Differentialkalkylfunktioner för en och flera variabler

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

Kalkylen är en gren av kalkyl som studerar derivatan, differentialer och deras användning i studien av en funktion.

Utseendehistoria

Differentialkalkyl växte fram som en självständig disciplin under andra hälften av 1600-talet, tack vare Newtons och Leibniz' arbete, som formulerade de grundläggande bestämmelserna i differentialkalkylen och lade märke till sambandet mellan integration och differentiering. Sedan det ögonblicket har disciplinen utvecklats tillsammans med kalkylen för integraler, vilket utgör grunden för matematisk analys. Utseendet på dessa kalkyler öppnade en ny modern period i den matematiska världen och orsakade uppkomsten av nya discipliner inom vetenskapen. Det utökade också möjligheten att tillämpa matematisk vetenskap inom naturvetenskap och teknik.

Grundläggande begrepp

Differentialkalkyl är baserad på matematikens grundläggande begrepp. De är: reellt tal, kontinuitet, funktion och gräns. Med tiden fick de ett modernt utseende, tack vare integral- och differentialkalkyl.

Skapningsprocess

Bildandet av differentialkalkyl i form av en tillämpad och sedan en vetenskaplig metod inträffade innan uppkomsten av en filosofisk teori, som skapades av Nicholas av Cusa. Hans verk anses vara en evolutionär utveckling från den antika vetenskapens bedömningar. Trots det faktum att filosofen själv inte var en matematiker, är hans bidrag till utvecklingen av matematisk vetenskap obestridlig. Kuzansky var en av de första som gick bort från att betrakta aritmetiken som det mest exakta vetenskapsområdet, och satte dåtidens matematik i tvivel.

Forntida matematiker använde enheten som ett universellt kriterium, medan filosofen föreslog oändlighet som ett nytt mått istället för det exakta antalet. I detta avseende är representationen av precision i matematisk vetenskap inverterad. Vetenskaplig kunskap är enligt honom uppdelad i rationell och intellektuell. Den andra är mer exakt, enligt vetenskapsmannen, eftersom den första endast ger ett ungefärligt resultat.

Idea

Huvudidén och konceptet i differentialkalkyl är relaterat till en funktion i små stadsdelar med vissa punkter. För att göra detta är det nödvändigt att skapa en matematisk apparat för att studera en funktion vars beteende i ett litet område av de etablerade punkterna är nära beteendet hos ett polynom eller en linjär funktion. Detta är baserat på definitionen av en derivata och en differential.

Uppkomsten av begreppet en derivata orsakades av ett stort antal problem från naturvetenskap och matematik,vilket ledde till att man hittade gränsvärdena av samma typ.

Ett av huvudproblemen som ges som exempel från gymnasiet är att bestämma hastigheten på en punkt som rör sig längs en rät linje och konstruera en tangentlinje till denna kurva. Differentialen är relaterad till detta, eftersom det är möjligt att approximera funktionen i ett litet område av den betraktade punkten för den linjära funktionen.

Jämfört med konceptet med derivatan av en funktion av en reell variabel, övergår definitionen av differentialer helt enkelt till en funktion av allmän karaktär, i synnerhet till bilden av ett euklidiskt rum på ett annat.

derivat

Låt punkten röra sig i riktning mot Oy-axeln, för den tid vi tar x, som räknas från en viss början av ögonblicket. En sådan rörelse kan beskrivas med funktionen y=f(x), som tilldelas varje tidsmoment x för koordinaten för den punkt som flyttas. Inom mekaniken kallas denna funktion för rörelselagen. Det huvudsakliga kännetecknet för rörelse, särskilt ojämn, är den momentana hastigheten. När en punkt rör sig längs Oy-axeln enligt mekanikens lag, får den vid ett slumpmässigt tidpunkt x koordinaten f (x). Vid tidpunkten x + Δx, där Δx anger ökningen av tid, kommer dess koordinat att vara f(x + Δx). Så här bildas formeln Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), som kallas funktionens inkrement. Den representerar den väg som färdats av tidpunkten från x till x + Δx.

På grund av uppkomsten av dettahastighet vid tidpunkten, introduceras derivatan. I en godtycklig funktion kallas derivatan vid en fast punkt för gränsen (förutsatt att den existerar). Det kan betecknas med vissa symboler:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Processen att beräkna derivatan kallas differentiering.

