Sann kunskap vid alla tidpunkter var baserad på att etablera ett mönster och bevisa dess sanning under vissa omständigheter. För en så lång period av existens av logiska resonemang gavs reglernas formuleringar, och Aristoteles sammanställde till och med en lista med "korrekta resonemang". Historiskt sett är det vanligt att dela in alla slutsatser i två typer - från konkret till plural (induktion) och vice versa (deduktion). Det bör noteras att typerna av bevis från särskilt till allmänt och från allmänt till särskilt existerar endast i relation och kan inte utbytas.
Induktion i matematik
Termen "induktion" (induktion) har latinska rötter och översätts bokstavligen som "vägledning". Vid närmare studier kan man urskilja ordets struktur, nämligen det latinska prefixet - in- (betecknar riktad handling inåt eller vara inuti) och -duktion - inledning. Det är värt att notera att det finns två typer - fullständig och ofullständig induktion. Den fullständiga formen kännetecknas av slutsatser från studier av alla ämnen i en viss klass.
Ofullständig - slutsatser,tillämpas på alla objekt i klassen, men baserat på studier av endast några enheter.
Fullständig matematisk induktion - en slutsats baserad på en allmän slutsats om hela klassen av alla objekt som är funktionellt relaterade genom relationer av den naturliga talserien baserat på kunskapen om denna funktionella koppling. I det här fallet sker bevisprocessen i tre steg:
- på den första bevisas riktigheten av påståendet om matematisk induktion. Exempel: f=1, detta är grunden för induktion;
- Nästa steg är baserat på antagandet att positionen är giltig för alla naturliga tal. Det vill säga f=h, detta är induktionshypotesen;
- i det tredje steget bevisas giltigheten av positionen för talet f=h+1, baserat på korrektheten av positionen i föregående stycke - detta är en induktionsövergång eller ett steg av matematisk induktion. Ett exempel är den så kallade "dominoprincipen": om det första benet i en rad faller (bas), så faller alla stenar i raden (övergång).
Skämt och seriöst
För att underlätta uppfattningen fördöms exempel på lösningar med metoden matematisk induktion som skämtproblem. Det här är den artiga köuppgiften:
Uppföranderegler förbjuder en man att ta en sväng framför en kvinna (i en sådan situation släpps hon fram). Baserat på detta uttalande, om den sista i kön är en man, så är alla andra män
Ett slående exempel på metoden för matematisk induktion är problemet "Dimensionslös flygning":
Det krävs för att bevisa det iminibussen passar hur många som helst. Det är sant att en person får plats i transporten utan svårighet (bas). Men oavsett hur full minibussen är, får det alltid plats en passagerare i den (induktionssteg)
bekanta cirklar
Exempel på att lösa problem och ekvationer med matematisk induktion är ganska vanliga. Som en illustration av detta tillvägagångssätt, överväg följande problem.
Skicka: det finns h cirklar på planet. Det krävs att bevisa att kartan som bildas av figurerna kan vara korrekt färgad med två färger för varje arrangemang av figurerna.
Beslut: för h=1 är sanningen i påståendet uppenbar, så beviset kommer att byggas för antalet cirklar h+1.
Låt oss anta att påståendet är sant för vilken karta som helst, och h+1-cirklar ges på planet. Genom att ta bort en av cirklarna från summan kan du få en karta korrekt färgad med två färger (svart och vit).
När du återställer en raderad cirkel ändras färgen på varje område till den motsatta (i det här fallet inuti cirkeln). Resultatet är en korrekt färgad karta med två färger, som krävdes för att bevisas.
Exempel med naturliga tal
Tillämpningen av metoden för matematisk induktion illustreras nedan.
Exempel på lösning:
Bevisa att jämställdheten för varje h kommer att vara korrekt:
12+22+32+…+h 2=h(h+1)(2h+1)/6.
Lösning:
1. Låt h=1, sedan:
R1=12=1(1+1)(2+1)/6=1
Det följer att för h=1 är påståendet korrekt.
2. Om man antar h=d är ekvationen:
R1=d2=d(d+1)(2d+1)/6=1
3. Om vi antar att h=d+1 visar sig:
Rd+1=(d+1) (d+2) (2d+3)/6
Rd+1=12+22+3 2+…+d2+(d+1)2=d(d+1)(2d+1))/6+ (d+1)2=(d(d+1)(2d+1)+6(d+1)2 )/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d2+7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)(2d+3)/6.
Således är giltigheten av likheten för h=d+1 bevisad, därför är påståendet sant för alla naturliga tal, vilket visas i exemplet med lösningen genom matematisk induktion.
Uppgift
Villkor: bevis krävs att för alla värden av h, uttrycket 7h-1 är delbart med 6 utan rest.
