Det är osannolikt att många tänker på om det går att räkna ut händelser som är mer eller mindre slumpmässiga. Enkelt uttryckt, är det realistiskt att veta vilken sida av tärningen i tärningen som kommer att falla ut härnäst. Det var denna fråga som två stora vetenskapsmän ställde, som lade grunden till en sådan vetenskap som sannolikhetsteorin, där sannolikheten för en händelse studeras ganska utförligt.
Ursprung
Om du försöker definiera ett sådant begrepp som sannolikhetsteori får du följande: det här är en av matematikens grenar som studerar konstansen av slumpmässiga händelser. Naturligtvis avslöjar detta koncept inte riktigt hela essensen, så det är nödvändigt att överväga det mer detaljerat.
Jag skulle vilja börja med skaparna av teorin. Som nämnts ovan var det två av dem, dessa är Pierre Fermat och Blaise Pascal. Det var de som var bland de första som försökte beräkna utgången av en händelse med hjälp av formler och matematiska beräkningar. På det hela taget dök grunderna för denna vetenskap upp så tidigt somMedeltiden. Vid den tiden försökte olika tänkare och forskare analysera hasardspel, som roulette, craps och så vidare, och därigenom etablera ett mönster och en procentandel av ett visst antal som faller ut. Grunden lades på 1600-talet av de tidigare nämnda vetenskapsmännen.
Först kunde deras arbete inte tillskrivas de stora framgångarna på detta område, eftersom allt de gjorde helt enkelt var empiriska fakta, och experimenten sattes visuellt, utan användning av formler. Med tiden visade det sig uppnå fantastiska resultat, som dök upp som ett resultat av att observera tärningskastningen. Det var detta verktyg som hjälpte till att härleda de första begripliga formlerna.
Associates
Det är omöjligt att inte nämna en sådan person som Christian Huygens, i färd med att studera ett ämne som kallas "sannolikhetsteori" (sannolikheten för en händelse täcks just i denna vetenskap). Den här personen är väldigt intressant. Han, liksom forskarna som presenterades ovan, försökte härleda regelbundenhet hos slumpmässiga händelser i form av matematiska formler. Det är anmärkningsvärt att han inte gjorde detta tillsammans med Pascal och Fermat, det vill säga att alla hans verk inte på något sätt korsade dessa sinnen. Huygens härledde de grundläggande begreppen sannolikhetsteorin.
Ett intressant faktum är att hans verk kom ut långt före resultatet av pionjärernas arbete, eller snarare, tjugo år tidigare. Bland de utpekade begreppen är de mest kända:
- begreppet sannolikhet som en slumpens storlek;
- förväntning för diskretfall;
- satser om multiplikation och addition av sannolikheter.
Det är också omöjligt att inte komma ihåg Jacob Bernoulli, som också gjorde ett betydande bidrag till studien av problemet. Genom att utföra sina egna tester, oberoende av någon, lyckades han presentera ett bevis på lagen om stora siffror. I sin tur kunde forskarna Poisson och Laplace, som arbetade i början av artonhundratalet, bevisa de ursprungliga satserna. Det var från detta ögonblick som sannolikhetsteori började användas för att analysera fel under observationsförloppet. Ryska vetenskapsmän, eller snarare Markov, Chebyshev och Dyapunov, kunde inte heller kringgå denna vetenskap. Baserat på det arbete som utfördes av de stora genierna fixade de detta ämne som en gren av matematiken. Dessa figurer fungerade redan i slutet av artonhundratalet, och tack vare deras bidrag, fenomen som:
- lag om stora tal;
- Markov chain theory;
- central limit theorem.
Så, med historien om vetenskapens födelse och med huvudpersonerna som påverkade den, är allt mer eller mindre klart. Nu är det dags att konkretisera alla fakta.
Grundläggande begrepp
Innan vi berör lagar och satser är det värt att studera de grundläggande begreppen sannolikhetsteorin. Evenemanget tar den ledande rollen i det. Det här ämnet är ganska omfattande, men utan det kommer det inte att vara möjligt att förstå allt annat.
En händelse i sannolikhetsteorin är vilken uppsättning resultat som helst av ett experiment. Det finns inte så många begrepp om detta fenomen. Så, forskare Lotman,arbetade inom det här området, sa att vi i det här fallet pratar om något som "hände, även om det kanske inte har hänt."
