År 1900 sammanställde en av förra seklets största vetenskapsmän, David Hilbert, en lista med 23 olösta problem i matematik. Arbetet med dem hade en enorm inverkan på utvecklingen av detta område av mänsklig kunskap. 100 år senare presenterade Clay Mathematical Institute en lista med 7 problem som kallas Millenniumproblemen. Var och en av dem erbjöds ett pris på 1 miljon USD.
Det enda problemet som dök upp bland båda listorna över pussel som har förföljt forskare i mer än ett sekel var Riemann-hypotesen. Hon väntar fortfarande på sitt beslut.
Kort biografisk anteckning
Georg Friedrich Bernhard Riemann föddes 1826 i Hannover, i en stor familj med en fattig pastor, och levde bara 39 år. Han lyckades publicera 10 verk. Men redan under sin livstid ansågs Riemann vara sin lärare Johann Gauss efterträdare. Vid 25 års ålder försvarade den unge forskaren sin avhandling "Fundamentals of the theory of functions of a complex variabel." Senare formulerade hanhans berömda hypotes.
primtal
Matematik dök upp när människan lärde sig att räkna. Samtidigt uppstod de första idéerna om siffror som de senare försökte klassificera. Vissa av dem har observerats ha gemensamma egenskaper. I synnerhet bland naturliga tal, det vill säga de som användes vid räkning (numrering) eller beteckning av antalet objekt, urskiljdes en grupp som bara var delbara med ett och med dem själva. De kallas enkla. Ett elegant bevis på oändlighetssatsen för mängden sådana tal gavs av Euklid i hans element. För tillfället fortsätter deras sökande. I synnerhet är det största antalet redan kända 274 207 281 – 1.
Euler-formel
Tillsammans med konceptet om oändligheten av mängden primtal, bestämde Euklid också den andra satsen om den enda möjliga nedbrytningen till primtalsfaktorer. Enligt den är varje positivt heltal produkten av endast en uppsättning primtal. År 1737 uttryckte den store tyske matematikern Leonhard Euler Euklids första oändlighetssats som formeln nedan.
Det kallas zeta-funktionen, där s är en konstant och p tar alla primtal. Euklids uttalande om det unika med expansionen följde direkt av det.
Riemann Zeta Function
Eulers formel, vid närmare eftertanke, är heltöverraskande eftersom det definierar förhållandet mellan primtal och heltal. När allt kommer omkring multipliceras oändligt många uttryck som bara beror på primtal på dess vänstra sida, och summan som är associerad med alla positiva heltal finns till höger.
Riemann gick längre än Euler. För att hitta nyckeln till problemet med fördelningen av tal föreslog han att man skulle definiera en formel för både reella och komplexa variabler. Det var hon som senare fick namnet på Riemann zeta-funktionen. År 1859 publicerade vetenskapsmannen en artikel med titeln "Om antalet primtal som inte överstiger ett givet värde", där han sammanfattade alla sina idéer.
Riemann föreslog att man skulle använda Euler-serien, som konvergerar för alla riktiga s>1. Om samma formel används för komplexa s, kommer serien att konvergera för vilket värde som helst av denna variabel med en reell del större än 1. Riemann tillämpade den analytiska fortsättningsproceduren och utökade definitionen av zeta till alla komplexa tal, men "kastat ut" enheten. Den exkluderades eftersom vid s=1 ökar zetafunktionen till oändlighet.
Praktisk känsla
En logisk fråga uppstår: varför är zetafunktionen, som är nyckeln i Riemanns arbete med nollhypotesen, intressant och viktig? Som ni vet har för närvarande inget enkelt mönster identifierats som skulle beskriva fördelningen av primtal mellan naturliga tal. Riemann kunde upptäcka att talet pi(x) för primtal som inte översteg x uttrycks i termer av fördelningen av icke-triviala nollor i zetafunktionen. Dessutom är Riemanns hypotesett nödvändigt villkor för att bevisa tidsuppskattningar för driften av vissa kryptografiska algoritmer.
Riemann-hypotes
En av de första formuleringarna av detta matematiska problem, som inte har bevisats till denna dag, låter så här: icke-triviala 0 zeta-funktioner är komplexa tal med reell del lika med ½. De är med andra ord placerade på linjen Re s=½.
Det finns också en generaliserad Riemann-hypotes, som är samma påstående, men för generaliseringar av zetafunktioner, som vanligtvis kallas Dirichlet L-funktioner (se bilden nedan).
I formeln χ(n) - något numeriskt tecken (modulo k).
Det Riemannska uttalandet anses vara den så kallade nollhypotesen, eftersom det har testats för överensstämmelse med befintliga exempeldata.
Som Riemann argumenterade
Den tyske matematikerns kommentar var ursprungligen ganska slentrianmässigt formulerad. Faktum är att forskaren vid den tiden skulle bevisa satsen om fördelningen av primtal, och i detta sammanhang var denna hypotes inte av någon särskild betydelse. Dess roll för att lösa många andra problem är dock enorm. Det är därför Riemanns antagande nu erkänns av många forskare som det viktigaste av de obevisade matematiska problemen.
