Vad är variabler? Variabel i matematik

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

Vikten av variabler i matematik är stor, för under dess existens lyckades forskare göra många upptäckter inom detta område, och för att kort och tydligt ange den eller den teorem använder vi variabler för att skriva motsvarande formler. Till exempel Pythagoras sats om en rätvinklig triangel: a² =b² + c^{2. Hur man skriver varje gång när man löser ett problem: enligt Pythagoras sats är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraterna på benen - vi skriver ner detta med en formel, och allt blir direkt klart.}

Så, den här artikeln kommer att diskutera vad variabler är, deras typer och egenskaper. Olika matematiska uttryck kommer också att beaktas: ojämlikheter, formler, system och algoritmer för deras lösning.

Variabelkoncept

För det första, vad är en variabel? Detta är ett numeriskt värde som kan anta många värden. Det kan inte vara konstant, eftersom vi i olika problem och ekvationer, för bekvämlighets skull, tar lösningar somvariabla olika tal, det vill säga, till exempel, z är en allmän beteckning för var och en av de kvantiteter som den tas för. Vanligtvis betecknas de med bokstäver i det latinska eller grekiska alfabetet (x, y, a, b och så vidare).

Det finns olika typer av variabler. De sätter både vissa fysiska storheter - väg (S), tid (t) och helt enkelt okända värden i ekvationer, funktioner och andra uttryck.

Det finns till exempel en formel: S=Vt. Här betecknar variablerna vissa kvantiteter relaterade till den verkliga världen - vägen, hastigheten och tiden.

Och det finns en ekvation av formen: 3x - 16=12x. Här tas x redan som ett abstrakt tal som är vettigt i denna notation.

Typer av kvantiteter

Mängd betyder något som uttrycker egenskaperna hos ett visst föremål, ämne eller fenomen. Till exempel lufttemperatur, djurets vikt, procentandelen vitaminer i en tablett - det är alla kvantiteter vars numeriska värden kan beräknas.

Varje storhet har sina egna måttenheter som tillsammans bildar ett system. Det kallas för nummersystemet (SI).

Vad är variabler och konstanter? Betrakta dem med specifika exempel.

Låt oss ta en rätlinjig enhetlig rörelse. En punkt i rymden rör sig med samma hastighet varje gång. Det vill säga tid och avstånd förändras, men hastigheten förblir densamma. I det här exemplet är tid och avstånd variabler och hastigheten är konstant.

Eller till exempel "pi". Detta är ett irrationellt tal som fortsätter utan att upprepasen sekvens av siffror och kan inte skrivas i sin helhet, så i matematik uttrycks det av en allmänt accepterad symbol som endast tar värdet av en given oändlig bråkdel. Det vill säga "pi" är ett konstant värde.

Historia

Historien kring notationen av variabler börjar på 1600-talet med vetenskapsmannen René Descartes.

Han betecknade de kända värdena med de första bokstäverna i alfabetet: a, b och så vidare, och för det okända föreslog han att de sista bokstäverna skulle användas: x, y, z. Det är anmärkningsvärt att Descartes ansåg att sådana variabler var icke-negativa tal, och när han stod inför negativa parametrar satte han ett minustecken framför variabeln eller, om det inte var känt vilket tecken talet var, en ellips. Men med tiden började namnen på variabler beteckna siffror på vilket tecken som helst, och detta började med matematikern Johann Hudde.

Med variabler är beräkningar i matematik lättare att lösa, för hur löser vi till exempel biquadratiska ekvationer nu? Vi anger en variabel. Till exempel:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

För x2 tar vi lite k, och ekvationen blir tydlig:

x2=k, för k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Det är vad införandet av variabler ger matematiken.

Ojämlikheter, exempel på lösningar

En olikhet är en post där två matematiska uttryck eller två tal är sammankopplade med jämförelsetecken:, ≦, ≧. De är strikta och indikeras med tecken eller icke-stränga med tecken ≦, ≧.

För första gången introducerade dessa skyltarThomas Harriot. Efter Thomas död publicerades hans bok med dessa noteringar, matematiker gillade dem och med tiden blev de flitigt använda i matematiska beräkningar.

Det finns flera regler att följa när man löser olikheter med enstaka variabel:

När du överför ett tal från en del av ojämlikheten till en annan, ändra dess tecken till det motsatta.
När man multiplicerar eller dividerar delar av en olikhet med ett negativt tal, vänds deras tecken.
Om du multiplicerar eller dividerar båda sidorna av olikheten med ett positivt tal, får du en olikhet lika med den ursprungliga.

Att lösa en ojämlikhet innebär att hitta alla giltiga värden för en variabel.

exempel med en variabel:

10x - 50 > 150

Vi löser det som en normal linjär ekvation - vi flyttar termerna med en variabel till vänster, utan en variabel - till höger och ger liknande termer:

10x > 200

Vi dividerar båda sidor av ojämlikheten med 10 och får:

x > 20

För tydlighetens skull, i exemplet med att lösa en olikhet med en variabel, rita en tallinje, markera den genomborrade punkten 20 på den, eftersom olikheten är strikt och detta nummer inte ingår i uppsättningen av dess lösningar.

Lösningen på denna ojämlikhet är intervallet (20; +∞).

