Polynom, eller polynom - en av de grundläggande algebraiska strukturerna, som finns i skolan och högre matematik. Studiet av ett polynom är det viktigaste ämnet i en algebrakurs, eftersom polynom å ena sidan är ganska enkla jämfört med andra typer av funktioner, och å andra sidan används de i stor utsträckning för att lösa problem med matematisk analys. Så vad är ett polynom?
Definition
Definitionen av termen polynom kan ges genom begreppet monomial eller monomial.
En monomial är ett uttryck för formen cx1i1x2 i2 …x in. Här är с en konstant, x1, x2, … x - variabler, i1, i2, … i - exponenter för variabler. Då är ett polynom vilken ändlig summa av monomer som helst.
För att förstå vad ett polynom är kan du titta på specifika exempel.
Kvadratisk trinomium, som diskuteras i detalj i 8:e årskursen i matematik, är ett polynom: ax2+bx+c.
Ett polynom med två variabler kan se ut så här: x2-xy+y2. Sådanett polynom kallas också en ofullständig kvadrat på skillnaden mellan x och y.
Polynomiska klassificeringar
polynomisk grad
För varje monom i polynomet, hitta summan av exponenterna i1+i2+…+in. Den största av summorna kallas exponenten för polynomet, och den monom som motsvarar denna summa kallas den högsta termen.
Förresten, vilken konstant som helst kan betraktas som ett polynom med grad noll.
Reducerade och icke-reducerade polynom
Om koefficienten c är lika med 1 för den högsta termen, är polynomet givet, annars är det inte det.
Till exempel är uttrycket x2+2x+1 ett reducerat polynom, och 2x2+2x+1 reduceras inte.
homogena och inhomogena polynom
Om graderna för alla medlemmar av ett polynom är lika, så säger vi att ett sådant polynom är homogent. Alla andra polynom anses vara icke-homogena.
homogena polynom: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogen: x+1, x2+y.
Det finns speciella namn för ett polynom med två och tre termer: binomial respektive trinomial.
Polynom i en variabel allokeras i en separat kategori.
Tillämpning av ett polynom av en variabel
Polynom för en variabel approximerar väl kontinuerliga funktioner av varierande komplexitet från ett argument.
Faktum är att sådana polynom kan betraktas som partiella summor av en potensserie, och en kontinuerlig funktion kan representeras som en serie med ett godtyckligt litet fel. Expansionsserierna för en funktion kallas Taylor-serier och derasdelsummor i form av polynom - Taylorpolynom.
Att studera en funktions beteende grafiskt genom att approximera den med något polynom är ofta lättare än att undersöka samma funktion direkt eller använda en serie.
Det är lätt att leta efter derivator av polynom. För att hitta rötterna till polynom av grad 4 och lägre finns färdiga formler, och för att arbeta med högre grader används ungefärliga algoritmer med hög precision.
Det finns också en generalisering av de beskrivna polynomen för funktioner av flera variabler.
Newtons binomial
Kända polynom är Newtons polynom, härledda av forskare för att hitta koefficienterna för uttrycket (x + y).
Det räcker att titta på de första potenserna av binomialupplösningen för att säkerställa att formeln är icke-trivial:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
För varje koefficient finns ett uttryck som låter dig beräkna den. Men att memorera besvärliga formler och utföra de nödvändiga aritmetiska operationerna varje gång skulle vara extremt obekvämt för de matematiker som ofta behöver sådana expansioner. Pascals triangel gjorde livet mycket lättare för dem.
Figuren är byggd enligt följande princip. 1 skrivs överst i triangeln, och i varje nästa rad blir det ytterligare en siffra, 1 sätts vid kanterna och mitten av raden fylls med summan av två intilliggande tal från den föregående.
När du tittar på illustrationen blir allt tydligt.
Självklart är användningen av polynom i matematik inte begränsad till de givna exemplen, de mest kända.
