Fourier-serien är en representation av en godtyckligt tagen funktion med en specifik period som en serie. I allmänna termer kallas denna lösning för nedbrytning av ett element på ortogonal basis. Expansionen av funktioner i en Fourier-serie är ett ganska kraftfullt verktyg för att lösa olika problem på grund av egenskaperna hos denna transformation vid integrering, differentiering, samt förskjutning av ett uttryck i ett argument och f altning.
En person som inte är bekant med högre matematik, liksom med den franska vetenskapsmannen Fouriers verk, kommer troligen inte att förstå vad dessa "rader" är och vad de är till för. Under tiden har denna förvandling blivit ganska tät i våra liv. Det används inte bara av matematiker, utan också av fysiker, kemister, läkare, astronomer, seismologer, oceanografer och många andra. Låt oss ta en närmare titt på den store franske vetenskapsmannens verk, som gjorde en upptäckt före sin tid.
Man and the Fourier Transform
Fourier-serier är en av metoderna (tillsammans med analys och andra) för Fourier-transformen. Denna process inträffar varje gång en person hör ett ljud. Vårt öra omvandlar automatiskt ljudetvågor. De oscillerande rörelserna av elementarpartiklar i ett elastiskt medium sönderdelas i rader (längs spektrumet) av successiva värden på volymnivån för toner av olika höjder. Därefter förvandlar hjärnan dessa data till ljud som är bekanta för oss. Allt detta sker utöver vår önskan eller medvetenhet, av sig själv, men för att förstå dessa processer kommer det att ta flera år att studera högre matematik.
Mer om Fourier-transformen
Fourier-transformation kan utföras med analytiska, numeriska och andra metoder. Fourierserier hänvisar till det numeriska sättet att bryta ned alla oscillerande processer - från havsvatten och ljusvågor till cykler av solaktivitet (och andra astronomiska objekt). Med hjälp av dessa matematiska tekniker är det möjligt att analysera funktioner som representerar alla oscillerande processer som en serie sinusformade komponenter som går från minimum till maximum och vice versa. Fouriertransformen är en funktion som beskriver fasen och amplituden för sinusoider som motsvarar en specifik frekvens. Denna process kan användas för att lösa mycket komplexa ekvationer som beskriver dynamiska processer som sker under inverkan av termisk, ljus eller elektrisk energi. Fourier-serierna gör det också möjligt att isolera de konstanta komponenterna i komplexa oscillerande signaler, vilket gjorde det möjligt att korrekt tolka de erhållna experimentella observationerna inom medicin, kemi och astronomi.
Historisk bakgrund
Grundaren av denna teoriJean Baptiste Joseph Fourier är en fransk matematiker. Denna förvandling fick senare sitt namn efter honom. Inledningsvis använde forskaren sin metod för att studera och förklara mekanismerna för värmeledning - spridningen av värme i fasta ämnen. Fourier föreslog att den initiala oregelbundna fördelningen av en värmebölja kan sönderdelas i de enklaste sinusoiderna, som var och en kommer att ha sitt eget temperaturminimum och -maximum, såväl som sin egen fas. I detta fall kommer varje sådan komponent att mätas från minimum till maximum och vice versa. Den matematiska funktionen som beskriver kurvans övre och nedre toppar, såväl som fasen för var och en av övertonerna, kallas Fouriertransformen av temperaturfördelningsuttrycket. Författaren till teorin reducerade den generella fördelningsfunktionen, som är svår att beskriva matematiskt, till en mycket lätthanterlig serie av periodiska cosinus- och sinusfunktioner som summerar till den ursprungliga fördelningen.
Förvandlingsprincipen och samtida åsikter
Vetenskapsmannens samtida - de ledande matematikerna i början av artonhundratalet - accepterade inte denna teori. Den huvudsakliga invändningen var Fouriers påstående att en diskontinuerlig funktion som beskriver en rät linje eller en diskontinuerlig kurva kan representeras som en summa av sinusformade uttryck som är kontinuerliga. Som ett exempel, betrakta Heavisides "steg": dess värde är noll till vänster om gapet och ett till höger. Denna funktion beskriver den elektriska strömmens beroende av tidsvariabeln när kretsen är sluten. Samtida teorier vid den tiden hade aldrig stött på sådanaen situation där det diskontinuerliga uttrycket skulle beskrivas av en kombination av kontinuerliga, vanliga funktioner, såsom exponentiell, sinusformad, linjär eller kvadratisk.