Differentialkalkyl för en funktion av flera variabler

Denna kalkylmetod används när man undersöker en funktion med flera variabler. I närvaro av två variabler x och y kallas partialderivatan med avseende på x i punkt A derivatan av denna funktion med avseende på x med fixerad y.

Kan representeras av följande tecken:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x eller ∂f(x, y)’/∂x.

Obligatoriska färdigheter

Färdigheter i integration och differentiering krävs för att framgångsrikt studera och kunna lösa diffusor. För att göra det lättare att förstå differentialekvationer bör du ha god förståelse för ämnet derivatan och den obestämda integralen. Det skadar inte heller att lära sig hur man hittar derivatan av en implicit given funktion. Detta beror på det faktum att i processen att studera integraler och differentiering ofta kommer att behöva användas.

Typer av differentialekvationer

I nästan alla testpapper relaterade till första ordningens differentialekvationer finns det 3 typer av ekvationer: homogena, med separerbara variabler, linjära inhomogena.

Det finns också mer sällsynta varianter av ekvationer: med totala differentialer, Bernoullis ekvationer och andra.

Grundläggande beslut

Först bör du komma ihåg de algebraiska ekvationerna från skolkursen. De innehåller variabler och tal. För att lösa en vanlig ekvation måste du hitta en uppsättning tal som uppfyller ett givet villkor. I regel hade sådana ekvationer en rot, och för att kontrollera riktigheten behövde man bara ersätta det okända med detta värde.

Differentialekvationen liknar denna. I allmänhet inkluderar en sådan första ordningens ekvation:

• Oberoende variabel.
• Drivatan av den första funktionen.
• En funktion eller beroende variabel.

I vissa fall kan en av de okända, x eller y, saknas, men det är inte så viktigt, eftersom närvaron av den första derivatan, utan högre ordningens derivator, är nödvändig för lösningen och differentialen kalkyl för att vara korrekt.

Att lösa en differentialekvation innebär att hitta mängden av alla funktioner som matchar det givna uttrycket. En sådan uppsättning funktioner kallas ofta den allmänna lösningen av DE.

Integralkalkyl

Integralkalkyl är en av de delar av matematisk analys som studerar begreppet integral, egenskaper och metoder för dess beräkning.

Ofta sker beräkningen av integralen vid beräkning av arean av en kurvlinjär figur. Detta område betyder gränsen till vilken arean av en polygon inskriven i en given figur tenderar med en gradvis ökning av dess sida, medan dessa sidor kan göras mindre än någon tidigare specificerad godtyckliglitet värde.

Huvudidén för att beräkna arean av en godtycklig geometrisk figur är att beräkna arean av en rektangel, det vill säga att bevisa att dess area är lika med produkten av längd och bredd. När det kommer till geometri är alla konstruktioner gjorda med hjälp av en linjal och en kompass, och då är förhållandet mellan längd och bredd ett rationellt värde. När du beräknar arean av en rätvinklig triangel kan du bestämma att om du sätter samma triangel bredvid den, så bildas en rektangel. I ett parallellogram beräknas arean med en liknande, men lite mer komplicerad metod, genom en rektangel och en triangel. I polygoner beräknas arean genom trianglarna som ingår i den.

När man bestämmer sparandet av en godtycklig kurva, kommer den här metoden inte att fungera. Om du delar upp det i enstaka rutor, kommer det att finnas ofyllda platser. I det här fallet försöker man använda två omslag, med rektanglar på toppen och botten, som ett resultat, de inkluderar grafen för funktionen och inte. Metoden för uppdelning i dessa rektanglar är fortfarande viktig här. Dessutom, om vi tar allt mindre partitioner, bör området över och under konvergera till ett visst värde.

Det bör gå tillbaka till metoden för indelning i rektanglar. Det finns två populära metoder.

Riemann formaliserade definitionen av integralen skapad av Leibniz och Newton som arean av en subgraf. I detta fall övervägdes siffror, bestående av ett visst antal vertikala rektanglar och erhållna genom divisionsegmentet. När, när partitionen minskar, det finns en gräns till vilken arean av en liknande figur minskar, kallas denna gräns Riemann-integralen för en funktion på ett givet intervall.