Slumpmässiga händelser (sannolikhetsteorin ägnar särskild uppmärksamhet åt dem) är ett begrepp som antyder absolut vilket fenomen som helst som har förmågan att inträffa. Eller omvänt, det här scenariot kanske inte inträffar när många villkor är uppfyllda. Det är också värt att veta att det är slumpmässiga händelser som fångar hela volymen av fenomen som har inträffat. Sannolikhetsteorin visar att alla förhållanden kan upprepas konstant. Det var deras beteende som kallades "erfarenhet" eller "test".
En viss händelse är en som till 100 % kommer att hända i ett givet test. Följaktligen är en omöjlig händelse en som inte kommer att hända.
Kombination av ett par åtgärder (vanligtvis fall A och fall B) är ett fenomen som inträffar samtidigt. De är betecknade som AB.
Summan av par av händelser A och B är C, med andra ord, om åtminstone en av dem inträffar (A eller B), så erhålls C. Formeln för det beskrivna fenomenet skrivs enligt följande: C=A + B.
Osammanhängande händelser i sannolikhetsteorin innebär att två fall utesluter varandra. De kan aldrig hända samtidigt. Gemensamma händelser i sannolikhetsteorin är deras motpod. Detta innebär att om A hände, så stör det inte B.
Motsatta händelser (sannolikhetsteorin behandlar dem i detalj) är lätta att förstå. Det är bäst att hantera dem i jämförelse. De är nästan samma somoch oförenliga händelser i sannolikhetsteorin. Men deras skillnad ligger i det faktum att ett av många fenomen måste inträffa ändå.
Ekvivalenta händelser är de handlingar vars möjlighet är lika stor. För att göra det tydligare kan vi föreställa oss hur ett mynt kastas: det är lika troligt att den ena sidan faller på den andra.
Lyckande händelse är lättare att se med ett exempel. Låt oss säga att det finns avsnitt B och avsnitt A. Det första är tärningskastet med ett udda nummer, och det andra är utseendet på siffran fem på tärningen. Sedan visar det sig att A gynnar B.
Oberoende händelser i sannolikhetsteorin projiceras endast på två eller flera fall och antyder att varje handling är oberoende av en annan. Till exempel är A förlusten av svansar när ett mynt kastas, och B är dragningen av en knekt från kortleken. De är oberoende händelser i sannolikhetsteorin. Med detta ögonblick blev det tydligare.
Beroende händelser i sannolikhetsteorin är också tillåtna endast för deras uppsättning. De innebär att den ena är beroende av den andra, det vill säga fenomenet B kan bara inträffa om A redan har hänt eller tvärtom inte har hänt, när detta är huvudvillkoret för B.
Resultatet av ett slumpmässigt experiment som består av en komponent är elementära händelser. Sannolikhetsteorin förklarar att detta är ett fenomen som bara hänt en gång.
Grundläggande formler
Så, begreppen "händelse", "sannolikhetsteori",definitionen av de grundläggande termerna för denna vetenskap gavs också. Nu är det dags att bekanta sig direkt med de viktiga formlerna. Dessa uttryck bekräftar matematiskt alla huvudbegrepp i ett så svårt ämne som sannolikhetsteori. Sannolikheten för en händelse spelar en stor roll här också.
Börja bättre med de grundläggande formlerna för kombinatorik. Och innan du går vidare till dem är det värt att överväga vad det är.
Kombinatorik är i första hand en gren av matematiken, den handlar om studiet av ett stort antal heltal, såväl som olika permutationer av både talen själva och deras element, olika data, etc., vilket leder till uppkomsten av ett antal kombinationer. Förutom sannolikhetsteorin är denna gren viktig för statistik, datavetenskap och kryptografi.
Så nu kan vi gå vidare till att presentera själva formlerna och definiera dem.
Den första kommer att vara uttrycket för antalet permutationer, det ser ut så här:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Ekvationen gäller endast om element endast skiljer sig åt i ordning.
Nu kommer placeringsformeln att övervägas, den ser ut så här:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Detta uttryck gäller inte bara för elementets ordning, utan också för dess sammansättning.
Den tredje ekvationen från kombinatoriken, och den är också den sista, kallas formeln för antalet kombinationer:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinationer är val som inte är beställda respektive, och den här regeln gäller för dem.
