I artikeln som du uppmärksammat ger vi exempel på matematiska modeller. Dessutom kommer vi att uppmärksamma stadierna för att skapa modeller och analysera några av uppgifterna i samband med matematisk modellering.
En till av våra frågor handlar om matematiska modeller i ekonomin, exempel, vars definition vi kommer att överväga lite senare. Vi föreslår att vi börjar vårt samtal med själva begreppet "modell", överväger kort deras klassificering och går vidare till våra huvudfrågor.
Begreppet "modell"
Vi hör ofta ordet "modell". Vad är det? Den här termen har många definitioner, här är bara tre av dem:
- ett specifikt objekt som är skapat för att ta emot och lagra information, som återspeglar vissa egenskaper eller egenskaper, och så vidare, hos originalet av detta objekt (detta specifika objekt kan uttryckas i olika former: mental, beskrivning med tecken, och så vidare);
- modell betyder också visning av någon specifik situation, liv ellerledning;
- modellen kan fungera som en reducerad kopia av vilket objekt som helst (de skapas för mer detaljerad studie och analys, eftersom modellen speglar strukturen och sambanden).
Baserat på allt som sagts tidigare kan vi dra en liten slutsats: modellen låter dig studera ett komplext system eller objekt i detalj.
Alla modeller kan klassificeras enligt ett antal kriterier:
- efter användningsområde (pedagogiskt, experimentellt, vetenskapligt och tekniskt, spel, simulering);
- efter dynamik (statisk och dynamisk);
- efter kunskapsgren (fysisk, kemisk, geografisk, historisk, sociologisk, ekonomisk, matematisk);
- genom presentation (material och information).
Informationsmodeller är i sin tur uppdelade i tecken och verbal. Och ikoniskt - på dator och icke-dator. Låt oss nu gå vidare till en detaljerad övervägande av exempel på en matematisk modell.
Matematisk modell
Som du kanske kan gissa, återspeglar en matematisk modell vissa egenskaper hos ett objekt eller fenomen med hjälp av speciella matematiska symboler. Matematik behövs för att modellera omvärldens mönster på sitt eget specifika språk.
Metoden för matematisk modellering uppstod för ganska länge sedan, för tusentals år sedan, tillsammans med tillkomsten av denna vetenskap. Men drivkraften för utvecklingen av denna modelleringsmetod gavs av uppkomsten av datorer (elektroniska datorer).
Låt oss nu gå vidare till klassificeringen. Det kan också utföras enligt vissa tecken. Dom ärpresenteras i tabellen nedan.
| Klassificering efter vetenskapsgren | Tillämpning av matematiska modeller inom fysik, sociologi, kemi och så vidare |
| Enligt den matematiska apparatur som används i modelleringsprocessen | Modeller baserade på differentialekvationer, diskreta algebraiska transformationer och liknande |
| Genom att modellera mål | I enlighet med denna princip finns det beskrivande, optimerings-, multikriterie-, spel- och simuleringsmodeller |
Vi föreslår att vi stannar upp och tittar närmare på den senaste klassificeringen, eftersom den återspeglar de allmänna mönstren för modellering och målen för de modeller som skapas.
Beskrivande modeller
I det här kapitlet föreslår vi att vi uppehåller oss mer i detalj vid beskrivande matematiska modeller. För att göra allt väldigt tydligt kommer ett exempel att ges.
Till att börja med kan denna uppfattning kallas beskrivande. Detta beror på att vi bara gör beräkningar och prognoser, men vi kan inte påverka utgången av evenemanget på något sätt.
Ett slående exempel på en beskrivande matematisk modell är beräkningen av flygbanan, hastigheten, avståndet från jorden för en komet som invaderade vårt solsystems vidsträckta vidd. Denna modell är beskrivande, eftersom alla erhållna resultat bara kan varna oss för någon form av fara. Påverka resultatet av evenemanget, tyvärr gör vi inte detBurk. Men baserat på de beräkningar som erhållits är det möjligt att vidta alla åtgärder för att rädda liv på jorden.