Lösning av en icke-strikt ojämlikhet utförs på samma sätt som en strikt:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Men det finns ett undantag. En post med formen x ≧ 5 ska förstås på följande sätt: x är större än eller lika med fem, vilket betydertalet fem ingår i mängden av alla lösningar på ojämlikheten, det vill säga när vi skriver svaret sätter vi en hakparentes framför siffran fem.

x ∈ [5; +∞)

Kvadratisk ojämlikhet

Om vi tar en andragradsekvation av formen ax2 + bx +c=0 och ändrar likhetstecknet till olikhetstecknet i den, så kommer vi följaktligen att få ett kvadratisk ojämlikhet.

För att lösa en andragradsolikhet måste du kunna lösa andragradsekvationer.

y=ax2 + bx + c är en kvadratisk funktion. Vi kan lösa det genom att använda diskriminanten eller genom att använda Vieta-satsen. Kom ihåg hur dessa ekvationer löses:

1) y=x2 + 12x + 11 - funktionen är en parabel. Dess grenar är riktade uppåt, eftersom tecknet för koefficienten "a" är positivt.

2) x2 + 12x + 11=0 - lika med noll och lös med diskriminanten.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 rötter

I enlighet med formeln för rötter till andragradsekvationen får vi:

x₁ =-1, x_2=-11

Eller så kan du lösa denna ekvation med hjälp av Vieta-satsen:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Med hjälp av urvalsmetoden får vi samma rötter i ekvationen.

Parabola

Så, det första sättet att lösa en kvadratisk ojämlikhet är en parabel. Algoritmen för att lösa det är som följer:

1. Bestäm vart parabelns grenar är riktade.

2. Jämställ funktionen med noll och hitta rötterna till ekvationen.

3. Vi bygger en tallinje, markerar rötterna på den, ritar en parabel och hittar gapet vi behöver, beroende på ojämlikhetens tecken.

Lös ojämlikheten x2 + x - 12 > 0

Skriv ut som en funktion:

1) y=x2 + x - 12 - parabel, förgrenar sig.

Ställ in på noll.

2) x2 + x -12=0

Nästa löser vi som en andragradsekvation och hittar nollorna för funktionen:

x₁ =3, x_2=-4

3) Rita en tallinje med punkterna 3 och -4 på. Parabeln kommer att passera genom dem, förgrenar sig och svaret på ojämlikheten kommer att vara en uppsättning positiva värden, det vill säga (-∞; -4), (3; +∞).

Intervallmetod

Det andra sättet är avståndsmetoden. Algoritm för att lösa det:

1. Hitta rötterna till ekvationen där olikheten är lika med noll.

2. Vi markerar dem på nummerraden. Den är alltså uppdelad i flera intervall.

3. Bestäm tecknet för ett intervall.

4. Vi placerar skyltar med de återstående intervallen och byter dem efter ett.

Lös ojämlikheten (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Ojämlikhetsnollor: 4, 5 och -7.

2) Rita dem på tallinjen.

3) Bestäm tecknen för intervaller.

Svar: (-∞; -7]; [4; 5].

Lös en ojämlikhet till: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Olikhetsnollor: 0, 2, -2 och 1.

2. Markera dem på nummerraden.

3. Bestäm intervalltecken.

Linjen är uppdelad i intervall - från -2 till 0, från 0 till 1, från 1 till 2.

Ta värdet på det första intervallet - (-1). Ersättare i ojämlikhet. Med detta värde blir olikheten positiv, vilket betyder att tecknet på detta intervall blir +.

Vidare, med början från den första luckan, ordnar vi skyltarna och byter dem efter en.

Ojämlikheten är större än noll, det vill säga du måste hitta en uppsättning positiva värden på linjen.

Svar: (-2; 0), (1; 2).

ekvationssystem

Ett ekvationssystem med två variabler är två ekvationer förenade med ett krulligt stag som det är nödvändigt att hitta en gemensam lösning för.

System kan vara likvärdiga om den allmänna lösningen för en av dem är lösningen för den andra, eller om båda inte har några lösningar.

Vi kommer att studera lösningen av ekvationssystem med två variabler. Det finns två sätt att lösa dem - substitutionsmetoden eller den algebraiska metoden.

Algebraisk metod

För att lösa systemet som visas i bilden med den här metoden måste du först multiplicera en av dess delar med ett sådant tal, så att du senare kan ömsesidigt avbryta en variabel från båda delarna av ekvationen. Här multiplicerar vi med tre, drar en linje under systemet och lägger ihop dess delar. Som ett resultat blir x identiska i modul, men motsatta i tecken, och vi reducerar dem. Därefter får vi en linjär ekvation med en variabel och löser den.

Vi hittade Y, men vi kan inte sluta där, för vi har inte hittat X än. ErsättningY till den del från vilken det är bekvämt att ta ut X, till exempel:

-x + 5y=8, med y=1

-x + 5=8

Lös den resulterande ekvationen och hitta x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Huvudsaken i lösningen av systemet är att skriva ner svaret korrekt. Många elever gör misstaget att skriva:

Svar: -3, 1.

Men det här är en felaktig post. När allt kommer omkring, som redan nämnts ovan, när vi löser ett ekvationssystem, letar vi efter en generell lösning för dess delar. Rätt svar skulle vara:

(-3; 1)