Vad förvirrade franska matematiker i Fourierteorin?
När allt kommer omkring, om matematikern hade rätt i sina påståenden, och sedan summera den oändliga trigonometriska Fourier-serien, kan du få en exakt representation av steguttrycket även om det har många liknande steg. I början av artonhundratalet verkade ett sådant uttalande absurt. Men trots alla tvivel har många matematiker utökat omfattningen av studien av detta fenomen och tagit det utanför omfattningen av studier av värmeledningsförmåga. De flesta forskare fortsatte dock att plågas över frågan: "Kan summan av en sinusformad serie konvergera till det exakta värdet av en diskontinuerlig funktion?"
Convergence of Fourier-serier: exempel
Frågan om konvergens ställs närhelst det är nödvändigt att summera oändliga talserier. För att förstå detta fenomen, överväg ett klassiskt exempel. Kan du någonsin nå väggen om varje på varandra följande steg är hälften så stort som det föregående? Anta att du är två meter från målet, det första steget tar dig närmare halvvägs, nästa till trekvartsmärket, och efter det femte kommer du att täcka nästan 97 procent av vägen. Men oavsett hur många steg du tar kommer du inte att uppnå det avsedda målet i strikt matematisk mening. Med hjälp av numeriska beräkningar kan man bevisa att man i slutändan kan komma så nära man vill.litet specificerat avstånd. Detta bevis är likvärdigt med att visa att summavärdet av en halv, en fjärdedel, etc. tenderar mot ett.
Question of Convergence: The Second Coming, or Lord Kelvin's Appliance
Återkommande gånger togs denna fråga upp i slutet av artonhundratalet, när Fourier-serier försökte användas för att förutsäga intensiteten av ebb och flod. Vid den här tiden uppfann Lord Kelvin en enhet, som är en analog datorenhet som gjorde det möjligt för sjömän från militär- och handelsflottan att spåra detta naturfenomen. Denna mekanism bestämde uppsättningarna av faser och amplituder från en tabell över tidvattenhöjder och deras motsvarande tidsmoment, noggrant uppmätta i en given hamn under året. Varje parameter var en sinusformad komponent av tidvattenhöjdsuttrycket och var en av de vanliga komponenterna. Resultaten av mätningarna matades in i Lord Kelvins kalkylator, som syntetiserade en kurva som förutspådde höjden på vattnet som en funktion av tiden för nästa år. Mycket snart drogs liknande kurvor upp för alla världens hamnar.
Och om processen bryts av en diskontinuerlig funktion?
Vid den tiden verkade det uppenbart att en flodvågsprediktor med ett stort antal räknande element kunde beräkna ett stort antal faser och amplituder och därmed ge mer exakta förutsägelser. Ändå visade det sig att denna regelbundenhet inte observeras i de fall då tidvattenuttrycket, som följersyntetisera, innehöll ett skarpt hopp, det vill säga det var diskontinuerligt. I händelse av att data matas in i enheten från tabellen över tidmoment, beräknar den flera Fourier-koefficienter. Den ursprungliga funktionen återställs tack vare de sinusformade komponenterna (enligt de hittade koefficienterna). Avvikelsen mellan det ursprungliga och det återställda uttrycket kan mätas när som helst. Vid upprepade beräkningar och jämförelser kan man se att värdet på det största felet inte minskar. De är emellertid lokaliserade i det område som motsvarar diskontinuitetspunkten och tenderar till noll vid vilken annan punkt som helst. 1899 bekräftades detta resultat teoretiskt av Joshua Willard Gibbs från Yale University.
