådan grad att du får 8 från 2 till önskad grad. Efter att ha gjort några beräkningar i ditt sinne får vi siffran 3! Och det är sant, för2 upphöjd till 3 ger svaret 8.}

Sorter av logaritmer

För många elever och studenter verkar det här ämnet komplicerat och obegripligt, men i själva verket är logaritmer inte så skrämmande, det viktigaste är att förstå deras allmänna innebörd och komma ihåg deras egenskaper och vissa regler. Det finns tre olika typer av logaritmiska uttryck:

Naturlig logaritm ln a, där basen är Eulertalet (e=2, 7).
Decimallogaritm lg a, där basen är talet 10.
Logaritm av valfritt tal b till basen a>1.

Var och en av dem löses på ett standardsätt, inklusive förenkling, reduktion och efterföljande reduktion till en logaritm med logaritmiska satser. För att få korrekta värden på logaritmer bör man komma ihåg deras egenskaper och åtgärdsordningen för att lösa dem.

Regler och vissa begränsningar

I matematik finns det flera regler-restriktioner som accepteras som ett axiom, det vill säga de är inte förhandlingsbara och är sanna. Det är till exempel omöjligt att dividera tal med noll, och det är också omöjligt att ta en jämn rot från negativa tal. Logaritmer har också sina egna regler, efter vilka du enkelt kan lära dig hur du arbetar även med långa och rymliga logaritmiska uttryck:

basen av "a" måste alltid vara större än noll, och samtidigt inte vara lika med 1, annars kommer uttrycket att förlora sin betydelse, eftersom "1" och "0" i vilken grad som helst alltid är lika med deras värden;
if a > 0, then ab>0,det visar sig att "c" också måste vara större än noll.

Hur löser man logaritmer?

Till exempel, med tanke på uppgiften att hitta svaret på ekvationen 10^x=100. Det är väldigt enkelt, du måste välja en sådan potens genom att höja talet tio, vi få 100. Detta, förstås. Tja, kvadratisk makt! 10^2=100.

Låt oss nu representera detta uttryck som ett logaritmiskt uttryck. Vi får log_{10100=2. När man löser logaritmer konvergerar praktiskt taget alla åtgärder för att hitta den potens till vilken basen för logaritmen måste anges för att få ett givet tal.}

För att exakt bestämma värdet på en okänd grad måste du lära dig hur du arbetar med gradtabellen. Det ser ut så här:

Som du kan se kan vissa exponenter gissas intuitivt om du har ett tekniskt tänkesätt och kunskap om multiplikationstabellen. Större värden kommer dock att kräva en effekttabell. Det kan användas även av de som inte förstår någonting alls i komplexa matematiska ämnen. Den vänstra kolumnen innehåller siffror (bas a), den översta raden av siffror är värdet av potensen c, till vilken talet a höjs. Vid skärningspunkten definierar cellerna värdena för talen som är svaret (ac=b). Låt oss ta till exempel den allra första cellen med talet 10 och kvadrera den, vi får värdet 100, som indikeras i skärningspunkten mellan våra två celler. Allt är så enkelt och lätt att även den mest verkliga humanist kommer att förstå!

Ekvationer och ojämlikheter

Det visar sig att närUnder vissa förhållanden är exponenten logaritmen. Därför kan alla matematiska numeriska uttryck skrivas som en logaritmisk ekvation. Till exempel kan 3⁴=81 skrivas som logaritmen av 81 till bas 3, vilket är fyra (log₃81=4). För negativa grader är reglerna desamma: 2^-5=1/32 skrivna som en logaritm, vi får log_{2 (1/32))=-5. En av de mest fascinerande delarna av matematiken är ämnet "logaritmer". Vi kommer att överväga exempel och lösningar av ekvationer lite lägre, omedelbart efter att ha studerat deras egenskaper. Låt oss nu titta på hur ojämlikheter ser ut och hur man kan skilja dem från ekvationer.}

Följande uttryck ges: log_{2(x-1) > 3 - det är en logaritmisk olikhet, eftersom det okända värdet "x" står under tecknet för logaritm. Uttrycket jämför också två värden: bas två-logaritmen för det önskade talet är större än talet tre.}

Den viktigaste skillnaden mellan logaritmiska ekvationer och olikheter är att ekvationer med logaritmer (exempel - logaritm₂x=√9) _{antyder i svaret ett eller flera specifika numeriska värden, medan när man löser en ojämlikhet bestäms både intervallet av acceptabla värden och brytpunkterna för denna funktion. Som ett resultat är svaret inte en enkel uppsättning enskilda tal, som i svaret i ekvationen, utan en kontinuerlig serie eller uppsättning tal.}

Grundläggande satser om logaritmer

När du löser primitiva uppgifter för att hitta värdena för logaritmen kanske du inte känner till dess egenskaper. Men när det kommer till logaritmiska ekvationer eller olikheter är det först och främst nödvändigt att tydligt förstå och tillämpa i praktiken alla grundläggande egenskaper hos logaritmer. Vi kommer att bekanta oss med exemplen på ekvationer senare, låt oss först analysera varje egenskap mer i detalj.

