Ofta i livet ställs vi inför behovet av att bedöma chanserna att en händelse inträffar. Om det är värt att köpa en lott eller inte, vilket kön blir det tredje barnet i familjen, om vädret blir klart imorgon eller det kommer att regna igen – det finns otaliga sådana exempel. I det enklaste fallet bör du dividera antalet gynnsamma utfall med det totala antalet händelser. Om det finns 10 vinnande lotter i lotteriet, och det är 50 tot alt, så är chansen att få ett pris 10/50=0,2, det vill säga 20 mot 100. Men tänk om det finns flera evenemang, och de är nära relaterad? I det här fallet kommer vi inte längre att vara intresserade av enkel, utan villkorlig sannolikhet. Vad detta värde är och hur det kan beräknas - detta kommer att diskuteras i vår artikel.
Koncept
Villkorlig sannolikhet är chansen att en viss händelse inträffar, givet att en annan relaterad händelse redan har inträffat. Betrakta ett enkelt exempel medkasta ett mynt. Om det inte har blivit oavgjort än så kommer chansen att få huvud eller svans vara densamma. Men om myntet fem gånger i rad låg med vapenskölden uppåt, gå med på att förvänta dig den 6:e, 7:e och ännu mer så skulle den 10:e upprepningen av ett sådant resultat vara ologiskt. Med varje upprepad rubrik ökar chansen att svansar dyker upp och förr eller senare kommer den att falla ut.
Formel för villkorad sannolikhet
Låt oss nu ta reda på hur detta värde beräknas. Låt oss beteckna den första händelsen som B och den andra som A. Om chanserna för att B inträffar skiljer sig från noll, kommer följande likhet att vara giltig:
P (A|B)=P (AB) / P (B), där:
- P (A|B) – villkorlig sannolikhet för utfall A;
- P (AB) - sannolikheten för att händelse A och B ska inträffa tillsammans;
- P (B) – sannolikhet för händelse B.
När vi omvandlar detta förhållande något får vi P (AB)=P (A|B)P (B). Och om vi tillämpar induktionsmetoden kan vi härleda produktformeln och använda den för ett godtyckligt antal händelser:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Öva
För att göra det lättare att förstå hur den villkorade sannolikheten för en händelse beräknas, låt oss titta på ett par exempel. Anta att det finns en vas som innehåller 8 choklad och 7 mynta. De är lika stora och slumpmässiga.två av dem dras ut i följd. Hur stor är chansen att båda blir choklad? Låt oss introducera notation. Låt resultatet A betyda att det första godiset är choklad, resultatet B är det andra chokladgodiset. Då får du följande:
P (A)=P (B)=8/15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Låt oss överväga ytterligare ett fall. Anta att det finns en familj med två barn och vi vet att minst ett barn är en flicka.
Vilken är den villkorade sannolikheten att dessa föräldrar inte har pojkar ännu? Som i föregående fall börjar vi med notation. Låt P(B) vara sannolikheten att det finns minst en flicka i familjen, P(A|B) är sannolikheten att det andra barnet också är en flicka, P(AB) är chansen att det finns två flickor i familjen. Låt oss nu göra beräkningarna. Tot alt kan det finnas 4 olika kombinationer av barns kön, och i det här fallet, bara i ett fall (när det finns två pojkar i familjen), kommer det inte att finnas någon flicka bland barnen. Därför är sannolikheten P (B)=3/4 och P (AB)=1/4. Sedan, efter vår formel, får vi:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Resultatet kan tolkas på följande sätt: om vi inte visste könet på ett av barnen, så skulle chansen för två flickor vara 25 mot 100. Men eftersom vi vet att ett barn är en flicka, sannolikheten att pojkfamiljen nej, ökar till en tredjedel.