Lösning:
1. Låt oss säga h=1, i det här fallet:
R1=71-1=6 (dvs. delbart med 6 utan rest)
För h=1 är alltså påståendet sant;
2. Låt h=d och 7d-1 är delbart med 6 utan rest;
3. Beviset för påståendets giltighet för h=d+1 är formeln:
Rd+1=7d+1 -1=7∙7d-7+6=7(7d-1)+6
I detta fall är den första termen delbar med 6 enligt antagandet i första stycket, och den andratermen är 6. Påståendet att 7h-1 är delbart med 6 utan en rest för något naturligt h är sant.
Falsk dom
Ofta används felaktiga resonemang i bevis, på grund av felaktigheten i de logiska konstruktioner som används. I grund och botten händer detta när strukturen och logiken i beviset kränks. Ett exempel på felaktiga resonemang är följande illustration.
Uppgift
Skicka: bevis krävs för att en hög med stenar inte är en hög.
Lösning:
1. Låt oss säga att h=1, i det här fallet finns det 1 sten i högen och påståendet är sant (bas);
2. Låt det vara sant för h=d att en stenhög inte är en hög (antagande);
3. Låt h=d+1, av vilket det följer att när ytterligare en sten läggs till kommer mängden inte att vara en hög. Slutsatsen tyder på att antagandet är giltigt för alla naturliga h.
Felet ligger i att det inte finns någon definition av hur många stenar som bildar en hög. Ett sådant utelämnande kallas för hastig generalisering i metoden för matematisk induktion. Ett exempel visar detta tydligt.
Induktion och logikens lagar
Historiskt sett går exempel på induktion och deduktion alltid hand i hand. Sådana vetenskapliga discipliner som logik, filosofi beskriver dem som motsatser.
Från logikens synvinkel är induktiva definitioner baserade på fakta, och premissernas sanningsenlighet avgör inte riktigheten av det resulterande påståendet. Fås oftaslutsatser med en viss grad av sannolikhet och rimlighet, vilket naturligtvis måste verifieras och bekräftas av ytterligare forskning. Ett exempel på induktion i logik skulle vara påståendet:
Torka i Estland, torr i Lettland, torr i Litauen.
Estland, Lettland och Litauen är de b altiska staterna. Torka i alla b altiska stater.
Från exemplet kan vi dra slutsatsen att ny information eller sanning inte kan erhållas med induktionsmetoden. Allt du kan lita på är en möjlig sanningsenlighet i slutsatserna. Dessutom garanterar inte sanningen i premisserna samma slutsatser. Detta faktum betyder dock inte att induktion vegeterar i avdragets bakgård: ett stort antal bestämmelser och vetenskapliga lagar underbyggs med hjälp av induktionsmetoden. Matematik, biologi och andra vetenskaper kan tjäna som exempel. Detta beror till största delen på den fullständiga induktionsmetoden, men i vissa fall är delvis även tillämplig.
Den ärevördiga induktionsåldern gjorde det möjligt för den att tränga in i nästan alla områden av mänsklig aktivitet - det här är vetenskap, ekonomi och vardagliga slutsatser.
Induktion i den vetenskapliga miljön
Induktionsmetoden kräver en noggrann attityd, eftersom för mycket beror på antalet studerade detaljer i helheten: ju större antal som studeras, desto mer tillförlitligt blir resultatet. Baserat på denna funktion testas vetenskapliga lagar som erhållits genom induktion under lång tid på nivån av sannolikhetsantaganden för att isolera och studera alla möjligastrukturella element, kopplingar och influenser.
Inom vetenskapen är den induktiva slutsatsen baserad på betydande egenskaper, med undantag för slumpmässiga bestämmelser. Detta faktum är viktigt i samband med särdragen i vetenskaplig kunskap. Detta syns tydligt i exemplen på induktion i naturvetenskap.
Det finns två typer av induktion i den vetenskapliga världen (i samband med sättet att studera):
- induktionsval (eller urval);
- induktion - uteslutning (eliminering).
Den första typen kännetecknas av metodisk (granskande) sampling av en klass (underklasser) från dess olika områden.
Ett exempel på denna typ av induktion är följande: silver (eller silvers alter) renar vatten. Slutsatsen baseras på långtidsobservationer (ett slags urval av bekräftelser och motbevisningar – urval).
Den andra typen av induktion är baserad på slutsatser som fastställer orsakssamband och utesluter omständigheter som inte uppfyller dess egenskaper, nämligen universalitet, iakttagande av tidsföljden, nödvändighet och entydighet.
