Ett viktigt geometriskt föremål som studeras i platt rymd är en rak linje. I det tredimensionella rummet finns förutom den raka linjen också ett plan. Båda objekten definieras bekvämt med hjälp av riktningsvektorer. Vad är det, hur används dessa vektorer för att bestämma ekvationerna för en rät linje och ett plan? Dessa och andra frågor behandlas i artikeln.
Direktlinje och hur man definierar den
Varje elev har en bra uppfattning om vilket geometriskt objekt de pratar om. Ur matematikens synvinkel är en rät linje en uppsättning punkter, som i fallet med deras godtyckliga parvisa koppling leder till en uppsättning parallella vektorer. Denna definition av en linje används för att skriva en ekvation för den i både två och tre dimensioner.
För att beskriva det betraktade endimensionella objektet används olika typer av ekvationer, vilka är listade i listan nedan:
- allmän syn;
- parametrisk;
- vektor;
- kanonisk eller symmetrisk;
- i segment.
Var och en av dessa arter har vissa fördelar framför de andra. Till exempel är en ekvation i segment bekväm att använda när man studerar beteendet hos en rät linje i förhållande till koordinataxlarna, en generell ekvation är praktisk när man hittar en riktning vinkelrät mot en given rät linje, såväl som när man beräknar vinkeln för dess skärning med x-axeln (för ett platt fall).
Eftersom ämnet för den här artikeln är relaterat till riktningsvektorn för en rät linje, kommer vi vidare endast överväga ekvationen där denna vektor är fundamental och explicit innehåller, det vill säga ett vektoruttryck.
Specifiera en rak linje genom en vektor
Anta att vi har någon vektor v¯ med kända koordinater (a; b; c). Eftersom det finns tre koordinater ges vektorn i rymden. Hur avbildar man det i ett rektangulärt koordinatsystem? Detta görs mycket enkelt: på var och en av de tre axlarna plottas ett segment, vars längd är lika med motsvarande koordinat för vektorn. Skärningspunkten för de tre perpendikulära återställda till xy-, yz- och xz-planen kommer att vara slutet på vektorn. Dess början är punkten (0; 0; 0).
Icke desto mindre är den givna positionen för vektorn inte den enda. På liknande sätt kan man rita v¯ genom att placera dess ursprung på en godtycklig punkt i rymden. Dessa argument säger att det är omöjligt att sätta en specifik linje med hjälp av en vektor. Den definierar en familj med ett oändligt antal parallella linjer.
Nufixa någon punkt P(x0; y0; z0) av mellanslag. Och vi sätter villkoret: en rak linje måste passera genom P. I detta fall måste vektorn v¯ också innehålla denna punkt. Det sista faktumet betyder att en enda rad kan definieras med P och v¯. Det kommer att skrivas som följande ekvation:
Q=P + λ × v¯
Här är Q vilken punkt som helst som hör till linjen. Denna punkt kan erhållas genom att välja lämplig parameter λ. Den skrivna ekvationen kallas vektorekvationen och v¯ kallas riktningsvektorn för den räta linjen. Genom att ordna den så att den passerar genom P och ändra dess längd med parametern λ får vi varje punkt i Q som en rät linje.
I koordinatform kommer ekvationen att skrivas enligt följande:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Och i explicit (parametrisk) form kan du skriva:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Om vi utesluter den tredje koordinaten i uttrycken ovan, får vi vektorekvationerna för den räta linjen på planet.
För vilka uppgifter är det användbart att känna till riktningsvektorn?
Som regel är dessa uppgifter för att bestämma linjers parallellitet och vinkelräthet. Den direkta vektorn som bestämmer riktningen används också vid beräkning av avståndet mellan räta linjer och en punkt och en rät linje, för att beskriva beteendet hos en rät linje i förhållande till ett plan.
Tvålinjer kommer att vara parallella om deras riktningsvektorer är. Följaktligen bevisas linjernas vinkelräta med hjälp av vinkelrätheten hos deras vektorer. I dessa typer av problem räcker det med att beräkna skalärprodukten av de betraktade vektorerna för att få svaret.
