Cirkel är huvudfiguren i geometri, vars egenskaper beaktas i skolan i 8:an. Ett av de typiska problemen förknippade med en cirkel är att hitta arean för någon del av den, som kallas en cirkulär sektor. Artikeln tillhandahåller formler för arean av en sektor och längden på dess båge, samt ett exempel på hur de används för att lösa ett specifikt problem.
Begreppet en cirkel och en cirkel
Innan vi ger formeln för arean av en sektor av en cirkel, låt oss överväga vad den angivna siffran är. Enligt den matematiska definitionen förstås en cirkel som en sådan figur på ett plan, vars alla punkter är lika långt från någon punkt (centrum).
När man överväger en cirkel, används följande terminologi:
- Radius - ett segment som ritas från mittpunkten till cirkelns kurva. Det betecknas vanligtvis med bokstaven R.
- Diameter är ett segment som förbinder två punkter i cirkeln, men som också passerar genom figurens mitt. Det betecknas vanligtvis med bokstaven D.
- Bågen är en del av en krökt cirkel. Den mäts antingen i längdenheter eller med hjälp av vinklar.
Cirkel är en annan viktig geometrifigur, det är en samling punkter som begränsas av en krökt cirkel.
Cirkelområde och omkrets
Värdena som anges i rubriken på objektet beräknas med två enkla formler. De är listade nedan:
- Omkrets: L=2piR.
- Area of a circle: S=piR2.
I dessa formler är pi en konstant som kallas Pi. Det är irrationellt, det vill säga det kan inte uttryckas exakt som en enkel bråkdel. Pi är ungefär 3,1416.
Som du kan se av uttrycken ovan räcker det för att beräkna arean och längden att bara känna till cirkelns radie.
Arean av cirkelsektorn och längden på dess båge
Innan vi överväger motsvarande formler, minns vi att vinkeln i geometri vanligtvis uttrycks på två huvudsakliga sätt:
- i sexagesimala grader, och en hel rotation runt dess axel är 360o;
- i radianer, uttryckt som bråkdelar av pi och relaterat till grader med följande ekvation: 2pi=360o.
Sektorn av en cirkel är en figur som begränsas av tre linjer: en cirkelbåge och två radier placerade i ändarna av denna båge. Ett exempel på en cirkulär sektor visas på bilden nedan.
Att få en uppfattning om vad en sektor för en cirkel är, det är enkeltförstå hur man beräknar dess area och längden på motsvarande båge. Det kan ses av figuren ovan att sektorns båge motsvarar vinkeln θ. Vi vet att en hel cirkel motsvarar 2pi radianer, så formeln för arean av en cirkulär sektor kommer att ha formen: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Här uttrycks vinkeln θ i radianer. En liknande formel för sektorarean, om vinkeln θ mäts i grader, kommer att se ut så här: S1=piθR2 /360.
Längden på den båge som bildar en sektor beräknas med formeln: L1=θ2piR/(2pi)=θR. Och om θ är känt i grader, då: L1=piθR/180.
Exempel på problemlösning
Låt oss använda exemplet på ett enkelt problem för att visa hur man använder formlerna för arean av en sektor av en cirkel och längden på dess båge.
Det är känt att hjulet har 12 ekrar. När hjulet gör ett helt varv täcker det en sträcka på 1,5 meter. Vad är området inneslutet mellan två intilliggande ekrar på hjulet, och hur lång är bågen mellan dem?
Som du kan se från motsvarande formler, för att kunna använda dem, måste du känna till två storheter: cirkelns radie och bågens vinkel. Radien kan beräknas från att känna till hjulets omkrets, eftersom avståndet som det tillryggalagt i ett varv motsvarar exakt det. Vi har: 2Rpi=1,5, varav: R=1,5/(2pi)=0,2387 meter. Vinkeln mellan de närmaste ekrarna kan bestämmas genom att känna till deras antal. Om vi antar att alla 12 ekrar delar cirkeln jämnt i lika sektorer får vi 12 identiska sektorer. Följaktligen är vinkelmåttet för bågen mellan de två ekrarna: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radian.
Vi har hittat alla nödvändiga värden, nu kan de ersättas med formlerna och beräkna de värden som krävs av problemets tillstånd. Vi får: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, eller 149 cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m eller 12,5 cm.
