När de lyssnar på en matematiklärare, tar de flesta elever materialet som ett axiom. Samtidigt är det få som försöker gå till botten och ta reda på varför "minus" på "plus" ger ett "minustecken", och när man multiplicerar två negativa tal blir det positivt.
Laws of Mathematics
De flesta vuxna kan inte förklara för sig själva eller sina barn varför detta händer. De hade noggrant tagit till sig detta material i skolan, men de försökte inte ens ta reda på var sådana regler kom ifrån. Men förgäves. Ofta är moderna barn inte så godtrogna, de behöver gå till botten med saken och förstå till exempel varför "plus" på "minus" ger "minus". Och ibland ställer pojkar medvetet knepiga frågor för att njuta av ögonblicket när vuxna inte kan ge ett begripligt svar. Och det är verkligen en katastrof om en ung lärare hamnar i en enda röra…
Förresten, det bör noteras att regeln som nämns ovan är giltig för både multiplikation och division. Produkten av ett negativt och ett positivt tal ger bara ett minus. Om vi talar om två siffror med ett "-"-tecken, blir resultatet ett positivt tal. Detsamma gäller för division. Om enett av talen är negativt, då kommer kvoten också att vara med ett "-"-tecken.
För att förklara riktigheten av denna matematiklag är det nödvändigt att formulera ringens axiom. Men först måste du förstå vad det är. I matematik är det vanligt att kalla en ring för en uppsättning där två operationer med två element är inblandade. Men det är bättre att ta itu med detta med ett exempel.
Axiom of the Ring
Det finns flera matematiska lagar.
- Den första är kommutativ, enligt honom, C + V=V + C.
- Den andra kallas associativ (V + C) + D=V + (C + D).
De följer också multiplikationen (V x C) x D=V x (C x D).
Ingen har upphävt reglerna enligt vilka parenteser öppnas (V + C) x D=V x D + C x D, det är också sant att C x (V + D)=C x V + C x D.
Dessutom har det fastställts att ett speciellt element, neutr alt när det gäller addition, kan införas i ringen, med hjälp av vilket följande kommer att vara sant: C + 0=C. Dessutom, för varje C det finns ett motsatt element, som kan betecknas som (-C). I det här fallet är C + (-C)=0.
Herledning av axiom för negativa tal
När vi accepterar ovanstående påståenden kan vi svara på frågan: ""Plus" till "minus" ger vilket tecken? Genom att känna till axiomet om multiplikationen av negativa tal är det nödvändigt att bekräfta att (-C) x V=-(C x V). Och även att följande likhet är sann: (-(-C))=C.
För att göra detta måste vi först bevisa att vart och ett av elementen bara har ettmotsatt bror. Betrakta följande bevisexempel. Låt oss försöka föreställa oss att två tal är motsatta för C - V och D. Av detta följer att C + V=0 och C + D=0, det vill säga C + V=0=C + D. Att komma ihåg förskjutningslagarna och om egenskaperna för talet 0 kan vi överväga summan av alla tre talen: C, V och D. Låt oss försöka räkna ut värdet på V. Det är logiskt att V=V + 0=V + (C + D)=V + C + D, eftersom värdet på C + D, som accepterades ovan, är lika med 0. Därför är V=V + C + D.
Värdet för D härleds på exakt samma sätt: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. Utifrån detta blir det tydligt att V=D.
För att förstå varför "plus" på "minus" ger ett "minus", måste du förstå följande. Så för elementet (-C) är motsatsen C och (-(-C)), det vill säga de är lika med varandra.
Då är det uppenbart att 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V. Därav följer att C x V är motsatsen till (-)C x V, alltså (-C) x V=-(C x V).
För fullständig matematisk rigor, är det också nödvändigt att bekräfta att 0 x V=0 för alla element. Om du följer logiken, då 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Detta betyder att lägga till produkten 0 x V inte ändrar den inställda mängden på något sätt. När allt kommer omkring är den här produkten lika med noll.
När du känner till alla dessa axiom kan du härleda inte bara hur mycket "plus" med "minus" ger, utan också vad som händer när du multiplicerar negativa tal.
Multiplikation och division av två tal med "-"-tecken
Om du inte går djupt in i matematiknyanser kan du försöka förklara reglerna för operationer med negativa tal på ett enklare sätt.
Låt oss anta att C - (-V)=D, så C=D + (-V), dvs. C=D - V. Överför V och få C + V=D. Det vill säga C + V=C-(-V). Detta exempel förklarar varför i ett uttryck där det finns två "minus" i rad, de nämnda tecknen ska ändras till "plus". Låt oss nu ta itu med multiplikation.
(-C) x (-V)=D, du kan addera och subtrahera två identiska produkter till uttrycket, vilket inte kommer att ändra dess värde: (-C) x (-V) + (C x V)) - (C x V)=D.
Vi kommer ihåg reglerna för att arbeta med parenteser och vi får:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
Det följer att C x V=(-C) x (-V).
På liknande sätt kan vi bevisa att dividering av två negativa tal kommer att resultera i ett positivt.
Allmänna matematikregler
Naturligtvis är den här förklaringen inte lämplig för grundskoleelever som precis har börjat lära sig abstrakta negativa tal. Det är bättre för dem att förklara på synliga föremål och manipulera den välbekanta termen genom glasögonen. Där finns till exempel uppfunna men inte befintliga leksaker. De kan visas med ett "-"-tecken. Multiplikationen av två glasögonobjekt överför dem till en annan värld, vilket är likställt med nuet, det vill säga som ett resultat har vi positiva tal. Men multiplikationen av ett abstrakt negativt tal med ett positivt ger bara resultatet som är bekant för alla. För att "pluss"multiplicera med "minus" ger "minus". Det är sant att barn i grundskoleåldern inte riktigt försöker fördjupa sig i alla matematiska nyanser.
Även om du möter sanningen, för många människor, även med högre utbildning, förblir många regler ett mysterium. Alla tar för givet vad lärarna lär dem, inte utan förlust att fördjupa sig i all komplexitet som matematik är fylld av. "Minus" på "minus" ger ett "plus" - alla vet om detta utan undantag. Detta gäller både heltal och bråktal.
