Sannolikhetsteori är en speciell gren inom matematiken, som endast studeras av studenter vid högre utbildningsinstitutioner. Älskar du beräkningar och formler? Är du inte rädd för möjligheterna att bekanta dig med normalfördelningen, ensemblens entropi, den matematiska förväntan och variansen hos en diskret slumpvariabel? Då kommer detta ämne att vara av stort intresse för dig. Låt oss bekanta oss med några av de viktigaste grundläggande begreppen i denna del av vetenskapen.
Kom ihåg grunderna
Även om du kommer ihåg de enklaste begreppen sannolikhetsteorin, försumma inte de första styckena i artikeln. Faktum är att utan en tydlig förståelse av grunderna kommer du inte att kunna arbeta med formlerna som diskuteras nedan.
Så, det finns någon slumpmässig händelse, något experiment. Som ett resultat av de åtgärder som utförs kan vi få flera utfall - några av dem är vanligare, andra mindre vanliga. Sannolikheten för en händelse är förhållandet mellan antalet faktiskt mottagna utfall av en typ och det totala antalet möjliga. Bara genom att känna till den klassiska definitionen av detta begrepp kan du börja studera den matematiska förväntan och variansen av kontinuerligslumpvariabler.
Aritmetiskt medelvärde
Även i skolan, på matematiklektionerna, började du arbeta med det aritmetiska medelvärdet. Detta koncept används ofta inom sannolikhetsteorin och kan därför inte ignoreras. Huvudsaken för oss för tillfället är att vi kommer att stöta på det i formlerna för den matematiska förväntan och variansen för en slumpvariabel.
Vi har en talföljd och vill hitta det aritmetiska medelvärdet. Allt som krävs av oss är att summera allt tillgängligt och dividera med antalet element i sekvensen. Låt oss ha siffror från 1 till 9. Summan av elementen blir 45, och vi delar detta värde med 9. Svar: - 5.
Dispersion
Vetenskapligt sett är varians medelkvadraten för avvikelserna för de erhållna egenskapsvärdena från det aritmetiska medelvärdet. Den ena betecknas med en latinsk stor bokstav D. Vad behövs för att beräkna den? För varje element i sekvensen beräknar vi skillnaden mellan det tillgängliga talet och det aritmetiska medelvärdet och kvadrerar det. Det kommer att finnas exakt så många värden som det kan bli resultat för det evenemang vi överväger. Därefter sammanfattar vi allt som tas emot och dividerar med antalet element i sekvensen. Om vi har fem möjliga utfall, dividera med fem.
Dispersion har också egenskaper som du måste komma ihåg för att kunna tillämpa den när du löser problem. Till exempel, om den slumpmässiga variabeln ökas med X gånger, ökar variansen med X gånger kvadraten (dvs XX). Det är aldrig mindre än noll och beror inte påskifta värden med lika värde uppåt eller nedåt. Dessutom, för oberoende försök är variansen av summan lika med summan av varianserna.
Nu måste vi definitivt överväga exempel på variansen för en diskret slumpvariabel och den matematiska förväntan.
Anta att vi körde 21 experiment och fick 7 olika resultat. Vi observerade var och en av dem 1, 2, 2, 3, 4, 4 respektive 5 gånger. Vad blir avvikelsen?
Först, låt oss beräkna det aritmetiska medelvärdet: summan av elementen är naturligtvis 21. Dividera den med 7 och få 3. Subtrahera nu 3 från varje tal i den ursprungliga sekvensen, kvadrera varje värde och addera resultaten tillsammans. Det visar sig 12. Nu återstår det för oss att dividera talet med antalet element, och det verkar vara allt. Men det finns en hake! Låt oss diskutera det.
Beroende av antalet experiment
Det visar sig att när man beräknar variansen kan nämnaren vara ett av två tal: antingen N eller N-1. Här är N antalet utförda experiment eller antalet element i sekvensen (vilket faktiskt är detsamma). Vad beror det på?
Om antalet tester mäts i hundra, måste vi sätta N i nämnaren. Om det är i enheter, då N-1. Forskarna bestämde sig för att rita gränsen helt symboliskt: idag går den längs siffran 30. Om vi genomförde färre än 30 experiment, kommer vi att dividera mängden med N-1, och om mer, då med N.
Uppgift
Låt oss gå tillbaka till vårt exempel på att lösa problemet med varians och förväntningar. Vifick ett mellantal av 12, som måste delas med N eller N-1. Eftersom vi genomförde 21 experiment, vilket är mindre än 30, kommer vi att välja det andra alternativet. Så svaret är: variansen är 12 / 2=2.
Förväntning
Låt oss gå vidare till det andra konceptet, som vi måste överväga i den här artikeln. Den matematiska förväntan är resultatet av att addera alla möjliga utfall multiplicerade med motsvarande sannolikheter. Det är viktigt att förstå att det resulterande värdet, såväl som resultatet av beräkningen av variansen, endast erhålls en gång för hela uppgiften, oavsett hur många utfall den beaktar.