Optimeringsmodeller
Nu ska vi prata lite om ekonomiska och matematiska modeller, exempel på vilka kan vara olika situationer. I det här fallet talar vi om modeller som hjälper till att hitta rätt svar under vissa förhållanden. De måste ha några parametrar. För att göra det väldigt tydligt, överväg ett exempel från jordbruksdelen.
Vi har ett spannmålsmagasin, men spannmålen förstörs väldigt snabbt. I det här fallet måste vi välja rätt temperaturregim och optimera lagringsprocessen.
Därmed kan vi definiera begreppet "optimeringsmodell". I matematisk mening är detta ett ekvationssystem (både linjärt och inte), vars lösning hjälper till att hitta den optimala lösningen i en viss ekonomisk situation. Vi har övervägt ett exempel på en matematisk modell (optimering), men jag skulle vilja tillägga: denna typ tillhör klassen av extrema problem, de hjälper till att beskriva hur det ekonomiska systemet fungerar.
Observera ytterligare en nyans: modeller kan vara av olika karaktär (se tabellen nedan).
| deterministisk | I det här fallet beror resultatet på indata |
| stochastic | Beskrivning av slumpmässiga processer. I det här fallet förblir resultatet odefinierat |
Multicriteria models
Nu bjuder vi in dig att prata lite ommatematisk modell för multiobjektiv optimering. Innan dess gav vi ett exempel på en matematisk modell för att optimera en process enligt vilket kriterium som helst, men tänk om det finns många av dem?
Ett slående exempel på en multikriteriauppgift är att organisera rätt, hälsosam och samtidigt ekonomisk kost för stora grupper av människor. Sådana uppgifter finns ofta i armén, skolmatsalar, sommarläger, sjukhus och så vidare.
Vilka kriterier ges vi i det här problemet?
- Mat ska vara hälsosamt.
- Utgifter för mat bör hållas till ett minimum.
Som du kan se, sammanfaller dessa mål inte alls. Det betyder att när man löser ett problem är det nödvändigt att leta efter den optimala lösningen, en balans mellan två kriterier.
Spelmodeller
Apropå spelmodeller är det nödvändigt att förstå begreppet "spelteori". Enkelt uttryckt återspeglar dessa modeller matematiska modeller av verkliga konflikter. Tänk bara på att, till skillnad från en verklig konflikt, har spelets matematiska modell sina egna specifika regler.
Nu kommer det att finnas ett minimum av information från spelteorin som hjälper dig att förstå vad en spelmodell är. Och så, i modellen finns det nödvändigtvis partier (två eller fler), som vanligtvis kallas spelare.
Alla modeller har vissa egenskaper.
| Ämnen | Antal spelare |
| Strategi | Alternativ för möjliga åtgärder |
| Betalning | Konfliktens resultat (vinn eller förlora). |
Spelmodellen kan vara parad eller flera. Om vi har två ämnen, är konflikten parad, om fler - flera. Ett antagonistiskt spel kan också urskiljas, det kallas också ett nollsummespel. Detta är en modell där vinsten för en av deltagarna är lika med förlusten för den andra.
Simuleringsmodeller
I det här avsnittet kommer vi att uppmärksamma matematiska simuleringsmodeller. Exempel på uppgifter är:
- modell av dynamiken i antalet mikroorganismer;
- modell av molekylers rörelse och så vidare.
I det här fallet talar vi om modeller som ligger så nära verkliga processer som möjligt. I stort sett imiterar de vilken manifestation som helst i naturen. I det första fallet kan vi till exempel modellera dynamiken för antalet myror i en koloni. I det här fallet kan du observera varje individs öde. I det här fallet används den matematiska beskrivningen sällan, oftare finns det skrivna villkor:
- efter fem dagar lägger honan ägg;
- 20 dagar senare dör myran, och så vidare.
Således används simuleringsmodeller för att beskriva ett stort system. Matematisk slutsats är bearbetningen av mottagna statistiska data.
