Matematik är i grunden en abstrakt vetenskap, om vi går bort från elementära begrepp. Så på ett par äpplen kan du visuellt skildra de grundläggande operationerna som ligger till grund för matematiken, men så snart aktivitetsplanet expanderar blir dessa föremål otillräckliga. Har någon försökt avbilda operationer på oändliga uppsättningar på äpplen? Det är grejen, nej. Ju mer komplexa begreppen som matematiken arbetar med i sina bedömningar blev, desto mer problematiska verkade deras visuella uttryck, som skulle vara utformat för att underlätta förståelsen. Men till glädje för både moderna studenter och vetenskap i allmänhet härleddes Euler-cirklar, exempel och möjligheter som vi kommer att överväga nedan.
Lite historia
Den 17 april 1707 gav världen vetenskapen Leonhard Euler, en märklig vetenskapsman vars bidrag till matematik, fysik, skeppsbyggnad och till och med musikteori inte kan överskattas.
Hans verk är erkända och efterfrågade över hela världen än i dag, trots att vetenskapen inte står stilla. Av särskilt intresse är det faktum att Mr. Euler tog en direkt del i bildandet av den ryska skolan för högre matematik, särskilt eftersom han genom ödets vilja återvände till vår stat två gånger. Forskaren hade en unik förmåga att bygga algoritmer som var transparenta i sin logik, skära bort allt överflödigt och flytta från det allmänna till det särskilda på kortast möjliga tid. Vi kommer inte att lista alla hans förtjänster, eftersom det kommer att ta avsevärd tid, och vi kommer att vända oss direkt till ämnet för artikeln. Det var han som föreslog att man skulle använda en grafisk representation av operationer på uppsättningar. Euler-cirklar kan visualisera lösningen av vilket som helst, även det mest komplexa problem.
Vad är poängen?
I praktiken kan Euler-cirklar, vars schema visas nedan, användas inte bara i matematik, eftersom begreppet "mängd" inte bara är inneboende i denna disciplin. Så de tillämpas framgångsrikt i förv altningen.
Diagrammet ovan visar relationerna mellan mängderna A (irrationella tal), B (rationella tal) och C (naturliga tal). Cirklarna visar att mängd C ingår i mängd B, medan mängd A inte korsar dem på något sätt. Exemplet är det enklaste, men det förklarar tydligt detaljerna i "mängdsförhållanden", som är för abstrakta för verklig jämförelse, om så bara på grund av deras oändlighet.
Logikens algebra
Detta områdematematisk logik arbetar med påståenden som kan vara både sanna och falska. Till exempel från det elementära: talet 625 är delbart med 25, talet 625 är delbart med 5, talet 625 är primtal. Det första och andra påståendet är sant, medan det sista är falskt. Naturligtvis är allt mer komplicerat i praktiken, men essensen visas tydligt. Och självklart är Euler-cirklar återigen involverade i lösningen, exempel med deras användning är för bekväma och visuella för att ignoreras.
Lite teori:
- Låt uppsättningarna A och B existera och är inte tomma, då definieras följande operationer med skärning, förening och negation för dem.
- Skärningen av mängderna A och B består av element som samtidigt tillhör både mängd A och mängd B.
- Föreningen av mängderna A och B består av element som hör till mängden A eller mängden B.
- Negationen av mängd A är en mängd som består av element som inte hör till mängd A.
Allt detta skildras igen av Euler-cirklar i logik, eftersom varje uppgift, oavsett graden av komplexitet, med deras hjälp blir uppenbar och visuell.
Axiom för logikens algebra
Anta att 1 och 0 finns och är definierade i set A, då:
- negation av negationen av mängd A är satt A;
- förening av mängd A med not_A är 1;
- förening av mängd A med 1 är 1;
- förening av mängd A med sig själv är satt A;
- union av set Amed 0 finns en uppsättning A;
- skärningspunkten mellan mängd A och not_A är 0;
- skärningspunkten mellan mängd A och sig själv är satt A;
- skärningspunkten mellan mängd A och 0 är 0;
- skärningspunkten mellan mängd A och 1 är satt A.
Grundläggande egenskaper för logikens algebra
Låt set A och B existera och inte är tomma, då:
- för skärningen och föreningen av mängderna A och B gäller den kommutativa lagen;
- kombinationslagen gäller för skärningen och föreningen av mängderna A och B;
- distributiv lag gäller för korsningen och föreningen av uppsättningarna A och B;
- negationen av skärningspunkten mellan mängderna A och B är skärningspunkten mellan negationerna av mängderna A och B;
- negationen av föreningen av mängderna A och B är föreningen av negationerna av mängderna A och B.
Följande visar Euler-cirklar, exempel på skärning och förening av mängderna A, B och C.
Prospects
Leonhard Eulers verk anses med rätta vara grunden för modern matematik, men nu används de framgångsrikt inom områden av mänsklig aktivitet som har dykt upp relativt nyligen, ta företagsstyrning till exempel: Eulers cirklar, exempel och grafer beskriver mekanismerna för utvecklingsmodeller, vare sig det är rysk eller engelsk-amerikansk version.
