Prism och dess element. Egenskaper för ett vanligt fyrkantigt prisma

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 05:42

Prism är en ganska enkel geometrisk tredimensionell figur. Ändå har vissa skolbarn problem med att bestämma dess huvudsakliga egenskaper, vars orsak som regel är förknippad med felaktigt använd terminologi. I den här artikeln kommer vi att överväga vad prismor är, vad de kallas, och även beskriva i detalj det korrekta fyrkantiga prismat.

Prisma i geometri

Studiet av tredimensionella figurer är en uppgift för stereometri - en viktig del av rumslig geometri. I stereometri förstås ett prisma som en sådan figur, som bildas av parallell translation av en godtycklig platt polygon på ett visst avstånd i rymden. Parallell translation innebär en rörelse där rotation runt en axel vinkelrät mot polygonens plan är helt utesluten.

Som ett resultat av den beskrivna metoden för att erhålla ett prisma, bildas en figur, begränsad av tvåpolygoner med samma dimensioner, som ligger i parallella plan, och ett visst antal parallellogram. Deras antal sammanfaller med antalet sidor (hörn) av polygonen. Identiska polygoner kallas prismats baser, och deras yta är arean av baserna. Parallelogram som förbinder två baser bildar en sidoyta.

Prismelement och Eulers teorem

Eftersom den tredimensionella figuren som betraktas är en polyeder, det vill säga den bildas av en uppsättning plan som skär varandra, kännetecknas den av ett visst antal hörn, kanter och ytor. De är alla delar av ett prisma.

I mitten av 1700-talet etablerade den schweiziske matematikern Leonhard Euler ett samband mellan antalet grundläggande element i en polyeder. Detta förhållande är skrivet med följande enkla formel:

Antal kanter=antal hörn + antal ytor - 2

För alla prisma är denna jämlikhet sann. Låt oss ge ett exempel på dess användning. Antag att det finns ett regelbundet fyrkantigt prisma. Hon är på bilden nedan.

Det kan ses att antalet hörn för den är 8 (4 för varje fyrkantig bas). Antalet sidor eller ytor är 6 (2 baser och 4 sidorektanglar). Då blir antalet kanter för det:

Antal revben=8 + 6 - 2=12

Alla kan räknas om du hänvisar till samma bild. Åtta kanter ligger vid baserna och fyra kanter är vinkelräta mot dessa baser.

Fullständig klassificering av prismor

Det är viktigt att förstå denna klassificering så att du inte blir förvirrad i terminologin senare och använder rätt formler för att beräkna t.ex. yta eller volym av figurer.

För varje prisma med godtycklig form kan 4 egenskaper urskiljas som kommer att känneteckna den. Låt oss lista dem:

• Med antalet hörn av polygonen vid basen: triangulär, femkantig, åttkantig och så vidare.
• Polygontyp. Det kan vara rätt eller fel. Till exempel är en rätvinklig triangel oregelbunden, men en liksidig triangel är korrekt.
• Beroende på typen av polygonkonvexitet. Den kan vara konkav eller konvex. Konvexa prismor är de vanligaste.
• I vinklarna mellan baserna och sidoparallellogrammen. Om alla dessa vinklar är lika med 90^o, så talar de om ett rät prisma, om inte alla är räta, så kallas en sådan siffra sned.

Av alla dessa punkter skulle jag vilja uppehålla mig vid den sista. Ett rakt prisma kallas också ett rektangulärt prisma. Detta beror på det faktum att parallellogram är rektanglar i det allmänna fallet (i vissa fall kan de vara kvadrater).

Till exempel visar figuren ovan en femkantig konkav rektangulär eller rak figur.

Vanligt fyrkantigt prisma

Basen på detta prisma är en vanlig fyrhörning, det vill säga en kvadrat. Figuren ovan har redan visat hur detta prisma ser ut. Förutom de två rutor som hennebegränsa topp och botten, den innehåller också 4 rektanglar.

Låt oss beteckna sidan av basen av ett regelbundet fyrkantigt prisma med bokstaven a, längden på dess sidokant kommer att betecknas med bokstaven c. Denna längd är också höjden på figuren. Då uttrycks arean av hela ytan av detta prisma med formeln:

S=2a²+ 4ac=2a(a + 2c)

Här återspeglar den första termen basernas bidrag till den totala arean, den andra termen är arean av sidoytan.

Med hänsyn till de införda beteckningarna för sidornas längder, skriver vi formeln för volymen på figuren i fråga:

V=a²c

Det vill säga, volymen beräknas som produkten av arean av den kvadratiska basen och längden på sidokanten.

Kubform

Alla känner till den här idealiska tredimensionella figuren, men få människor trodde att det är ett regelbundet fyrkantigt prisma, vars sida är lika med längden på sidan av den kvadratiska basen, det vill säga c=a.

För en kub kommer formlerna för den totala ytan och volymen att ha formen:

S=6a²

V=a³

Eftersom en kub är ett prisma som består av 6 identiska kvadrater, kan alla parallella par av dem betraktas som en bas.

Cube är en mycket symmetrisk figur, som i naturen realiseras i form av kristallgitter av många metalliska material och jonkristaller. Till exempel galler av guld, silver, koppar och bords alter är kubiska.