Konvergens av Fourierserier och utvecklingen av matematik i allmänhet
Fourier-analys är inte tillämplig på uttryck som innehåller ett oändligt antal skurar i ett visst intervall. I allmänhet konvergerar Fourier-serier, om den ursprungliga funktionen är resultatet av en verklig fysisk mätning, alltid. Frågor om konvergensen av denna process för specifika klasser av funktioner har lett till uppkomsten av nya sektioner i matematik, till exempel teorin om generaliserade funktioner. Det är förknippat med sådana namn som L. Schwartz, J. Mikusinsky och J. Temple. Inom ramen för denna teori skapades en tydlig och exakt teoretisk grund för sådana uttryck som Dirac-deltatfunktionen (den beskriver ett område av ett enda område koncentrerat i en oändligt liten omgivning av en punkt) och Heaviside " steg". Tack vare detta arbete blev Fourier-serien tillämplig pålösa ekvationer och problem som involverar intuitiva begrepp: punktladdning, punktmassa, magnetiska dipoler, samt en koncentrerad belastning på en stråle.
Fouriermetoden
Fourier-serien, i enlighet med interferensprinciperna, börjar med nedbrytningen av komplexa former till enklare. Till exempel förklaras en förändring i värmeflödet av dess passage genom olika hinder gjorda av oregelbundet format värmeisolerande material eller en förändring av jordens yta - en jordbävning, en förändring i en himlakropps omloppsbana - påverkan av planeter. Som regel löses liknande ekvationer som beskriver enkla klassiska system elementärt för varje enskild våg. Fourier visade att enkla lösningar också kan summeras för att ge lösningar på mer komplexa problem. På matematikens språk är Fourierserier en teknik för att representera ett uttryck som en summa av övertoner - cosinus och sinusoider. Därför är denna analys också känd som "harmonisk analys".
Fourier-serien - den idealiska tekniken före "datoråldern"
Före skapandet av datorteknik var Fouriertekniken det bästa vapnet i arsenalen av forskare när de arbetade med vår världs vågnatur. Fourierserien i en komplex form tillåter att lösa inte bara enkla problem som direkt kan appliceras på lagarna i Newtons mekanik, utan också fundamentala ekvationer. De flesta av upptäckterna av den newtonska vetenskapen under artonhundratalet möjliggjordes endast genom Fouriers teknik.
Fourier-serien idag
Med utvecklingen av Fourier-transformatorerhöjt till en helt ny nivå. Denna teknik är fast förankrad i nästan alla områden av vetenskap och teknik. Ett exempel är en digital ljud- och videosignal. Dess förverkligande blev möjligt endast tack vare teorin som utvecklades av en fransk matematiker i början av artonhundratalet. Sålunda gjorde Fourier-serien i en komplex form det möjligt att göra ett genombrott i studiet av yttre rymden. Dessutom påverkade det studiet av fysik för halvledarmaterial och plasma, mikrovågsakustik, oceanografi, radar, seismologi.
Trigonometrisk Fourier-serie
Inom matematik är en Fourier-serie ett sätt att representera godtyckliga komplexa funktioner som en summa av enklare. I vanliga fall kan antalet sådana uttryck vara oändligt. Ju mer deras antal tas med i beräkningen, desto mer exakt är det slutliga resultatet. Oftast används de trigonometriska funktionerna för cosinus eller sinus som de enklaste. I det här fallet kallas Fourier-serien trigonometrisk, och lösningen av sådana uttryck kallas expansionen av övertonen. Denna metod spelar en viktig roll i matematik. Först och främst ger den trigonometriska serien ett medel för bilden, såväl som studien av funktioner, det är teorins huvudapparat. Dessutom tillåter det att lösa ett antal problem inom matematisk fysik. Slutligen bidrog denna teori till utvecklingen av matematisk analys, gav upphov till ett antal mycket viktiga delar av matematisk vetenskap (teorin om integraler, teorin om periodiska funktioner). Dessutom fungerade det som en utgångspunkt för utvecklingen av följande teorier: mängder, funktionerverklig variabel, funktionell analys, och lade också grunden för harmonisk analys.