Det visade sig vara lätt att räkna ut formlerna för kombinatorik, nu kan vi gå vidare till den klassiska definitionen av sannolikheter. Det här uttrycket ser ut så här:
P(A)=m: n.
I denna formel är m antalet villkor som är gynnsamma för händelse A, och n är antalet av absolut alla lika möjliga och elementära utfall.
Det finns ett stort antal uttryck, artikeln kommer inte att täcka alla, men de viktigaste av dem kommer att beröras, som till exempel sannolikheten för summan av händelser:
P(A + B)=P(A) + P(B) - denna sats är till för att endast lägga till inkompatibla händelser;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - och den här är endast till för att lägga till kompatibla sådana.
Sannolikhet att producera evenemang:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – denna sats är för oberoende händelser;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - och den här är för missbrukare.
Händelseformeln avslutar listan. Sannolikhetsteorin berättar om Bayes teorem, som ser ut så här:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
I denna formel är H1, H2, …, H komplett grupp av hypoteser.
Låt oss sluta här, sedan kommer exempel på att tillämpa formler för att lösa specifika problem från praktiken att övervägas.
Exempel
Om du noggrant studerar något avsnittmatematik, det klarar sig inte utan övningar och exempellösningar. Så är sannolikhetsteorin: händelser, exempel här är en integrerad komponent som bekräftar vetenskapliga beräkningar.
Formel för antalet permutationer
Låt oss säga att det finns trettio kort i en kortlek, som börjar med nominellt värde ett. Nästa fråga. Hur många sätt finns det att stapla leken så att kort med ett nominellt värde på ett och två inte ligger bredvid varandra?
Uppgiften har ställts in, nu går vi vidare till att lösa den. Först måste du bestämma antalet permutationer av trettio element, för detta tar vi formeln ovan, det visar sig att P_30=30!.
Baserat på denna regel kommer vi att ta reda på hur många alternativ det finns för att vika kortleken på olika sätt, men vi måste subtrahera från dem de där det första och andra kortet är nästa. För att göra detta, låt oss börja med alternativet när det första är över det andra. Det visar sig att det första kortet kan ta tjugonio platser - från det första till det tjugonionde, och det andra kortet från det andra till det trettionde, blir det tjugonio platser för ett par kort. I sin tur kan resten ta tjugoåtta platser, och i valfri ordning. Det vill säga, för en permutation av tjugoåtta kort finns det tjugoåtta alternativ P_28=28!
Som ett resultat visar det sig att om vi överväger lösningen när det första kortet är över det andra, finns det 29 ⋅ 28 extra möjligheter!=29!
Med samma metod måste du beräkna antalet överflödiga alternativ för fallet när det första kortet ligger under det andra. Det visar sig också 29 ⋅ 28!=29!
Det följer att det finns 2 ⋅ 29 extra alternativ!, medan det finns 30 nödvändiga sätt att bygga en kortlek! - 2 ⋅ 29!. Det återstår bara att räkna.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Nu måste du multiplicera alla siffror från ett till tjugonio tillsammans och sedan multiplicera allt med 28 i slutet. Svaret är 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Lösning av exemplet. Formel för placeringsnummer
I det här problemet måste du ta reda på hur många sätt det finns att lägga femton volymer på en hylla, men under förutsättning att det finns trettio volymer tot alt.
Det här problemet har en något enklare lösning än det föregående. Med den redan kända formeln är det nödvändigt att beräkna det totala antalet platser från trettio volymer av femton.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 931
Svaret kommer att vara 202 843 204 931 727 360 000.
Låt oss nu ta uppgiften lite svårare. Du måste ta reda på hur många sätt det finns att ordna trettio böcker på två bokhyllor, förutsatt att endast femton volymer kan finnas på en hylla.
Innan jag startar lösningen vill jag förtydliga att vissa problem löses på flera sätt, så det finns två sätt i det här, men samma formel används i båda.
I det här problemet kan du ta svaret från det föregående, för där räknade vi ut hur många gånger du kan fylla en hylla med femton böcker för-annorlunda. Det visade sig A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Vi kommer att beräkna den andra hyllan med hjälp av permutationsformeln, eftersom femton böcker är placerade i den, medan bara femton återstår. Använd formeln P_15=15!.
