Geometri är en gren av matematiken som studerar strukturer i rymden och förhållandet mellan dem. I sin tur består den också av sektioner, och en av dem är stereometri. Den ger möjlighet att studera egenskaperna hos volymetriska figurer i rymden: en kub, en pyramid, en boll, en kon, en cylinder, etc.
En kon är en kropp i det euklidiska rymden som avgränsar en konisk yta och ett plan på vilket ändarna av dess generatorer ligger. Dess bildande sker under rotationsprocessen av en rätvinklig triangel runt någon av dess ben, därför tillhör den revolutionskropparna.
Konkomponenter
Följande typer av kottar särskiljs: sned (eller sned) och rak. Oblique är den vars axel skär med mitten av dess bas, inte i rät vinkel. Av denna anledning sammanfaller inte höjden i en sådan kon med axeln, eftersom det är ett segment som sänks från toppen av kroppen till dess planbas i 90°.
Den konen, vars axel är vinkelrät mot basen, kallas en rak kon. Axeln och höjden i en sådan geometrisk kropp sammanfaller på grund av att spetsen i den är belägen ovanför mitten av basens diameter.
Konen består av följande element:
- Cirkeln som är dess bas.
- Side.
- En punkt som inte ligger i basens plan, kallad toppen av konen.
- Segment som förbinder cirkelpunkterna för den geometriska kroppens bas och dess topp.
Alla dessa segment är generatriser för konen. De lutar mot basen av den geometriska kroppen, och i fallet med en höger kon är deras projektioner lika, eftersom vertexet är lika långt från punkterna i bascirkeln. Således kan vi dra slutsatsen att i en vanlig (rak) kon är generatorerna lika, det vill säga de har samma längd och bildar samma vinklar med axeln (eller höjden) och basen.
Eftersom vertexen i en sned (eller lutande) rotationskropp är förskjuten i förhållande till mitten av basplanet, har generatorerna i en sådan kropp olika längder och projektioner, eftersom var och en av dem är på olika avstånd från två valfria punkter i bascirkeln. Dessutom kommer vinklarna mellan dem och konens höjd att vara olika.
Längden på generatorerna i en höger kon
Som skrivits tidigare är höjden i en rak geometrisk rotationskropp vinkelrät mot basens plan. Sålunda skapar basens generatris, höjd och radie en rätvinklig triangel i konen.
Det vill säga att känna till basens radie och höjden, med hjälp av formeln från Pythagoras sats, kan du beräkna längden på generatrisen, som blir lika med summan av kvadraterna på basradien och höjd:
l2 =r2+ h2 eller l=√r 2 + h2
där l är en generatris;
r – radie;
h – höjd.
Generativ i en sned kon
Baserat på att generatorerna i en sned eller sned kon inte är lika långa kommer det inte att vara möjligt att beräkna dem utan ytterligare konstruktioner och beräkningar.
Först och främst måste du veta höjden, längden på axeln och basens radie.
Med dessa data kan du beräkna den del av radien som ligger mellan axeln och höjden, med hjälp av formeln från Pythagoras sats:
r1=√k2 - h2
där r1 är delen av radien mellan axeln och höjden;
k – axellängd;
h – höjd.
Som ett resultat av att lägga till radien (r) och dess del som ligger mellan axeln och höjden (r1), kan du ta reda på hela sidan av höger triangel bildad av konens generatris, dess höjd- och diameterdel:
R=r + r1
där R är benet på triangeln som bildas av höjden, generatrisen och en del av basens diameter;
r – basradie;
r1 – en del av radien mellan axeln och höjden.
Med samma formel från Pythagoras sats kan du hitta längden på konens generatris:
l=√h2+ R2
eller, utan att beräkna R separat, kombinera de två formlerna till en:
l=√h2 + (r + r1)2.
Trots om det är en rak eller sned kon och vilken typ av indata, kommer alla metoder för att hitta längden på generatrisen alltid ner till ett resultat - användningen av Pythagoras sats.
konsektion
Axiell sektion av en kon är ett plan som passerar längs dess axel eller höjd. I en höger kon är en sådan sektion en likbent triangel, där triangelns höjd är kroppens höjd, dess sidor är generatorerna och basen är basens diameter. I en liksidig geometrisk kropp är den axiella sektionen en liksidig triangel, eftersom diametern på basen och generatorerna i denna kon är lika.