Förväntningsformeln är ganska enkel: vi tar ett utfall, multiplicerar det med dess sannolikhet, adderar detsamma för det andra, tredje resultatet, etc. Allt relaterat till detta koncept är lätt att beräkna. Till exempel är summan av matematiska förväntningar lika med den matematiska förväntan av summan. Detsamma gäller för arbetet. Inte varje storhet i sannolikhetsteorin tillåter att sådana enkla operationer kan utföras. Låt oss ta en uppgift och beräkna värdet av två begrepp vi har studerat samtidigt. Dessutom distraherades vi av teori - det är dags att öva.
Ett annat exempel
Vi körde 50 försök och fick 10 typer av resultat - siffror från 0 till 9 - som visades i olika procentsatser. Dessa är respektive: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Kom ihåg att för att få sannolikheterna måste du dividera procentvärdena med 100. Således får vi 0,02; 0, 1 osv. Låt oss representera variansen av en slumpmässigvärde och matematisk förväntan exempel på att lösa problemet.
Beräkna det aritmetiska medelvärdet med formeln vi kommer ihåg från grundskolan: 50/10=5.
Låt oss nu översätta sannolikheterna till antalet utfall "i bitar" för att göra det lättare att räkna. Vi får 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 och 9. Subtrahera det aritmetiska medelvärdet från varje erhållet värde, varefter vi kvadrerar vart och ett av de erhållna resultaten. Se hur du gör detta med det första elementet som exempel: 1 - 5=(-4). Ytterligare: (-4)(-4)=16. För andra värden, gör dessa operationer själv. Om du gjorde allt rätt kommer du att få 90.
efter att ha lagt till alla mellanresultat
Fortsätt beräkna varians och medelvärde genom att dividera 90 med N. Varför väljer vi N och inte N-1? Det stämmer, eftersom antalet utförda experiment överstiger 30. Så: 90/10=9. Vi fick spridningen. Om du får ett annat nummer, misströsta inte. Troligtvis gjorde du ett ban alt fel i beräkningarna. Dubbelkolla vad du har skrivit, och allt kommer säkert att falla på plats.
Låt oss slutligen komma ihåg förväntningsformeln. Vi kommer inte att ge alla beräkningar, vi kommer bara att skriva svaret som du kan kontrollera efter att ha slutfört alla nödvändiga procedurer. Förväntningen kommer att vara lika med 5, 48. Vi kommer bara ihåg hur man utför operationer, med exemplet med de första elementen: 00, 02 + 10, 1… och så vidare. Som du kan se multiplicerar vi helt enkelt värdet av resultatet med dess sannolikhet.
Avvikelse
Ett annat begrepp som är nära relaterat till varians och förväntat värde ärstandardavvikelse. Det betecknas antingen med de latinska bokstäverna sd eller med den grekiska gemena "sigma". Detta koncept visar hur värden i genomsnitt avviker från den centrala egenskapen. För att hitta dess värde måste du beräkna kvadratroten av variansen.
Om du bygger en graf över en normalfördelning och vill se värdet av standardavvikelsen direkt på den, kan detta göras i flera steg. Ta hälften av bilden till vänster eller höger om läget (centr alt värde), rita en vinkelrät mot den horisontella axeln så att områdena på de resulterande figurerna är lika. Värdet på segmentet mellan mitten av fördelningen och den resulterande projektionen på den horisontella axeln kommer att vara standardavvikelsen.
Programvara
Som du kan se av beskrivningarna av formlerna och de presenterade exemplen är att beräkna variansen och den matematiska förväntan inte den lättaste proceduren ur aritmetisk synvinkel. För att inte slösa tid är det vettigt att använda programmet som används i högre utbildning - det kallas "R". Den har funktioner som låter dig beräkna värden för många begrepp från statistik och sannolikhetsteori.
Du definierar till exempel en vektor med värden. Detta görs enligt följande: vektor <-c(1, 5, 2…). Nu, när du behöver beräkna några värden för denna vektor, skriver du en funktion och ger den som ett argument. För att hitta variansen måste du använda var. Ett exempel på henneanvändning: var(vektor). Sedan trycker du bara på "enter" och får resultatet.
Avslutningsvis
Varians och matematisk förväntan är sannolikhetsteorins grundläggande begrepp, utan vilka det är svårt att beräkna någonting i framtiden. I huvudkursen av föreläsningar vid universitet övervägs de redan under de första månaderna av att studera ämnet. Det är just på grund av bristen på förståelse för dessa enkla begrepp och oförmågan att räkna ut dem som många elever omedelbart börjar halka efter i programmet och senare får dåliga betyg i slutet av passet, vilket berövar dem stipendier.
Öva minst en vecka i en halvtimme om dagen och lös problem liknande de som presenteras i den här artikeln. Sedan på alla sannolikhetsteoretiska test kommer du att klara av exempel utan främmande tips och fuskblad.