Den grundläggande identiteten ser ut så här: alogaB=B. Det gäller bara om a är större än 0, inte lika med ett, och B är större än noll.

Produktens logaritm kan representeras i följande formel: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{I detta fall är det obligatoriska villkoret: d, s}1 _{och s}2 _{> 0; a≠1. Du kan ge ett bevis för denna logaritmformel, med exempel och en lösning. Låt log}a_s1 _=f1 _{och logga}a_s 2_=f2_{, sedan a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Vi får det s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(gradegenskaper), och vidare per definition: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{som skulle bevisas.}

Logaritmen för kvoten ser ut så här: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.

Satsen i form av en formel har följande form: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Denna formel kallas "egenskapen för graden av logaritmen". Det liknar egenskaperna hos vanliga grader, och det är inte förvånande, eftersom all matematik vilar på vanliga postulat. Låt oss titta på beviset.

Låt logga_ab=t, vi får ett^t=b. Om du höjer båda sidorna till m-potentialen: a^tn=b^;

but because a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, därav log}aq _bn=(nt)/t, logga sedan^a_q b_n=n/q log^ab. Teorem bevisat.

Exempel på problem och ojämlikheter

De vanligaste typerna av logaritmproblem är exempel på ekvationer och ojämlikheter. De finns i nästan alla problemböcker, och ingår även i den obligatoriska delen av prov i matematik. För att gå in på ett universitet eller klara antagningsprov i matematik måste du veta hur du löser sådana problem korrekt.

Tyvärr finns det ingen enskild plan eller schema för att lösa och bestämma det okända värdet på logaritmen, men vissa regler kan tillämpas på varje matematisk olikhet eller logaritmisk ekvation. Först och främst bör du ta reda på om uttrycket kan förenklas eller reduceras till en allmän form. Du kan förenkla långa logaritmiska uttryck om du använder deras egenskaper korrekt. Låt oss snart lära känna dem.

När man löser logaritmiska ekvationer,det är nödvändigt att bestämma vilken typ av logaritm vi har framför oss: ett exempel på ett uttryck kan innehålla en naturlig logaritm eller en decimal.

Här är exempel på decimallogaritmer: ln100, ln1026. Deras lösning kokar ner till det faktum att du måste bestämma i vilken grad basen 10 kommer att vara lika med 100 respektive 1026. För lösningar av naturliga logaritmer måste man tillämpa logaritmiska identiteter eller deras egenskaper. Låt oss titta på exempel på att lösa logaritmiska problem av olika slag.

Hur man använder logaritmformler: med exempel och lösningar

Så, låt oss titta på exempel på hur man använder huvudsatserna om logaritmer.

egenskapen för produktens logaritm kan användas i uppgifter där det är nödvändigt att dekomponera ett stort värde av talet b i enklare faktorer. Till exempel log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Svaret är 9.}

log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - som du kan se, genom att tillämpa den fjärde egenskapen för logaritmens grad, lyckades vi lösa vid första anblicken ett komplext och olösligt uttryck. Allt du behöver göra är att faktorisera basen och sedan ta kraften från logaritmens tecken.}

Uppgifter från provet

Logaritmer finns ofta i inträdesprov, särskilt många logaritmiska problem i Unified State Examination (statligt prov för alla utexaminerade från skolan). Vanligtvis finns dessa uppgifter inte bara i del A (de flestalätt provdel av tentan), men också i del C (de svåraste och mest omfattande uppgifterna). Provet kräver en korrekt och perfekt kunskap om ämnet "Naturliga logaritmer".

Exempel och problemlösningar är hämtade från de officiella versionerna av provet. Låt oss se hur sådana uppgifter löses.

Given log₂(2x-1)=4. Lösning:

skriv om uttrycket, förenkla det lite loggt_2(2x-1)=22^{, enligt definitionen av logaritmen får vi att 2x-1=2}4^{, därav 2x=17; x=8, 5.}

Följ några riktlinjer, efter vilka du enkelt kan lösa alla ekvationer som innehåller uttryck som är under logaritmens tecken.

Det är bäst att reducera alla logaritmer till samma bas så att lösningen inte blir krånglig och förvirrande.
Alla uttryck under logaritmetecknet indikeras som positiva, så när man multiplicerar exponenten för uttrycket som är under logaritmetecknet och som dess bas, måste uttrycket som finns kvar under logaritmen vara positivt.