Den andra metoden är konstruktionen av Lebesgue-integralen, som består i det faktum att för platsen för att dela upp det definierade området i delar av integranden och sedan sammanställa integralsumman från de värden som erhålls i dessa delar, dess värdeintervall delas upp i intervall och summeras sedan med motsvarande mått på förbilder av dessa integraler.

Moderna förmåner

En av huvudhandböckerna för studiet av differential- och integralkalkyl skrevs av Fikhtengolts - "Course of differential and integral calculus". Hans lärobok är en grundläggande guide till studiet av matematisk analys, som har gått igenom många upplagor och översättningar till andra språk. Skapad för universitetsstudenter och har länge använts i många läroanst alter som ett av de viktigaste studiehjälpmedlen. Ger teoretiska data och praktiska färdigheter. Utgiven första gången 1948.

Funktionsundersökningsalgoritm

För att undersöka en funktion med metoderna för differentialkalkyl, måste du följa den redan givna algoritmen:

1. Hitta omfattningen av en funktion.
2. Hitta rötterna till den givna ekvationen.
3. Beräkna extremer. För att göra detta, beräkna derivatan och punkterna där den är lika med noll.
4. Ersätt det resulterande värdet i ekvationen.

Varianter av differentialekvationer

första ordningens kontroll (annars differentialenkelvariabelkalkyl) och deras typer:

• Separerbar ekvation: f(y)dy=g(x)dx.
• De enklaste ekvationerna, eller differentialkalkylen för en funktion av en variabel, med formeln: y'=f(x).
• Linjär inhomogen första ordningens DE: y'+P(x)y=Q(x).
• Bernoullis differentialekvation: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Ekvation med totala differentialer: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Differentialekvationer av andra ordningen och deras typer:

• Linjär andra ordningens homogen differentialekvation med konstanta koefficientvärden: y +py'+qy=0 p, q tillhör R.
• Linjär inhomogen andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter: y +py'+qy=f(x).
• Linjär homogen differentialekvation: y +p(x)y'+q(x)y=0, och inhomogen andra ordningens ekvation: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Differentialekvationer med högre ordning och deras typer:

• Differentialekvation som kan reduceras i ordning: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Linjär högre ordnings homogen ekvation: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0 och inhomogena: y⁽ⁿ⁾⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Steg för att lösa ett problem med en differentialekvation

Med hjälp av fjärrkontroll löses inte bara matematiska eller fysiska frågor utan även olika problem frånbiologi, ekonomi, sociologi osv. Trots den stora variationen av ämnen bör man hålla sig till en enda logisk sekvens när man löser sådana problem:

1. Kompilering av fjärrkontroll. Ett av de svåraste stegen som kräver maximal precision, eftersom alla misstag kommer att leda till helt felaktiga resultat. Alla faktorer som påverkar processen bör beaktas och de initiala förhållandena bör fastställas. Den bör också baseras på fakta och logiska slutsatser.
2. Lösning av den formulerade ekvationen. Denna process är enklare än det första steget, eftersom den bara kräver strikta matematiska beräkningar.
3. Analys och utvärdering av resultaten. Den härledda lösningen bör utvärderas för att fastställa det praktiska och teoretiska värdet av resultatet.

Ett exempel på användning av differentialekvationer i medicin

Användningen av fjärrkontroll inom medicinen förekommer när man bygger en epidemiologisk matematisk modell. Samtidigt bör man inte glömma att dessa ekvationer även finns inom biologi och kemi, som ligger nära medicinen, eftersom studiet av olika biologiska populationer och kemiska processer i människokroppen spelar en viktig roll i det.

I exemplet ovan på en epidemi kan vi överväga smittspridning i ett isolerat samhälle. Invånarna är indelade i tre typer:

• Infekterad, nummer x(t), bestående av individer, bärare av infektionen, som var och en är smittsam (inkubationstiden är kort).
• Den andra typen inkluderarmottagliga individer y(t) som kan bli infekterade genom kontakt med infekterade individer.
• Den tredje arten inkluderar immuna individer z(t) som är immuna eller har dött på grund av sjukdom.