Induktion och deduktion ur filosofisk synvinkel
Om man tittar på den historiska tillbakablicken så nämndes termen "induktion" först av Sokrates. Aristoteles beskrev exempel på induktion i filosofin i en mer ungefärlig terminologisk ordbok, men frågan om ofullständig induktion förblir öppen. Efter förföljelsen av den aristoteliska syllogismen började den induktiva metoden att erkännas som fruktbar och den enda möjliga inom naturvetenskapen. Bacon anses vara induktionens fader som en oberoende specialmetod, men han misslyckades med att separera,som samtida krävde, induktion från den deduktiva metoden.
Vidareutveckling av induktion utfördes av J. Mill, som betraktade induktionsteorin utifrån fyra huvudmetoder: överensstämmelse, skillnad, residualer och motsvarande förändringar. Det är inte förvånande att idag de listade metoderna, när de granskas i detalj, är deduktiva.
Medvetenhet om misslyckandet med Bacon och Mills teorier fick forskare att undersöka den probabilistiska grunden för induktion. Men även här fanns det några ytterligheter: försök gjordes att reducera induktionen till sannolikhetsteorin med alla de följder som följde.
Induktion får ett förtroendevotum vid praktisk tillämpning inom vissa ämnesområden och på grund av den metriska noggrannheten hos den induktiva basen. Ett exempel på induktion och deduktion i filosofin kan betraktas som lagen om universell gravitation. Vid dagen för upptäckten av lagen kunde Newton verifiera den med en noggrannhet på 4 procent. Och när den testades efter mer än tvåhundra år, bekräftades riktigheten med en noggrannhet på 0,0001 procent, även om testet utfördes med samma induktiva generaliseringar.
Modern filosofi ägnar mer uppmärksamhet åt deduktion, som dikteras av en logisk önskan att härleda ny kunskap (eller sanning) från det som redan är känt, utan att tillgripa erfarenhet, intuition, utan att använda "rena" resonemang. När man hänvisar till de sanna premisserna i den deduktiva metoden, är resultatet i alla fall ett sant påstående.
Denna mycket viktiga egenskap bör inte överskugga värdet av den induktiva metoden. Sedan induktion, att förlita sig på erfarenhetens prestationer,blir också ett sätt att bearbeta det (inklusive generalisering och systematisering).
Tillämpning av induktion i ekonomi
Induktion och deduktion har länge använts som metoder för att studera ekonomin och förutsäga dess utveckling.
Användningsområdet för induktionsmetoden är ganska brett: studiet av uppfyllandet av prognosindikatorer (vinst, avskrivningar, etc.) och en allmän bedömning av företagets tillstånd; bildandet av en effektiv företagsfrämjande policy baserad på fakta och deras relationer.
Samma induktionsmetod används i Shewharts diagram, där det, under antagandet att processer är uppdelade i kontrollerade och ohanterade, anges att ramverket för den kontrollerade processen är inaktivt.
Det bör noteras att vetenskapliga lagar är motiverade och bekräftade med hjälp av induktionsmetoden, och eftersom ekonomi är en vetenskap som ofta använder matematisk analys, riskteori och statistiska data, är det inte förvånande att induktion ingår i lista över huvudmetoder.
Följande situation kan tjäna som exempel på induktion och deduktion i ekonomi. En ökning av priset på mat (från konsumentkorgen) och väsentliga varor får konsumenten att tänka på den framväxande höga kostnaden i staten (induktion). Samtidigt, från faktumet av höga kostnader, med hjälp av matematiska metoder, är det möjligt att härleda indikatorer på prisökningar för enskilda varor eller varukategorier (avdrag).
Oftast hänvisar ledningspersonal, chefer och ekonomer till introduktionsmetoden. För attdet var möjligt att med tillräcklig sanning förutsäga företagets utveckling, marknadens beteende, konsekvenserna av konkurrens, en induktiv-deduktiv metod för analys och bearbetning av information behövs.
Ett belysande exempel på induktion i ekonomi relaterat till felaktiga bedömningar:
-
företagets vinst minskade med 30 %;
konkurrent utökar produktsortimentet;
ingenting annat har förändrats;
- konkurrentens produktionspolicy orsakade en vinstminskning på 30 %;
- därav behovet av att genomföra samma produktionspolicy.
Exemplet är en färgstark illustration av hur den olämpliga användningen av induktionsmetoden bidrar till företagets ruin.
Deduktion och induktion i psykologi
Eftersom det finns en metod, så finns det logiskt sett också ett ordentligt organiserat tänkande (att använda metoden). Psykologi som en vetenskap som studerar mentala processer, deras bildning, utveckling, relationer, interaktioner, uppmärksammar "deduktivt" tänkande som en av formerna för manifestation av deduktion och induktion. Tyvärr, på psykologins sidor på Internet, finns det praktiskt taget ingen motivering för integriteten hos den deduktiv-induktiva metoden. Även om professionella psykologer är mer benägna att stöta på manifestationer av induktion, eller snarare felaktiga slutsatser.
