Prism är en polyeder eller polyeder, som studeras i skolans kurs i solid geometri. En av de viktiga egenskaperna hos denna polyeder är dess volym. Låt oss i artikeln överväga hur detta värde kan beräknas, och även ge formlerna för volymen av prismor - regelbundna fyrkantiga och hexagonala.
Prism i stereometri
Denna figur förstås som en polyeder, som består av två identiska polygoner placerade i parallella plan, och av flera parallellogram. För vissa typer av prismor kan parallellogram representera rektangulära fyrhörningar eller kvadrater. Nedan är ett exempel på ett så kallat femkantigt prisma.
För att bygga en figur som i figuren ovan måste du ta en femhörning och utföra dess parallella överföring till ett visst avstånd i rymden. Genom att ansluta sidorna av två femhörningar med parallellogram får vi det önskade prismat.
Varje prisma består av ytor, hörn och kanter. Prismats hörntill skillnad från pyramiden, är lika, var och en av dem hänvisar till en av de två baserna. Ytor och kanter är av två typer: de som hör till baserna och de som hör till sidorna.
Prismor är av flera typer (korrekta, sneda, konvexa, raka, konkava). Låt oss överväga senare i artikeln med vilken formel volymen av ett prisma beräknas, med hänsyn till figurens form.
Allmänt uttryck för att bestämma volymen av ett prisma
Oavsett vilken typ figuren som studeras tillhör, om den är rak eller sned, regelbunden eller oregelbunden, finns det ett universellt uttryck som låter dig bestämma dess volym. Volymen av en rumslig figur är den yta av rymden som är innesluten mellan dess ansikten. Den allmänna formeln för volymen av ett prisma är:
V=So × h.
Här representerar So arean av basen. Man bör komma ihåg att vi talar om en grund och inte om två. h-värdet är höjden. Höjden på figuren som studeras förstås som avståndet mellan dess identiska baser. Om detta avstånd sammanfaller med sidoribbornas längder, så talar man om ett rakt prisma. I en rak figur är alla sidor rektanglar.
Alltså, om ett prisma är snett och har en oregelbunden baspolygon, blir det mer komplicerat att beräkna dess volym. Om siffran är rak, reduceras beräkningen av volymen endast till att bestämma arean av basen So.
Bestämma volymen för en vanlig figur
Regular är alla prisma som är raka och har en polygonal bas med sidor och vinklar lika med varandra. Sådana regelbundna polygoner är till exempel en kvadrat och en liksidig triangel. Samtidigt är en romb inte en vanlig figur, eftersom inte alla dess vinklar är lika.
Formeln för volymen av ett reguljärt prisma följer entydigt från det allmänna uttrycket för V, som skrevs i föregående stycke i artikeln. Innan du fortsätter att skriva motsvarande formel är det nödvändigt att bestämma området för den korrekta basen. Utan att gå in på matematiska detaljer presenterar vi formeln för att bestämma det angivna området. Den är universell för alla vanliga n-gon och har följande form:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Som du kan se av uttrycket är området Sn en funktion av två parametrar. Ett heltal n kan ta värden från 3 till oändligt. Värdet a är längden på sidan av n-gonen.
För att beräkna volymen på en figur är det bara nödvändigt att multiplicera arean S med höjden h eller med längden på sidokanten b (h=b). Som ett resultat kommer vi fram till följande arbetsformel:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Observera att för att bestämma volymen av ett prisma av en godtycklig typ, måste du känna till flera kvantiteter (längder på sidorna av basen, höjd, dihedriska vinklar på figuren), men för att beräkna värdet V för ett vanligt prisma behöver vi bara känna till två linjära parametrar, till exempel a och h.
Volymen av ett fyrkantigt regelbundet prisma
Ett fyrkantigt prisma kallas en parallellepiped. Om alla dess ytor är lika och är kvadrater, kommer en sådan figur att vara en kub. Varje elev vet att volymen av en rektangulär parallellepiped eller kub bestäms genom att multiplicera dess tre olika sidor (längd, höjd och bredd). Detta faktum följer av det skriftliga allmänna volymuttrycket för en vanlig figur:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Här är cotangensen på 45° lika med 1. Observera att likheten mellan höjden h och längden på sidan av basen a automatiskt leder till formeln för en kubs volym.
Volym av hexagon alt regelbundet prisma
Använd nu ovanstående teori för att bestämma volymen av en figur med en sexkantig bas. För att göra detta behöver du bara ersätta värdet n=6 i formeln:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Det skriftliga uttrycket kan erhållas oberoende utan att använda den universella formeln för S. För att göra detta måste du dela upp den vanliga hexagonen i sex liksidiga trianglar. Sidan på var och en av dem kommer att vara lika med a. Arean av en triangel motsvarar:
S3=√3/4 × a2.
Om du multiplicerar detta värde med antalet trianglar (6) och med höjden får vi formeln ovan för volymen.
