Området för en stympad kon. Exempel på formel och problem

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 05:42

Revolutionsfigurerna i geometri ges särskild uppmärksamhet när man studerar deras egenskaper och egenskaper. En av dem är en stympad kon. Den här artikeln syftar till att svara på frågan om vilken formel som kan användas för att beräkna arean av en stympad kon.

Vilken figur pratar vi om?

Innan arean av en stympad kon beskrivs är det nödvändigt att ge en exakt geometrisk definition av denna figur. Trunkerad är en sådan kon, som erhålls som ett resultat av att skära av spetsen på en vanlig kon med ett plan. I denna definition bör ett antal nyanser betonas. Först måste sektionsplanet vara parallellt med planet för konens bas. För det andra måste den ursprungliga figuren vara en cirkulär kon. Naturligtvis kan det vara en elliptisk, hyperbolisk och annan typ av figur, men i den här artikeln kommer vi att begränsa oss till att endast överväga en cirkulär kon. Det senare visas i figuren nedan.

Det är lätt att gissa att det inte bara kan erhållas med hjälp av en sektion vid ett plan, utan också med hjälp av en rotationsoperation. FörFör att göra detta måste du ta en trapets som har två räta vinklar och rotera den runt sidan som gränsar till dessa räta vinklar. Som ett resultat kommer trapetsens baser att bli radierna för baserna för den stympade konen, och den lutande laterala sidan av trapetsen kommer att beskriva den koniska ytan.

Formutveckling

Med tanke på ytan på en stympad kon är det användbart att ta med dess utveckling, det vill säga bilden av ytan på en tredimensionell figur på ett plan. Nedan visas en skanning av den studerade figuren med godtyckliga parametrar.

Det kan ses att arean av figuren bildas av tre komponenter: två cirklar och ett stympat cirkulärt segment. För att bestämma det erforderliga området är det självklart nödvändigt att lägga ihop områdena för alla namngivna figurer. Låt oss lösa det här problemet i nästa stycke.

Trunkerat konområde

För att göra det lättare att förstå följande resonemang introducerar vi följande notation:

• r1, r2 - radier för de stora respektive små baserna;
• h - figurhöjd;
• g - konens generatris (längden på den sneda sidan av trapetsen).

Arean av baserna på en stympad kon är lätt att beräkna. Låt oss skriva motsvarande uttryck:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

Arean för en del av ett cirkulärt segment är något svårare att bestämma. Om vi föreställer oss att mitten av denna cirkulära sektor inte är utskuren, kommer dess radie att vara lika med värdet G. Det är inte svårt att beräkna det om vi betraktar motsvarandeliknande rätvinkliga kontrianglar. Det är lika med:

G=r₁g/(r₁-r₂).

Då blir arean av hela den cirkulära sektorn, som är byggd på radien G och som förlitar sig på en båge med längden 2pir₁, lika stor till:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

Låt oss nu bestämma arean för den lilla cirkulära sektorn S₂, som kommer att behöva subtraheras från S₁. Det är lika med:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

Arean på den koniska stympade ytan S_bär lika med skillnaden mellan S₁ och S ₂. Vi får:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

Trots en del krångliga beräkningar fick vi ett ganska enkelt uttryck för arean av figurens sidoyta.

Om vi lägger till områdena för baserna och S_b, kommer vi fram till formeln för arean av en stympad kon:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

För att beräkna värdet på S för den studerade figuren måste du alltså känna till dess tre linjära parametrar.

Exempelproblem

Cirkulär rak konmed en radie på 10 cm och en höjd av 15 cm skars av av ett plan så att en vanlig stympad kon erhölls. Att veta att avståndet mellan baserna på den stympade figuren är 10 cm, är det nödvändigt att hitta dess yta.

För att använda formeln för arean av en stympad kon måste du hitta tre av dess parametrar. En vi känner:

r₁=10 cm.

De andra två är lätta att beräkna om vi betraktar liknande rätvinkliga trianglar, som erhålls som ett resultat av konens axiella sektion. Med hänsyn till problemets tillstånd får vi:

r₂=105/15=3,33 cm.

Slutligen kommer guiden för den stympade konen g att vara:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12,02 cm.

Nu kan du ersätta värdena r₁, r₂ och g i formeln för S:

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851,93 cm} 2.

Den önskade ytan på figuren är cirka 852 cm².