Requirements
Mycket viktigtvar medveten om att det finns vissa krav för denna typ av modell, bland annat de som anges i tabellen nedan.
| Mångsidighet | Den här egenskapen låter dig använda samma modell när du beskriver grupper av objekt av samma typ. Det är viktigt att notera att universella matematiska modeller är helt oberoende av den fysiska naturen hos föremålet som studeras |
| Adequacy | Det är viktigt att förstå här att den här egenskapen gör att du kan återge verkliga processer så exakt som möjligt. I driftsproblem är denna egenskap hos matematisk modellering mycket viktig. Ett exempel på en modell är processen att optimera användningen av ett gassystem. I det här fallet jämförs beräknade och faktiska indikatorer, som ett resultat kontrolleras korrektheten av den kompilerade modellen |
| Noggrannhet | Detta krav innebär sammanträffande av de värden som vi får när vi beräknar den matematiska modellen och ingångsparametrarna för vårt verkliga objekt |
| Economy | Kravet på kostnadseffektivitet för alla matematiska modeller kännetecknas av implementeringskostnader. Om arbetet med modellen utförs manuellt är det nödvändigt att beräkna hur mycket tid det tar att lösa ett problem med hjälp av denna matematiska modell. Om vi pratar om datorstödd design, så beräknas indikatorerna för tidskostnad och datorminne |
Stagesmodellering
Tot alt är det vanligt att särskilja fyra stadier i matematisk modellering.
- Formulera de lagar som länkar samman modellens delar.
- Forskning av matematiska problem.
- Förtydligande av sammanträffandet av praktiska och teoretiska resultat.
- Analys och modernisering av modellen.
Ekonomisk och matematisk modell
I det här avsnittet kommer vi kort att belysa frågan om ekonomiska och matematiska modeller. Exempel på uppgifter är:
- bildning av ett produktionsprogram för produktion av köttprodukter, vilket säkerställer maximal vinst av produktionen;
- maximera organisationens vinst genom att beräkna det optimala antalet bord och stolar som ska tillverkas i en möbelfabrik och så vidare.
Den ekonomisk-matematiska modellen visar en ekonomisk abstraktion, som uttrycks med matematiska termer och tecken.
Matematisk datormodell
Exempel på en matematisk datormodell är:
- problem med hydraulik med flödesscheman, diagram, tabeller och så vidare;
- problem med solid mekanik och så vidare.
Datormodell är en bild av ett objekt eller system som presenteras som:
- tabeller;
- flödesdiagram;
- diagram;
- grafik och så vidare.
Samtidigt återspeglar denna modell systemets struktur och sammankopplingar.
Bygga en ekonomisk-matematisk modell
Vi har redan pratat om vad ekonomisktmatematisk modell. Ett exempel på att lösa problemet kommer att övervägas just nu. Vi behöver analysera produktionsprogrammet för att identifiera reserven för ökad vinst med en förändring i sortimentet.
Vi kommer inte att helt överväga problemet, utan bara bygga en ekonomisk och matematisk modell. Kriteriet för vår uppgift är vinstmaximering. Då har funktionen formen: Л=р1х1+р2х2… tenderar till maxim alt. I denna modell är p vinsten per enhet, x är antalet producerade enheter. Vidare, baserat på den konstruerade modellen, är det nödvändigt att göra beräkningar och sammanfatta.
Ett exempel på att bygga en enkel matematisk modell
Uppgift. Fiskaren återvände med följande fångst:
- 8 fiskar - invånare i de norra haven;
- 20 % av fångsten - invånarna i de södra haven;
- inte en enda fisk hittades från den lokala floden.
Hur många fiskar köpte han i butiken?
Så, ett exempel på att konstruera en matematisk modell av detta problem är följande. Vi betecknar det totala antalet fiskar som x. Efter tillståndet är 0,2x antalet fiskar som lever på sydliga breddgrader. Nu kombinerar vi all tillgänglig information och får den matematiska modellen av problemet: x=0, 2x+8. Vi löser ekvationen och får svar på huvudfrågan: han köpte 10 fiskar i affären.
