Fourier-transform är en transformation som jämför funktionerna hos någon reell variabel. Denna operation utförs varje gång vi uppfattar olika ljud. Örat utför en automatisk "beräkning", som vårt medvetande kan utföra först efter att ha studerat motsvarande avsnitt av högre matematik. Det mänskliga hörselorganet bygger en transformation, som ett resultat av vilken ljud (oscillerande rörelse av betingade partiklar i ett elastiskt medium som fortplantar sig i vågform i ett fast, flytande eller gasformigt medium) tillhandahålls i form av ett spektrum av successiva värden av volymnivån för toner med olika höjder. Efter det förvandlar hjärnan denna information till ett ljud som är bekant för alla.
Mathematical Fourier Transform
Transformation av ljudvågor eller andra oscillerande processer (från ljusstrålning och havsvatten till cykler av stjärn- eller solaktivitet) kan också utföras med matematiska metoder. Så med hjälp av dessa tekniker är det möjligt att sönderdela funktioner genom att representera oscillerande processer som en uppsättning sinusformade komponenter, det vill säga vågiga kurvor somgå från låg till hög, sedan tillbaka till låg, som en havsvåg. Fouriertransform - en transformation vars funktion beskriver fasen eller amplituden för varje sinusform som motsvarar en viss frekvens. Fasen är startpunkten för kurvan och amplituden är dess höjd.
Fouriertransformen (exempel visas på bilden) är ett mycket kraftfullt verktyg som används inom olika vetenskapsområden. I vissa fall används det som ett sätt att lösa ganska komplexa ekvationer som beskriver dynamiska processer som sker under påverkan av ljus, termisk eller elektrisk energi. I andra fall låter det dig bestämma de vanliga komponenterna i komplexa oscillerande signaler, tack vare vilka du kan korrekt tolka olika experimentella observationer inom kemi, medicin och astronomi.
Historisk bakgrund
Den första personen att tillämpa denna metod var den franske matematikern Jean Baptiste Fourier. Transformationen, senare uppkallad efter honom, användes ursprungligen för att beskriva mekanismen för värmeledning. Fourier ägnade hela sitt vuxna liv åt att studera värmens egenskaper. Han gjorde ett stort bidrag till den matematiska teorin om att bestämma rötterna till algebraiska ekvationer. Fourier var professor i analys vid Polytechnic School, sekreterare vid Institute of Egyptology, var i den kejserliga tjänsten, där han utmärkte sig under byggandet av vägen till Turin (under hans ledning, mer än 80 tusen kvadratkilometer malariaträsk). Men all denna kraftfulla aktivitet hindrade inte vetenskapsmannen från att göra matematisk analys. År 1802 härledde han en ekvation som beskriver utbredningen av värme i fasta ämnen. År 1807 upptäckte forskaren en metod för att lösa denna ekvation, som kallades "Fourier-transformen".
Termisk konduktivitetsanalys
Forskaren använde en matematisk metod för att beskriva mekanismen för värmeledning. Ett bekvämt exempel, där det inte finns några svårigheter med beräkningen, är utbredningen av termisk energi genom en järnring nedsänkt i en del i en eld. För att utföra experiment värmde Fourier en del av denna ring glödhet och grävde ner den i fin sand. Efter det gjorde han temperaturmätningar på motsatt sida av den. Inledningsvis är värmefördelningen oregelbunden: en del av ringen är kall och den andra är varm; en skarp temperaturgradient kan observeras mellan dessa zoner. Men i processen med värmeutbredning över hela ytan av metallen blir den mer enhetlig. Så snart tar denna process formen av en sinusoid. Till en början ökar grafen mjukt och minskar också jämnt, exakt enligt lagarna för förändring av cosinus- eller sinusfunktionen. Vågen planar gradvis ut och som ett resultat blir temperaturen densamma på hela ringens yta.
Författaren till den här metoden föreslog att den initiala oregelbundna fördelningen kan delas upp i ett antal elementära sinusoider. Var och en av dem kommer att ha sin egen fas (utgångsläge) och sin egen temperaturmaximal. Dessutom ändras varje sådan komponent från ett minimum till ett maximum och tillbaka på ett helt varv runt ringen ett helt antal gånger. En komponent med en period kallades den grundläggande övertonen, och ett värde med två eller flera perioder kallades den andra, och så vidare. Så den matematiska funktionen som beskriver temperaturmaximum, fas eller position kallas Fouriertransformen av fördelningsfunktionen. Forskaren reducerade en enskild komponent, som är svår att beskriva matematiskt, till ett lättanvänt verktyg - cosinus- och sinusserierna, som summeras för att ge den ursprungliga fördelningen.