Ett exempel på induktion i psykologi, som en illustration av felaktiga bedömningar, är påståendet: min mamma är en bedragare, därför är alla kvinnor bedragare. Du kan lära dig ännu fler "felaktiga" exempel på induktion från livet:
- en elev är inte kapabel till någonting om han fick en tvåa i matematik;
- han är en idiot;
- han är smart;
- Jag kan göra vad som helst;
- och många andra värdebedömningar baserade på helt slumpmässiga och ibland obetydliga meddelanden.
Det bör noteras: när felaktigheten i en persons bedömningar når punkten av absurd, finns det en arbetsfront för psykoterapeuten. Ett exempel på introduktion vid ett specialistbesök:
“Patienten är helt säker på att den röda färgen endast medför fara för honom i alla manifestationer. Som ett resultat har en person uteslutit detta färgschema från sitt liv - så långt som möjligt. I hemmiljön finns det många möjligheter till bekvämt boende. Du kan vägra alla röda föremål eller ersätta dem med analoger gjorda i ett annat färgschema. Men på offentliga platser, på jobbet, i butiken - det är omöjligt. När patienten hamnar i en stresssituation upplever patienten varje gång en "våg" av helt olika känslotillstånd, vilket kan vara farligt för andra."
Det här exemplet på induktion, och omedvetet, kallas "fasta idéer". Om detta händer en psykiskt frisk person kan vi tala om bristande organisering av mental aktivitet. Den elementära utvecklingen av deduktivt tänkande kan bli ett sätt att bli av med tvångstillstånd. I andra fall arbetar psykiatriker med sådana patienter.
Ovanstående exempel på induktion indikerar att”okunnighet om lagen inte gör detbefriar från konsekvenser (felaktiga bedömningar).”
Psykologer, som arbetar med ämnet deduktiva resonemang, har sammanställt en lista med rekommendationer utformade för att hjälpa människor att bemästra denna metod.
Det första objektet är problemlösning. Som framgår kan den form av induktion som används i matematik anses vara "klassisk", och användningen av denna metod bidrar till sinnets "disciplin".
Nästa villkor för utvecklingen av deduktivt tänkande är utvidgningen av horisonter (de som tänker klart, tydligt säger). Denna rekommendation riktar de "drabbade" till vetenskapens och informationens skattkammare (bibliotek, webbplatser, utbildningsinitiativ, resor, etc.).
Noggrannhet är nästa rekommendation. Det framgår ju tydligt av exempel på användning av induktionsmetoder att det i många avseenden är garantin för påståendenas sanning.
De förbigick inte sinnets flexibilitet, vilket antydde möjligheten att använda olika sätt och tillvägagångssätt för att lösa problemet, samt ta hänsyn till variationen i händelseutvecklingen.
Och, naturligtvis, observation, som är den huvudsakliga källan till empirisk erfarenhet.
Särskilt bör nämnas den så kallade "psykologiska induktionen". Denna term, även om den är sällan, kan hittas på Internet. Alla källor ger inte åtminstone en kort formulering av definitionen av denna term, utan hänvisar till "exempel från livet", samtidigt som de presenterar antingen förslag eller vissa former av psykisk sjukdom som en ny typ av induktion,Dessa är de extrema tillstånden i det mänskliga psyket. Av allt ovanstående framgår det tydligt att ett försök att härleda en "ny term" baserat på falska (ofta osanna) premisser dömer försöksledaren att få ett felaktigt (eller förhastat) uttalande.
Det bör noteras att hänvisningen till experimenten från 1960 (utan att specificera platsen, namnen på försöksledarna, urvalet av försökspersoner och, viktigast av allt, syftet med experimentet) ser milt uttryckt ut, föga övertygande, och påståendet att hjärnan uppfattar information som går förbi alla perceptionsorgan (frasen "är påverkad" i det här fallet skulle passa in mer organiskt), får en att tänka på godtrogenheten och okrititeten hos författaren till uttalandet.
Istället för en slutsats
Vetenskapernas drottning - matematik, använder medvetet alla möjliga reserver av metoden för induktion och deduktion. De övervägda exemplen tillåter oss att dra slutsatsen att den ytliga och odugliga (tanklösa, som de säger) tillämpningen av även de mest exakta och tillförlitliga metoderna alltid leder till felaktiga resultat.
I massmedvetandet förknippas deduktionsmetoden med den berömda Sherlock Holmes, som i sina logiska konstruktioner ofta använder exempel på induktion, använder deduktion i nödvändiga situationer.
Artikeln undersökte exempel på tillämpningen av dessa metoder inom olika vetenskaper och sfärer av mänskligt liv.