I fallet med uppgifter för beräkning av avstånden mellan linjer och punkter, ingår riktningsvektorn uttryckligen i motsvarande formel. Låt oss skriva ner det:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Here P1P2¯ - byggd på punkterna P1 och P 2 riktat segment. Punkten P2 är godtycklig, ligger på linjen med vektorn v¯, medan punkten P1 är den till vilken avståndet ska vara beslutsam. Den kan antingen vara oberoende eller tillhöra en annan linje eller ett annat plan.
Observera att det är vettigt att bara beräkna avståndet mellan linjer när de är parallella eller skär varandra. Om de skär varandra är d noll.
Ovanstående formel för d är också giltig för att beräkna avståndet mellan ett plan och en rät linje parallell med det, endast i detta fall bör P1 tillhöra planet.
Låt oss lösa flera problem för att bättre visa hur man använder den övervägda vektorn.
Vektorekvationsproblem
Det är känt att en rät linje beskrivs med följande ekvation:
y=3 × x - 4
Du bör skriva det lämpliga uttrycket ivektorform.
Detta är en typisk ekvation av en rät linje, känd för varje skolbarn, skriven i allmän form. Låt oss visa hur man skriver om det i vektorform.
Uttrycket kan representeras som:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Det kan ses att om du öppnar den får du den ursprungliga jämlikheten. Nu delar vi upp dess högra sida i två vektorer så att bara en av dem innehåller x, vi har:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Det återstår att ta ut x från parentes, beteckna det med en grekisk symbol och byta vektorerna på höger sida:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Vi fick vektorformen för det ursprungliga uttrycket. Riktningsvektorkoordinaterna för den räta linjen är (1; 3).
Uppgiften att bestämma den relativa positionen för linjer
Två rader anges i mellanslag:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Är de parallella, korsar eller skär varandra?
Vektorer som inte är noll (-1; 3; 1) och (1; 2; 0) kommer att vara guider för dessa linjer. Låt oss uttrycka dessa ekvationer i parametrisk form och ersätta koordinaterna för den första med den andra. Vi får:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ- 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Ersätt den hittade parametern λ i de två ekvationerna ovan, vi får:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parameter γ kan inte ta två olika värden samtidigt. Det betyder att linjerna inte har en enda gemensam punkt, det vill säga att de skär varandra. De är inte parallella, eftersom vektorer som inte är noll inte är parallella med varandra (för deras parallellitet måste det finnas ett tal som, genom att multiplicera med en vektor, skulle leda till koordinaterna för den andra).
Matematisk beskrivning av planet
För att sätta ett plan i rymden ger vi en generell ekvation:
A × x + B × y + C × z + D=0
Här representerar latinska versaler specifika siffror. De första tre av dem definierar koordinaterna för planets normalvektor. Om det betecknas med n¯, då:
n¯=(A; B; C)
Denna vektor är vinkelrät mot planet, så den kallas en guide. Dess kunskap, såväl som de kända koordinaterna för varje punkt som hör till planet, bestämmer unikt den senare.
Om punkten P(x1; y1; z1) tillhör planet, då beräknas skärningen D enligt följande:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Låt oss lösa ett par problem med hjälp av den allmänna ekvationen för planet.
Uppgift förhitta normalvektorn för planet
Planet definieras enligt följande:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Hur hittar man en riktningsvektor för henne?
Av teorin ovan följer att koordinaterna för normalvektorn n¯ är koefficienterna framför variablerna. I detta avseende, för att hitta n¯, bör ekvationen skrivas i allmän form. Vi har:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Då är normalvektorn för planet:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Problemet med att rita upp ekvationen för planet
Koordinaterna för tre punkter anges:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Hur kommer ekvationen för planet som innehåller alla dessa punkter att se ut.
Genom tre punkter som inte hör till samma linje kan bara ett plan ritas. För att hitta dess ekvation beräknar vi först riktningsvektorn för planet n¯. För att göra detta går vi tillväga enligt följande: vi hittar godtyckliga två vektorer som hör till planet och beräknar deras vektorprodukt. Det kommer att ge en vektor som kommer att vara vinkelrät mot detta plan, det vill säga n¯. Vi har:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Ta punkten M1för att ritaplana uttryck. Vi får:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Vi har erhållit ett allmänt typuttryck för ett plan i rymden genom att först definiera en riktningsvektor för det.
Tvärproduktegenskapen bör komma ihåg när du löser problem med plan, eftersom den låter dig bestämma koordinaterna för en normalvektor på ett enkelt sätt.