Plan för den axiella sektionen i en rak kon är planet för dess symmetri. Anledningen till detta är att dess topp är ovanför mitten av dess bas, det vill säga planet för den axiella sektionen delar könen i två identiska delar.
Eftersom höjden och axeln inte stämmer överens i en lutande solid, kanske planet för den axiella sektionen inte inkluderar höjden. Om det är möjligt att konstruera en uppsättning axiella sektioner i en sådan kon, eftersom endast ett villkor måste iakttas för detta - det måste bara passera genom axeln, då endast en axiell sektion av planet, som kommer att tillhöra höjden av denna kon, kan dras, eftersom antalet villkor ökar, och som bekant två linjer (tillsammans) kan tillhörabara ett plan.
Sektionsområde
Den axiella sektionen av konen som nämndes tidigare är en triangel. Baserat på detta kan dess area beräknas med formeln för arean av en triangel:
S=1/2dh eller S=1/22rh
där S är tvärsnittsarean;
d – basdiameter;
r – radie;
h – höjd.
I en sned, eller sned kon, är sektionen längs axeln också en triangel, så tvärsnittsarean i den beräknas på liknande sätt.
Volym
Eftersom en kon är en tredimensionell figur i ett tredimensionellt utrymme kan vi beräkna dess volym. Volymen av en kon är ett tal som kännetecknar denna kropp i en volymenhet, det vill säga i m3. Beräkningen beror inte på om den är rak eller snett (sned), eftersom formlerna för dessa två typer av kroppar inte skiljer sig åt.
Som nämnts tidigare sker bildandet av en höger kon på grund av att en rätvinklig triangel roterar längs ett av dess ben. En lutande eller sned kon bildas annorlunda, eftersom dess höjd flyttas bort från mitten av kroppens basplan. Sådana skillnader i struktur påverkar dock inte metoden för att beräkna dess volym.
Volymberäkning
Formeln för volymen av en kon ser ut så här:
V=1/3πhr2
där V är konens volym;
h – höjd;
r – radie;
π - konstant lika med 3, 14.
För att beräkna volymen på en kon behöver du ha data om höjden och radien på kroppens bas.
För att beräkna höjden på en kropp måste du känna till basens radie och längden på dess generatris. Eftersom radien, höjden och generatrisen kombineras till en rätvinklig triangel kan höjden beräknas med formeln från Pythagoras sats (a2+ b2=c 2 eller i vårt fall h2+ r2=l2 , där l - generatris). I detta fall kommer höjden att beräknas genom att extrahera kvadratroten av skillnaden mellan kvadraterna på hypotenusan och det andra benet:
a=√c2- b2
Det vill säga, höjden på könen kommer att vara lika med värdet som erhålls efter att ha extraherat kvadratroten från skillnaden mellan kvadraten på generatrisens längd och kvadraten på basens radie:
h=√l2 - r2
Genom att beräkna höjden med den här metoden och känna till radien på dess bas, kan du beräkna konens volym. I det här fallet spelar generatrisen en viktig roll, eftersom den fungerar som ett hjälpelement i beräkningarna.
På liknande sätt, om du känner till kroppens höjd och längden på dess generatris, kan du hitta radien för dess bas genom att extrahera kvadratroten av skillnaden mellan generatrisens kvadrat och höjdens kvadrat:
r=√l2 - h2
Använd sedan samma formel som ovan och beräkna konens volym.
Lutad konvolym
Eftersom formeln för en kons volym är densamma för alla typer av en rotationskropp, är skillnaden i dess beräkning sökningen efter höjd.
För att ta reda på höjden på en lutande kon måste indata inkludera generatrisens längd, basens radie och avståndet mellan mittenbas och skärningen av kroppens höjd med planet för dess bas. Genom att veta detta kan du enkelt beräkna den del av basens diameter, som kommer att vara basen för en rätvinklig triangel (bildad av höjden, generatrisen och basens plan). Beräkna sedan, återigen med Pythagoras sats, höjden på konen och därefter dess volym.
