Bertrands paradox är ett problem i den klassiska tolkningen av sannolikhetsteorin. Joseph introducerade det i sitt arbete Calcul des probabilités (1889) som ett exempel på att sannolikheter inte kan definieras väl om en mekanism eller metod producerar en slumpmässig variabel.
Problem Statement
Bertrands paradox är följande.
Tänk först på en liksidig triangel inskriven i en cirkel. I detta fall väljs diametern slumpmässigt. Vad är sannolikheten att den är längre än triangelns sida?
Bertrand gjorde tre argument, som alla verkar vara korrekta, men ger olika resultat.
Slumpmässig slutpunktsmetod
Du måste välja två platser på cirkeln och rita en båge som förbinder dem. För beräkningen beaktas Bertrands sannolikhetsparadox. Det är nödvändigt att föreställa sig att triangeln roteras så att dess vertex sammanfaller med en av ackordets ändpunkter. Värt att betalaObservera att om den andra delen är på en båge mellan två platser är cirkeln längre än sidan av triangeln. Längden på bågen är en tredjedel av cirkeln, så sannolikheten att ett slumpmässigt ackord är längre är 1/3.
Urvalsmetod
Det är nödvändigt att välja radien för cirkeln och en punkt på den. Efter det måste du bygga ett ackord genom denna plats, vinkelrätt mot diametern. För att beräkna den övervägda paradoxen hos Bertrand av sannolikhetsteorin måste man föreställa sig att triangeln roteras så att sidan är vinkelrät mot radien. Ackordet är längre än benet om den valda punkten är närmare cirkelns mitt. Och i det här fallet halverar sidan av triangeln radien. Därför är sannolikheten att ackordet är längre än sidan av den inskrivna figuren 1/2.
Slumpmässiga ackord
Midpunktsmetod. Det är nödvändigt att välja en plats på cirkeln och skapa ett ackord med en given mitt. Axeln är längre än kanten på den inskrivna triangeln, om den valda platsen är inom en koncentrisk cirkel med radien 1/2. Arean av den mindre cirkeln är en fjärdedel av den större figuren. Därför är sannolikheten för ett slumpmässigt ackord längre än sidan av den inskrivna triangeln och är lika med 1/4.
Som presenterat ovan skiljer sig urvalsmetoderna i vikten de ger vissa ackord, som är diametrar. I metod 1 kan varje ackord väljas på exakt ett sätt, oavsett om det är en diameter eller inte.
I metod 2 kan varje rak linje väljas på två sätt. Medan vilket annat ackord som helst kommer att väljasbara en av möjligheterna.
I metod 3 har varje mittpunktsval en enda parameter. Förutom mitten av cirkeln, som är mittpunkten för alla diametrar. Dessa problem kan undvikas genom att "ordna" alla frågor att exkludera parametrar utan att påverka de resulterande sannolikheterna.
Utvalda metoder kan också visualiseras enligt följande. Ett ackord som inte är en diameter identifieras unikt av dess mittpunkt. Var och en av de tre urvalsmetoderna som presenteras ovan ger en annan fördelning av mitten. Och alternativ 1 och 2 ger två olika olikformiga partitioner, medan metod 3 ger en enhetlig fördelning.
Den klassiska paradoxen att lösa Bertrands problem beror på metoden med vilken ackordet väljs "slumpmässigt". Det visar sig att om en metod för slumpmässigt urval anges i förväg har problemet en väldefinierad lösning. Detta beror på att varje enskild metod har sin egen fördelning av ackord. De tre avgöranden som Bertrand visar motsvarar olika urvalssätt och i avsaknad av ytterligare information finns det ingen anledning att gynna det ena framför det andra. Följaktligen har det angivna problemet inte en enda lösning.
Ett exempel på hur man gör ett allmänt svar unikt är att specificera att ackordets ändpunkter är jämnt fördelade mellan 0 och c, där c är cirkelns omkrets. Denna fördelning är densamma som i Bertrands första argument och den resulterande unika sannolikheten blir 1/3.
Denna Bertrand Russell-paradox och andra unika egenskaper hos klassiskttolkningar av möjlighet motiverar mer rigorösa formuleringar. Inklusive sannolikhetsfrekvens och subjektivistisk Bayesiansk teori.
Vad ligger bakom Bertrands paradox
I sin artikel "The Well-posed Problem" från 1973 erbjöd Edwin Jaynes sin unika lösning. Han noterade att Bertrands paradox bygger på en premiss som bygger på principen om "maximal okunnighet". Det betyder att du inte ska använda någon information som inte finns i problembeskrivningen. Jaynes påpekade att Bertrands problem inte avgör cirkelns position eller storlek. Och hävdade att därför varje definitivt och objektivt beslut måste vara "likgiltigt" för storlek och position.
I illustrationssyfte
Förutsatt att alla ackord placeras slumpmässigt på en 2 cm cirkel, nu måste du kasta sugrör på den på långt håll.