Antalet individer är konstant, med hänsyn till födslar, naturliga dödsfall och migration beaktas inte. Det kommer att finnas två hypoteser i kärnan.

Procentandelen av incidensen vid en viss tidpunkt är x(t)y(t) (baserat på teorin att antalet fall är proportionellt mot antalet skärningspunkter mellan sjuka och mottagliga representanter, som i den första approximationen kommer att vara proportionell mot x(t)y(t)), i samband med detta ökar antalet fall, och antalet mottagliga minskningar i en takt som beräknas med formeln ax(t)y(t) (a > 0).

Antalet immuna individer som har blivit immuna eller dött ökar i en takt som är proportionell mot antalet fall, bx(t) (b > 0).

Som ett resultat kan du skapa ett ekvationssystem som tar hänsyn till alla tre indikatorerna och dra slutsatser utifrån det.

Ekonomiexempel

Differentialkalkyl används ofta i ekonomisk analys. Huvuduppgiften i ekonomisk analys är studiet av kvantiteter från ekonomin, som skrivs i form av en funktion. Detta används när man löser problem som förändringar i inkomster omedelbart efter höjning av skatter, införande av tullar, förändringar i företagets intäkter när produktionskostnaden förändras, i vilken andel kan pensionerade arbetare ersättas med ny utrustning. För att lösa sådana problem är det nödvändigtbygg en kopplingsfunktion från indatavariablerna, som sedan studeras med hjälp av differentialkalkylen.

Inom den ekonomiska sfären är det ofta nödvändigt att hitta de mest optimala indikatorerna: maximal arbetsproduktivitet, högsta inkomst, lägsta kostnader och så vidare. Varje sådan indikator är en funktion av ett eller flera argument. Till exempel kan produktion ses som en funktion av arbetskraft och kapitalinsatser. I detta avseende kan hitta ett lämpligt värde reduceras till att hitta max eller minimum av en funktion från en eller flera variabler.

Problem av detta slag skapar en klass av extrema problem inom det ekonomiska området, vars lösning kräver differentialkalkyl. När en ekonomisk indikator behöver minimeras eller maximeras som en funktion av en annan indikator, vid punkten för maximum, kommer förhållandet mellan ökningen av funktionen och argumenten att tendera till noll om ökningen av argumentet tenderar till noll. Annars, när ett sådant förhållande tenderar till något positivt eller negativt värde, är den angivna punkten inte lämplig, eftersom genom att öka eller minska argumentet kan du ändra det beroende värdet i önskad riktning. I differentialkalkylens terminologi innebär detta att det erforderliga villkoret för en funktions maximum är nollvärdet på dess derivata.

Inom ekonomi finns det ofta problem med att hitta extremumet för en funktion med flera variabler, eftersom ekonomiska indikatorer är uppbyggda av många faktorer. Sådana frågor är bra.studerade i teorin om funktioner för flera variabler, med tillämpning av metoder för differentialberäkning. Sådana problem inkluderar inte bara maximerade och minimerade funktioner, utan också begränsningar. Sådana frågor är relaterade till matematisk programmering, och de löses med hjälp av specialutvecklade metoder, även baserade på denna gren av vetenskapen.

Bland de metoder för differentialkalkyl som används inom ekonomi är marginalanalys ett viktigt avsnitt. På den ekonomiska sfären hänvisar denna term till en uppsättning metoder för att studera variabla indikatorer och resultat när man ändrar volymen av skapande, konsumtion, baserat på analysen av deras marginella indikatorer. Den begränsande indikatorn är derivatan eller partiella derivator med flera variabler.

Differentialkalkyl för flera variabler är ett viktigt ämne inom matematisk analys. För en detaljstudie kan du använda olika läroböcker för högre utbildning. En av de mest kända skapades av Fikhtengolts - "Course of differential and integral calculus". Som namnet antyder är färdigheter i att arbeta med integraler av stor betydelse för att lösa differentialekvationer. När differentialkalkylen för en funktion av en variabel äger rum blir lösningen enklare. Även om det bör noteras är det föremål för samma grundläggande regler. För att studera en funktion i praktiken genom differentialkalkyl räcker det med att följa den redan existerande algoritmen, som ges i gymnasiet och bara lite komplicerad när nya introduceras.variabler.