Derivatan av cosinus hittas i analogi med derivatan av sinus, grunden för beviset är definitionen av gränsen för funktionen. Du kan använda en annan metod genom att använda formlerna för trigonometrisk reduktion för vinklarnas cosinus och sinus. Uttryck en funktion i termer av en annan - cosinus i termer av sinus, och differentiera sinus med ett komplext argument.
Tänk på det första exemplet på att härleda formeln (Cos(x))'
Ge ett försumbart litet inkrement Δx till argumentet x för funktionen y=Cos(x). Med ett nytt värde på argumentet х+Δх får vi ett nytt värde för funktionen Cos(х+Δх). Då kommer funktionsökningen Δy att vara lika med Cos(х+Δx)-Cos(x).
Förhållandet mellan funktionsökningen och Δх blir: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Låt oss utföra identiska transformationer i täljaren för det resulterande bråket. Kom ihåg formeln för skillnaden i vinklarnas cosinus, resultatet blir produkten -2Sin (Δx / 2) gånger Sin (x + Δx / 2). Vi finner gränsen för kvoten lim för denna produkt på Δx eftersom Δx tenderar till noll. Det är känt att den första(det kallas underbart) gränsen lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) är lika med 1, och gränsen -Sin(x+Δx/2) är lika med -Sin(x) som Δx tenderar till noll. Skriv ner resultatet: derivatan av (Cos(x))' är lika med - Sin(x).
Vissa människor föredrar det andra sättet att härleda samma formel
Det är känt från trigonometrins förlopp: Cos(x) är lika med Sin(0, 5 µ-x), på samma sätt är Sin(x) lika med Cos(0, 5 µ-x). Sedan differentierar vi en komplex funktion - sinus för tilläggsvinkeln (istället för cosinus x).
Vi får produkten Cos(0, 5 µ-x) (0, 5 µ-x)', eftersom derivatan av sinus x är lika med cosinus X. Vi vänder oss till den andra formeln Sin(x)=Cos(0,5 µ-x) för att ersätta cosinus med sinus, med hänsyn till att (0,5 µ-x)'=-1. Nu får vi -Sin(x). Så, derivatan av cosinus hittas, y'=-Sin(x) för funktionen y=Cos(x).
Kvadraterad cosinusderivat
Ett vanligt exempel där cosinusderivatan används. Funktionen y=Cos2(x) är svår. Vi hittar först potensfunktionens differential med exponent 2, den blir 2·Cos(x), sedan multiplicerar vi den med derivatan (Cos(x))', som är lika med -Sin(x). Vi får y'=-2 Cos(x) Sin(x). När vi tillämpar formeln Sin(2x), sinus för en dubbel vinkel, får vi det slutliga förenkladesvaret y'=-Sin(2x)
Hyperboliska funktioner
De används i studier av många tekniska discipliner: i matematik, till exempel, underlättar de beräkningen av integraler, lösningen av differentialekvationer. De uttrycks i termer av trigonometriska funktioner med imaginäraargument, så hyperbolisk cosinus ch(x)=Cos(i x), där i är den imaginära enheten, hyperbolisk sinus sh(x)=Sin(i x).
Derivatan av den hyperboliska cosinus beräknas helt enkelt.
Tänk på funktionen y=(ex+e-x) /2, detta och är den hyperboliska cosinus ch(x). Vi använder regeln för att hitta derivatan av summan av två uttryck, regeln för att ta konstantfaktorn (Const) ur derivatans tecken. Den andra termen 0,5 e-x är en komplex funktion (dess derivata är -0,5 e-x), 0,5 eх ― första terminen. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' kan skrivas på ett annat sätt: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, eftersom derivatan (e - x)' är lika med -1 gånger e-x. Resultatet är en skillnad, och detta är den hyperboliska sinus sh(x).Utdata: (ch(x))'=sh(x).
Låt oss titta på ett exempel på hur man beräkna derivatan av funktionen y=ch(x
3+1). Enligt den hyperboliska cosinusdifferentieringsregeln med komplext argument y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', där (x3+1)'=3 x 2+0. Svar: derivatan av denna funktion är 3 x
2sh(x3+1).
Tabulära derivator av de betraktade funktionerna y=ch(x) och y=Cos(x)
När man löser exempel behöver man inte särskilja dem varje gång enligt det föreslagna schemat, det räcker med att använda slutledning.
Exempel. Differentiera funktionen y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Lätt att beräkna (använd tabelldata), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