Då måste du ta en annan cirkel med mindre diameter (till exempel 1 centimeter), som passar in i en större figur. Då bör fördelningen av ackord på denna mindre cirkel vara densamma som på den maximala. Om den andra siffran också rör sig inuti den första, bör sannolikheten i princip inte ändras. Det är mycket lätt att se att för metod 3 kommer följande förändring att ske: fördelningen av ackord på den lilla röda cirkeln kommer att skilja sig kvalitativt från fördelningen på den stora cirkeln.
Detsamma händer för metod 1. Även om det är svårare att se i den grafiska vyn.
Metod 2 är den endasom visar sig vara både en skala och en översättningsinvariant.
Metod nummer 3 verkar helt enkelt vara utbyggbar.
Metod 1 är ingendera.
Men Janes använde inte invarianter lätt för att acceptera eller förkasta dessa metoder. Detta skulle lämna möjligheten att det finns en annan obeskriven metod som skulle passa dess aspekter av rimlig betydelse. Jaynes tillämpade integralekvationer som beskrev invarianser. För att direkt bestämma sannolikhetsfördelningen. I hans problem har integralekvationerna verkligen en unik lösning, och detta är precis vad som kallades den andra slumpradiemetoden ovan.
I en tidning från 2015 hävdar Alon Drory att Jaynes princip också kan ge två andra Bertrand-lösningar. Författaren försäkrar att den matematiska implementeringen av ovanstående egenskaper för invarians inte är unik, utan beror på den grundläggande slumpmässiga urvalsproceduren som en person bestämmer sig för att använda. Han visar att var och en av de tre Bertrand-lösningarna kan erhållas med hjälp av rotations-, skalnings- och translationsinvarians. Samtidigt drar man slutsatsen att Jaynes-principen är lika föremål för tolkning som själva likgiltigheten.
Fysiska experiment
Metod 2 är den enda lösningen som uppfyller de transformationsinvarianter som finns i specifika fysiologiska begrepp som statistisk mekanik och gasstruktur. Även i det föreslagnaJanes experiment med att kasta sugrör från en liten cirkel.
Däremot kan andra praktiska experiment utformas som ger svar enligt andra metoder. Till exempel, för att komma fram till en lösning på den första slumpmässiga slutpunktsmetoden, kan du fästa en räknare i mitten av området. Och låt resultaten av två oberoende rotationer framhäva ackordets slutplatser. För att komma fram till en lösning på den tredje metoden kan man täcka cirkeln med till exempel melass och markera den första punkten som flugan landar på som mittkorda. Flera betraktare har skapat studier för att dra olika slutsatser och har bekräftat resultaten empiriskt.
Senaste händelserna
I sin artikel från 2007 "The Bertrand Paradox and the Indifference Principle" hävdar Nicholas Shackel att mer än ett sekel senare är problemet fortfarande olöst. Hon fortsätter med att vederlägga principen om likgiltighet. Dessutom visar Darrell R. Robottom i sitt papper från 2013, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical", att alla föreslagna avgöranden inte har något att göra med hans egen fråga. Så det visade sig att paradoxen skulle bli mycket svårare att lösa än man tidigare trott.
Shackel betonar att hittills har många forskare och människor långt från vetenskapen försökt lösa Bertrands paradox. Det övervinns fortfarande med hjälp av två olika tillvägagångssätt.
De där skillnaden mellan icke-ekvivalenta problem övervägdes och de där problemet alltid ansågs vara korrekt. Shackel citerar Louis i sina böckerMarinoff (som en typisk exponent för differentieringsstrategin) och Edwin Jaynes (som författare till en genomtänkt teori).
Men i deras senaste arbete Solving a Complex Problem, anser Diederik Aerts och Massimiliano Sassoli de Bianchi att för att lösa Bertrand-paradoxen måste lokalerna sökas i en blandad strategi. Enligt dessa författare är det första steget att åtgärda problemet genom att tydligt ange arten av den enhet som randomiseras. Och först efter att detta är gjort kan alla problem anses vara korrekta. Det är vad Janes tycker.
Så principen om maximal okunnighet kan användas för att lösa det. För detta ändamål, och eftersom problemet inte specificerar hur ett ackord ska väljas, tillämpas principen inte på nivån för de olika möjligheterna, utan på en mycket djupare nivå.
Urval av delar
Denna del av problemet kräver beräkning av ett meta-medelvärde över alla möjliga sätt, som författarna kallar det universella medelvärdet. För att hantera detta använder de sig av diskretiseringsmetoden. Inspirerad av vad som görs för att definiera sannolikhetslagen i wienerprocesser. Deras resultat överensstämmer med Jaynes numeriska följd, även om deras välformulerade problem skiljer sig från originalförfattarens.
Inom ekonomi och handel beskriver Bertrand Paradox, uppkallad efter dess skapare Joseph Bertrand, en situation där två aktörer (företag) når en Nash-jämvikt. När båda företagen sätter ett pris lika med marginalkostnaden(MS).