Käran i analysen
Genom att tillämpa denna analys på omvandlingen av utbredningen av värme genom ett fast föremål som har en ringform, resonerade matematikern att en ökning av perioderna för den sinusformade komponenten skulle leda till dess snabba sönderfall. Detta syns tydligt i de grundläggande och andra övertonerna. I den senare når temperaturen de högsta och lägsta värdena två gånger i ett pass, och i det förra bara en gång. Det visar sig att avståndet som täcks av värme i den andra övertonen kommer att vara hälften av det i grundtonen. Dessutom kommer lutningen i den andra också att vara dubbelt så brant som i den första. Därför, eftersom det mer intensiva värmeflödet färdas en sträcka dubbelt så kort, kommer denna överton att avta fyra gånger snabbare än den fundamentala som en funktion av tiden. I framtiden kommer denna process att gå ännu snabbare. Matematikern trodde att den här metoden låter dig beräkna processen för den initiala temperaturfördelningen över tiden.
Utmaning till samtida
Fourier-transformalgoritmen utmanade de teoretiska grunderna för matematiken vid den tiden. I början av artonhundratalet accepterade inte de flesta framstående forskare, inklusive Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre och Biot, hans uttalande att den initiala temperaturfördelningen bryts ner i komponenter i form av en grundläggande överton och högre frekvenser. Vetenskapsakademin kunde dock inte ignorera de resultat som erhållits av matematikern och tilldelade honom ett pris för teorin om värmeledningslagarna, såväl som för att jämföra det med fysiska experiment. I Fouriers synsätt var huvudinvändningen det faktum att den diskontinuerliga funktionen representeras av summan av flera sinusformade funktioner som är kontinuerliga. De beskriver trots allt trasiga raka och böjda linjer. Forskarens samtida stötte aldrig på en liknande situation, när diskontinuerliga funktioner beskrevs av en kombination av kontinuerliga, såsom kvadratiska, linjära, sinusformade eller exponentiella. I händelse av att matematikern hade rätt i sina uttalanden, bör summan av en oändlig serie av en trigonometrisk funktion reduceras till en exakt stegvis. På den tiden verkade ett sådant uttalande absurt. Men trots tvivel har vissa forskare (t.ex. Claude Navier, Sophie Germain) utökat forskningens omfattning och tagit dem bortom analysen av fördelningen av termisk energi. Under tiden fortsatte matematiker att kämpa med frågan om summan av flera sinusformade funktioner kan reduceras till en exakt representation av en diskontinuerlig.
200 år gammalhistoria
Denna teori har utvecklats under två århundraden, idag har den äntligen bildats. Med dess hjälp delas rumsliga eller temporala funktioner in i sinusformade komponenter, som har sin egen frekvens, fas och amplitud. Denna transformation erhålls genom två olika matematiska metoder. Den första av dem används när den ursprungliga funktionen är kontinuerlig, och den andra - när den representeras av en uppsättning diskreta individuella förändringar. Om uttrycket erhålls från värden som definieras av diskreta intervall, kan det delas upp i flera sinusformade uttryck med diskreta frekvenser - från den lägsta och sedan två gånger, tre gånger och så vidare högre än den huvudsakliga. En sådan summa kallas Fourierserien. Om det initiala uttrycket ges ett värde för varje reellt tal, kan det delas upp i flera sinusformade av alla möjliga frekvenser. Det kallas vanligtvis Fourier-integralen, och lösningen innebär integr altransformationer av funktionen. Oavsett hur omvandlingen erhålls måste två siffror anges för varje frekvens: amplitud och frekvens. Dessa värden uttrycks som ett enda komplext tal. Teorin om uttryck av komplexa variabler, tillsammans med Fouriertransformen, gjorde det möjligt att utföra beräkningar i konstruktionen av olika elektriska kretsar, analys av mekaniska vibrationer, studiet av mekanismen för vågutbredning med mera.
Fourier Transform Today
Idag är studiet av denna process huvudsakligen reducerat till att finna effektivövergångsmetoder från en funktion till dess transformerade form och vice versa. Denna lösning kallas den direkta och inversa Fouriertransformen. Vad betyder det? För att bestämma integralen och producera en direkt Fouriertransform kan man använda matematiska metoder, eller analytiska. Trots att vissa svårigheter uppstår när de används i praktiken har de flesta integraler redan hittats och inkluderats i matematiska uppslagsböcker. Numeriska metoder kan användas för att beräkna uttryck vars form är baserad på experimentella data, eller funktioner vars integraler inte är tillgängliga i tabeller och är svåra att presentera i analytisk form.