Det visar sig att summan blir A_30^15 ⋅ P_15 sätt, men dessutom måste produkten av alla tal från trettio till sexton multipliceras med produkten av tal från ett till femton, eftersom ett resultat, produkten av alla tal från ett till trettio, så svaret är 30!
Men det här problemet kan lösas på ett annat sätt - enklare. För att göra detta kan du tänka dig att det finns en hylla för trettio böcker. Alla är placerade på det här planet, men eftersom tillståndet kräver att det finns två hyllor, skär vi en lång på mitten, det blir två femton vardera. Av detta visar det sig att placerings alternativen kan vara P_30=30!.
Lösning av exemplet. Formel för kombinationsnummer
Nu ska vi överväga en variant av det tredje problemet från kombinatorik. Du måste ta reda på hur många sätt det finns att ordna femton böcker, förutsatt att du behöver välja bland trettio absolut identiska.
För lösningen kommer naturligtvis formeln för antalet kombinationer att tillämpas. Av villkoret blir det tydligt att ordningen på de identiska femton böckerna inte är viktig. Därför måste du först ta reda på det totala antalet kombinationer av trettio böcker på femton.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: femton!=155 117 520
Det var allt. Med denna formel var det möjligt på kortast möjliga tidlösa ett sådant problem är svaret 155 117 520.
Lösning av exemplet. Den klassiska definitionen av sannolikhet
Med formeln ovan kan du hitta svaret på ett enkelt problem. Men det hjälper att visuellt se och följa handlingsförloppet.
Det är givet i problemet att det finns tio helt identiska kulor i urnan. Av dessa är fyra gula och sex är blå. En boll tas från urnan. Du måste ta reda på sannolikheten att bli blå.
För att lösa problemet är det nödvändigt att ange att få den blå bollen som händelse A. Denna upplevelse kan ha tio utfall, som i sin tur är elementära och lika troliga. Samtidigt är sex av tio gynnsamma för event A. Vi löser enligt formeln:
P(A)=6: 10=0, 6
Med den här formeln fick vi reda på att sannolikheten att få den blå bollen är 0,6.
Lösning av exemplet. Sannolikhet för summan av händelser
Nu kommer en variant att presenteras, som löses med formeln för sannolikheten för summan av händelser. Så, under förutsättning att det finns två lådor, innehåller den första en grå och fem vita bollar, och den andra innehåller åtta gråa och fyra vita bollar. Som ett resultat togs en av dem från den första och andra lådan. Du måste ta reda på hur stor chansen är att bollarna du får blir grå och vita.
För att lösa det här problemet måste du märka händelserna.
- Så, A - ta en grå boll från den första rutan: P(A)=1/6.
- A’ – ta en vit boll också från den första rutan: P(A')=5/6.
- B – den grå bollen har redan tagits ut ur den andra rutan: P(B)=2/3.
- B’ – ta en grå boll från den andra rutan: P(B')=1/3.
Beroende på problemets tillstånd måste ett av fenomenen inträffa: AB' eller A'B. Med formeln får vi: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Nu har sannolikhetsmultiplikationsformeln använts. Därefter, för att ta reda på svaret, måste du tillämpa ekvationen för deras addition:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Så här, med hjälp av formeln, kan du lösa liknande problem.
Resultat
Artikeln gav information om ämnet "Sannolikhetsteori", där sannolikheten för en händelse spelar en avgörande roll. Naturligtvis togs inte allt i beaktande, men utifrån den presenterade texten kan man teoretiskt bekanta sig med detta avsnitt av matematik. Vetenskapen i fråga kan vara användbar inte bara i professionellt arbete, utan också i vardagen. Med dess hjälp kan du beräkna vilken möjlighet som helst för vilken händelse som helst.
Texten berörde också viktiga datum i historien för bildandet av sannolikhetsteorin som en vetenskap, och namnen på personer vars arbeten investerats i den. Det var så människans nyfikenhet ledde till att människor lärde sig att beräkna även slumpmässiga händelser. En gång var de bara intresserade av det, men idag vet alla redan om det. Och ingen kommer att säga vad som väntar oss i framtiden, vilka andra lysande upptäckter relaterade till teorin som övervägs kommer att göras. Men en sak är säker - forskningen står inte stilla!