Som redan nämnts behövs inte den fullständiga Riemann-hypotesen för att bevisa fördelningssatsen, och det räcker för att logiskt motivera att den reella delen av en icke-trivial nolla i zetafunktionen är imellan 0 och 1. Av denna egenskap följer att summan över alla nollor av zetafunktionen som förekommer i den exakta formeln ovan är en finit konstant. För stora värden på x kan det gå förlorat helt. Den enda medlemmen av formeln som förblir densamma även för mycket stora x är x själv. De återstående komplexa termerna försvinner asymptotiskt i jämförelse med det. Så den viktade summan tenderar till x. Denna omständighet kan betraktas som en bekräftelse på sanningen av satsen om fördelningen av primtal. Således har nollorna i Riemann zeta-funktionen en speciell roll. Det består i att bevisa att sådana värden inte kan ge ett betydande bidrag till nedbrytningsformeln.
Followers of Riemann
Tragisk död i tuberkulos tillät inte den här forskaren att få sitt program till dess logiska slut. Men Sh-Zh tog över efter honom. de la Vallée Poussin och Jacques Hadamard. Oberoende av varandra härledde de en sats om fördelningen av primtal. Hadamard och Poussin lyckades bevisa att alla icke-triviala 0 zeta-funktioner ligger inom det kritiska bandet.
Tack vare dessa vetenskapsmäns arbete har en ny riktning inom matematiken dykt upp - den analytiska teorin om siffror. Senare erhölls flera mer primitiva bevis för satsen som Riemann arbetade med av andra forskare. I synnerhet upptäckte Pal Erdős och Atle Selberg till och med en mycket komplex logisk kedja som bekräftade det, som inte krävde användningen av komplex analys. Men vid denna tidpunkt flera viktigasatser, inklusive approximationer av många t alteoretiska funktioner. I detta avseende påverkade Erdős och Atle Selbergs nya arbete praktiskt taget ingenting.
Ett av de enklaste och vackraste bevisen på problemet hittades 1980 av Donald Newman. Den baserades på den berömda Cauchy-satsen.
Hotar den riemannska hypotesen grunden för modern kryptografi
Datakryptering uppstod tillsammans med uppkomsten av hieroglyfer, mer exakt kan de själva betraktas som de första koderna. För närvarande finns det ett helt område av digital kryptografi, som utvecklar krypteringsalgoritmer.
Primtal och "semi-primtal", dvs de som bara är delbara med 2 andra tal från samma klass, utgör grunden för det publika nyckelsystemet som kallas RSA. Den har den bredaste tillämpningen. I synnerhet används det när en elektronisk signatur genereras. Riemannhypotesen talar i termer som är tillgängliga för dummies och hävdar att det finns ett system i fördelningen av primtal. Således minskar styrkan hos kryptografiska nycklar, som säkerheten för onlinetransaktioner inom e-handelsområdet beror på, avsevärt.
Andra olösta matematiska problem
Det är värt att avsluta artikeln med att ägna några ord åt andra millenniemål. Dessa inkluderar:
- Jämlikhet mellan klasserna P och NP. Problemet är formulerat på följande sätt: om ett positivt svar på en viss fråga kontrolleras i polynomtid, så är det sant att svaret på denna fråga i sigkan hittas snabbt?
- Hodges gissning. I enkla ord kan det formuleras på följande sätt: för vissa typer av projektiva algebraiska varianter (mellanrum) är Hodge-cykler kombinationer av objekt som har en geometrisk tolkning, d.v.s. algebraiska cykler.
- Poincarés gissning. Detta är den enda Millennium Challenge som har bevisats hittills. Enligt den måste varje 3-dimensionellt objekt som har de specifika egenskaperna hos en 3-dimensionell sfär vara en sfär, upp till deformation.
- Bekräftelse av kvantteorin om Yang - Mills. Det krävs att bevisa att kvantteorin som lagts fram av dessa forskare för utrymmet R 4 existerar och har en 0:e massdefekt för vilken enkel kompakt gaugegrupp G som helst.
- Birch-Swinnerton-Dyer-hypotes. Detta är ett annat problem relaterat till kryptografi. Den vidrör elliptiska kurvor.
- Problemet med existensen och smidigheten hos lösningar på Navier-Stokes ekvationer.
Nu känner du till Riemann-hypotesen. Enkelt uttryckt har vi formulerat några av de andra millennieutmaningarna. Att de kommer att lösas eller det kommer att bevisas att de inte har någon lösning är en tidsfråga. Dessutom är det osannolikt att detta kommer att behöva vänta för länge, eftersom matematiken i allt högre grad använder datorernas beräkningsmöjligheter. Men allt är inte föremål för teknik, och först och främst krävs intuition och kreativitet för att lösa vetenskapliga problem.