Före tillkomsten av datorer var beräkningarna av sådana transformationer mycket tråkiga, de krävde manuell exekvering av ett stort antal aritmetiska operationer, vilket berodde på antalet punkter som beskrev vågfunktionen. För att underlätta beräkningar finns det idag speciella program som gjort det möjligt att implementera nya analysmetoder. Så 1965 skapade James Cooley och John Tukey programvara som blev känd som "Fast Fourier Transform". Det låter dig spara tid för beräkningar genom att minska antalet multiplikationer i analysen av kurvan. Den snabba Fouriertransformmetoden bygger på att dela upp kurvan i ett stort antal enhetliga provvärden. Följaktligen halveras antalet multiplikationer med samma minskning av antalet poäng.
Tillämpa Fourier-transformen
Dettaprocessen används inom olika vetenskapsområden: inom t alteori, fysik, signalbehandling, kombinatorik, sannolikhetsteori, kryptografi, statistik, oceanologi, optik, akustik, geometri och andra. De rika möjligheterna med dess tillämpning är baserade på ett antal användbara funktioner, som kallas "Fourier-transformegenskaper". Tänk på dem.
1. Funktionstransformationen är en linjär operator och, med lämplig normalisering, är den enhetlig. Denna egenskap är känd som Parsevals teorem, eller i allmänhet Plancherel-satsen, eller Pontryagins dualism.
2. Transformationen är reversibel. Dessutom har det omvända resultatet nästan samma form som i den direkta lösningen.
3. Sinusformade basuttryck är egna differentierade funktioner. Det betyder att en sådan representation ändrar linjära ekvationer med konstant koefficient till vanliga algebraiska.
4. Enligt "f altningssatsen" förvandlar denna process en komplex operation till en elementär multiplikation.
5. Den diskreta Fouriertransformen kan snabbt beräknas på en dator med den "snabba" metoden.
Varieties of the Fourier-transform
1. Oftast används denna term för att beteckna en kontinuerlig transformation som ger alla kvadratintegrerbara uttryck som en summa av komplexa exponentiella uttryck med specifika vinkelfrekvenser och amplituder. Denna art har flera olika former, vilket kanskiljer sig med konstanta koefficienter. Den kontinuerliga metoden inkluderar en omvandlingstabell, som finns i matematiska uppslagsböcker. Ett generaliserat fall är en fraktionerad transformation, med hjälp av vilken den givna processen kan höjas till den erforderliga verkliga kraften.
2. Det kontinuerliga läget är en generalisering av den tidiga tekniken för Fourier-serier definierade för olika periodiska funktioner eller uttryck som finns i ett begränsat område och representerar dem som serier av sinusoider.
3. Diskret Fouriertransform. Denna metod används inom datateknik för vetenskapliga beräkningar och för digital signalbehandling. För att utföra denna typ av beräkning krävs det att man har funktioner som definierar individuella punkter, periodiska eller avgränsade områden på en diskret mängd istället för kontinuerliga Fourier-integraler. Sign altransformationen i detta fall representeras som summan av sinusoider. Samtidigt gör användningen av den”snabba” metoden det möjligt att tillämpa diskreta lösningar på alla praktiska problem.
4. Fouriertransformen med fönster är en generaliserad form av den klassiska metoden. Till skillnad från standardlösningen, när signalspektrumet används, vilket tas i hela intervallet av existensen av en given variabel, är här endast den lokala frekvensfördelningen av särskilt intresse, förutsatt att den ursprungliga variabeln (tiden) bevaras.
5. Tvådimensionell Fouriertransform. Denna metod används för att arbeta med tvådimensionella datamatriser. I det här fallet utförs transformationen först i en riktning och sedan inannat.
Slutsats
Idag är Fouriermetoden fast förankrad i olika vetenskapsområden. Till exempel, 1962 upptäcktes DNA-dubbelhelixformen med hjälp av Fourier-analys kombinerad med röntgendiffraktion. De senare var fokuserade på kristaller av DNA-fibrer, som ett resultat av att bilden som erhölls genom diffraktion av strålning spelades in på film. Denna bild gav information om amplitudens värde vid användning av Fouriertransformen till en given kristallstruktur. Fasdata erhölls genom att jämföra diffraktionskartan för DNA med kartor erhållna från analys av liknande kemiska strukturer. Som ett resultat har biologer återställt kristallstrukturen - den ursprungliga funktionen.
Fourier-transformer spelar en stor roll i studiet av rymd-, halvledar- och plasmafysik, mikrovågsakustik, oceanografi, radar, seismologi och medicinska undersökningar.