Bertrands paradox bygger på en premiss. Det ligger i det faktum att i modeller som Cournot-konkurrens är en ökning av antalet företag förknippad med priskonvergens med marginalkostnader. I dessa alternativa modeller ligger Bertrands paradox i ett oligopol av ett litet antal företag som tjänar positiva vinster genom att ta ut priser över kostnaden.
Till att börja med är det värt att anta att två företag A och B säljer en homogen produkt, som var och en har samma produktions- och distributionskostnad. Av detta följer att köpare väljer en produkt enbart utifrån pris. Det betyder att efterfrågan är oändligt priselastisk. Varken A eller B kommer att sätta ett högre pris än de andra, eftersom det skulle få hela Bertrand-paradoxen att kollapsa. En av marknadsaktörerna kommer att ge efter för sin konkurrent. Om de sätter samma pris kommer företagen att dela på vinsten.
Å andra sidan, om något företag sänker sitt pris ens något, kommer det att få hela marknaden och en betydligt högre avkastning. Eftersom A och B vet detta kommer de båda att försöka underskatta konkurrenten tills produkten säljs utan ekonomisk vinst.
Närare arbete har visat att det kan finnas en ytterligare jämvikt i Bertrands blandade strategiparadox, med positiva ekonomiska vinster, förutsatt att monopolsumman är oändlig. När det gäller slutvinst visades det att en positiv ökning under priskonkurrens är omöjlig i blandade jämvikter och även i det mer allmänna falletkorrelerade system.
Faktum är att Bertrands paradox inom ekonomi sällan ses i praktiken, eftersom verkliga produkter nästan alltid är differentierade på något annat sätt än priset (till exempel genom att betala för mycket för en etikett). Företag har gränser för sin förmåga att producera och distribuera. Det är därför två företag sällan har samma kostnader.
Bertrands resultat är paradox alt eftersom om antalet företag ökar från ett till två, sjunker priset från monopol till konkurrenskraftigt och förblir på samma nivå som antalet företag som ökar därefter. Detta är inte särskilt realistiskt, för i verkligheten tenderar marknader med få företag med marknadsinflytande att ta ut priser över marginalkostnaden. Empirisk analys visar att de flesta branscher med två konkurrenter genererar positiva vinster.
I den moderna världen försöker forskare hitta lösningar på paradoxen som är mer förenliga med Cournots konkurrensmodell. Där två företag på en marknad gör positiva vinster som ligger någonstans mellan perfekt konkurrens- och monopolnivå.
Några anledningar till varför Bertrands paradox inte är direkt relaterad till ekonomi:
- Kapacitetsgränser. Ibland har företagen inte tillräcklig kapacitet för att möta all efterfrågan. Denna punkt togs först upp av Francis Edgeworth och gav upphov till Bertrand-Edgeworth-modellen.
- heltalspriser. Priser över MC är exkluderade eftersom ett företag kan underskrida ett annat slumpmässigt.en liten mängd. Om priserna är diskreta (till exempel måste de ha heltalsvärden), måste ett företag underskrida det andra med minst en rubel. Detta innebär att värdet på den småvalutan ligger över MC. Om ett annat företag sätter priset för det högre kan ett annat företag sänka det och fånga hela marknaden, Bertrands paradox består just i detta. Det kommer inte att ge henne någon vinst. Det här företaget föredrar att dela försäljningen 50/50 med ett annat företag och få en rent positiv intäkt.
- Produktdifferentiering. Om produkterna från olika företag skiljer sig från varandra kanske konsumenterna inte helt byter till produkter med ett lägre pris.
- Dynamisk tävling. Upprepad interaktion eller upprepad priskonkurrens kan leda till en värdejämvikt.
- Fler artiklar för ett högre belopp. Detta följer av upprepad interaktion. Om ett företag sätter sitt pris lite högre kommer det fortfarande att få ungefär samma antal köp, men mer vinst per vara. Därför kommer det andra företaget att öka sin markering etc. (Endast i repriser, annars går dynamiken åt andra hållet).
Oligopol
Om två företag kan komma överens om ett pris ligger det i deras långsiktiga intresse att hålla avtalet: värdeminskningsintäkterna är mindre än dubbelt så stora som intäkterna från att följa avtalet och varar bara tills det andra företaget klipper sin egna priser.
Teorisannolikheter (som resten av matematiken) är faktiskt en ny uppfinning. Och utvecklingen har inte gått smidigt. De första försöken att formalisera sannolikhetskalkylen gjordes av markisen de Laplace, som föreslog att begreppet skulle definieras som förhållandet mellan antalet händelser som leder till ett resultat.
Detta är naturligtvis bara vettigt om antalet av alla möjliga händelser är begränsat. Och dessutom är alla händelser lika sannolika.
De här koncepten verkade alltså inte ha någon solid grund vid den tiden. Försök att utvidga definitionen till fallet med ett oändligt antal händelser har lett till ännu större svårigheter. Bertrands paradox är en sådan upptäckt som har gjort matematiker försiktiga med hela begreppet sannolikhet.
