Förmodligen är begreppet derivat bekant för var och en av oss sedan skolan. Vanligtvis har eleverna svårt att förstå denna, utan tvekan, mycket viktiga sak. Det används aktivt inom olika områden av människors liv, och många tekniska utvecklingar baserades just på matematiska beräkningar som erhållits med hjälp av derivatan. Men innan vi går vidare till analysen av vad derivator av tal är, hur man beräknar dem och var de är användbara för oss, låt oss kasta oss in i historien.
Historia
Begreppet derivatan, som ligger till grund för matematisk analys, upptäcktes (det vore bättre att säga "uppfunnit", eftersom det inte fanns i naturen som sådant) av Isaac Newton, som vi alla känner till från upptäckten av lagen om universell gravitation. Det var han som först tillämpade detta koncept i fysiken för att koppla samman kropparnas hastighet och acceleration. Och många forskare berömmer fortfarande Newton för denna magnifika uppfinning, eftersom han faktiskt uppfann grunden för differential- och integralkalkyl, i själva verket grunden för ett helt område av matematik som kallas "kalkyl". Om vid den tiden Nobelpriset skulle Newton ha fått det med stor sannolikhet flera gånger.
Inte utan andra stora sinnen. Förutom Newtonsådana eminenta matematiska genier som Leonhard Euler, Louis Lagrange och Gottfried Leibniz arbetade med utvecklingen av derivatan och integralen. Det är tack vare dem som vi har fått teorin om differentialkalkyl i den form som den existerar än i dag. Det var förresten Leibniz som upptäckte den geometriska betydelsen av derivatan, som inte visade sig vara något annat än tangenten på tangentens lutning till funktionens graf.
Vad är derivator av tal? Låt oss upprepa lite vad vi gick igenom i skolan.
Vad är ett derivat?
Detta koncept kan definieras på flera olika sätt. Den enklaste förklaringen är att derivatan är funktionens förändringshastighet. Föreställ dig en graf över någon funktion y av x. Om den inte är rak, så har den några kurvor i grafen, perioder av ökning och minskning. Om vi tar ett oändligt litet intervall av denna graf kommer det att vara ett rakt linjesegment. Så förhållandet mellan storleken på detta oändligt lilla segment längs y-koordinaten och storleken längs x-koordinaten kommer att vara derivatan av denna funktion vid en given punkt. Om vi betraktar funktionen som en helhet, och inte vid en specifik punkt, så får vi en derivativ funktion, det vill säga ett visst beroende av y på x.
Dessutom, förutom den fysiska betydelsen av derivatan som förändringshastigheten för en funktion, finns det också en geometrisk betydelse. Vi ska prata om honom nu.
Geometrisk känsla
Derivaterna av siffror i sig representerar ett visst tal som, utan korrekt förståelse, inte bäringen idé. Det visar sig att derivatan inte bara visar tillväxten eller minskningen av funktionen, utan också tangenten för tangentens lutning till funktionens graf vid en given punkt. Inte en särskilt tydlig definition. Låt oss analysera det mer i detalj. Låt oss säga att vi har en graf över en funktion (för intresset, låt oss ta en kurva). Den har ett oändligt antal poäng, men det finns områden där bara en enda punkt har ett maximum eller minimum. Genom en sådan punkt är det möjligt att dra en linje som skulle vara vinkelrät mot grafen för funktionen vid den punkten. En sådan linje kommer att kallas en tangent. Låt oss säga att vi tillbringade det till skärningspunkten med OX-axeln. Så vinkeln som erhålls mellan tangenten och OX-axeln kommer att bestämmas av derivatan. Närmare bestämt kommer tangenten för denna vinkel att vara lika med den.
Låt oss prata lite om specialfall och analysera derivator av tal.
Specialfall
Som vi redan har sagt, derivator av tal är värdena för derivatan vid en viss punkt. Låt oss till exempel ta funktionen y=x2. Derivatan x är ett tal, och i det allmänna fallet en funktion lika med 2x. Om vi behöver beräkna derivatan, säg, vid punkten x0=1, så får vi y'(1)=21=2. Allt är väldigt enkelt. Ett intressant fall är derivatan av ett komplext tal. Vi kommer inte att gå in på en detaljerad förklaring av vad ett komplext tal är. Låt oss bara säga att detta är ett tal som innehåller den så kallade imaginära enheten – ett tal vars kvadrat är -1. Beräkningen av ett sådant derivat är endast möjlig om följandevillkor:
1) Det måste finnas första ordningens partiella derivator av de reella och imaginära delarna med avseende på Y och X.
2) Cauchy-Riemann-villkoren förknippade med likheten mellan partiella derivat som beskrivs i första stycket är uppfyllda.
Ett annat intressant fall, även om det inte är lika komplicerat som det föregående, är derivatan av ett negativt tal. Faktum är att vilket negativt tal som helst kan representeras som ett positivt tal multiplicerat med -1. Tja, derivatan av konstanten och funktionen är lika med konstanten multiplicerad med funktionens derivata.
Det ska bli intressant att lära sig om derivatans roll i vardagen, och det är detta vi kommer att diskutera nu.
Application
Förmodligen får var och en av oss åtminstone en gång i sitt liv tänka på att matematik sannolikt inte kommer att vara användbart för honom. Och en så komplicerad sak som en derivata har förmodligen ingen tillämpning alls. Faktum är att matematik är en grundläggande vetenskap, och alla dess frukter utvecklas huvudsakligen av fysik, kemi, astronomi och till och med ekonomi. Derivatan var början på matematisk analys, som gav oss förmågan att dra slutsatser från graferna för funktioner, och vi lärde oss att tolka naturlagarna och vända dem till vår fördel tack vare det.
Slutsats
Naturligtvis behöver inte alla en derivata i verkliga livet. Men matematiken utvecklar logik, vilket säkert kommer att behövas. Det är inte för inte som matematiken kallas vetenskapernas drottning: den utgör grunden för att förstå andra kunskapsområden.
