Många, som står inför begreppet "sannolikhetsteori", är rädda och tror att detta är något överväldigande, mycket komplext. Men det är verkligen inte så tragiskt. Idag kommer vi att överväga det grundläggande begreppet sannolikhetsteori, lära oss hur man löser problem med hjälp av specifika exempel.
Science
Vad studerar en sådan gren av matematiken som "sannolikhetsteori"? Den noterar mönster av slumpmässiga händelser och kvantiteter. För första gången blev forskare intresserade av denna fråga redan på sjuttonhundratalet, när de studerade spel. Det grundläggande begreppet sannolikhetsteorin är en händelse. Det är vilket faktum som helst som fastställs genom erfarenhet eller observation. Men vad är erfarenhet? Ett annat grundläggande begrepp för sannolikhetsteorin. Det betyder att denna sammansättning av omständigheter inte skapades av en slump, utan för ett specifikt syfte. Vad gäller observation, här deltar inte forskaren själv i experimentet, utan är helt enkelt ett vittne till dessa händelser, han påverkar inte vad som händer på något sätt.
Event
Vi lärde oss att det grundläggande begreppet sannolikhetsteori är en händelse, men övervägde inte klassificeringen. Alla är indelade i följande kategorier:
- Reliable.
- Omöjligt.
- Random.
Oavsettvilken typ av händelser som observeras eller skapas under upplevelsen, de är alla föremål för denna klassificering. Vi erbjuder att bekanta oss med var och en av arterna separat.
Viss händelse
Detta är en omständighet innan den nödvändiga uppsättningen åtgärder har vidtagits. För att bättre förstå essensen är det bättre att ge några exempel. Fysik, kemi, ekonomi och högre matematik omfattas av denna lag. Sannolikhetsteorin innefattar ett så viktigt begrepp som en viss händelse. Här är några exempel:
- Vi arbetar och får ersättning i form av lön.
- Vi klarade proven bra, klarade tävlingen, för detta får vi en belöning i form av antagning till en läroanst alt.
- Vi har investerat pengar i banken, vi kommer att få tillbaka dem vid behov.
Sådana händelser är tillförlitliga. Om vi har uppfyllt alla nödvändiga villkor kommer vi definitivt att få det förväntade resultatet.
Omöjliga händelser
Nu överväger vi delar av sannolikhetsteorin. Vi föreslår att gå vidare till en förklaring av nästa typ av händelse, nämligen det omöjliga. Låt oss först specificera den viktigaste regeln - sannolikheten för en omöjlig händelse är noll.
Du kan inte avvika från denna formulering när du löser problem. För att förtydliga, här är exempel på sådana händelser:
- Vattnet frös vid plus tio (det är omöjligt).
- Bristen på el påverkar inte produktionen på något sätt (lika omöjligt som i föregående exempel).
Fler exempelDet är inte värt att citera, eftersom de som beskrivs ovan mycket tydligt återspeglar kärnan i denna kategori. Den omöjliga händelsen kommer aldrig att inträffa under upplevelsen under några omständigheter.
Slumpmässiga händelser
När man studerar elementen i sannolikhetsteorin bör särskild uppmärksamhet ägnas åt denna speciella typ av händelse. Det är vad vetenskapen studerar. Som ett resultat av erfarenhet kan något hända eller inte hända. Dessutom kan testet upprepas ett obegränsat antal gånger. Livliga exempel är:
- Att kasta ett mynt är en upplevelse, eller ett test, rubriken är en händelse.
- Att blint dra en boll ur en påse är ett test, en röd boll fångas är en händelse och så vidare.
Det kan finnas ett obegränsat antal sådana exempel, men i allmänhet bör kärnan vara tydlig. För att sammanfatta och systematisera kunskapen om händelser ges en tabell. Sannolikhetsteori studerar endast den sista typen av alla presenterade.
| title | definition | example |
| Reliable | Händelser som inträffar med 100 % garanti under vissa villkor. | Antagning till en läroanst alt med ett bra inträdesprov. |
| Omöjligt | Händelser som aldrig kommer att hända under några omständigheter. | Det snöar med en temperatur på plus trettio grader Celsius. |
| Random | En händelse som kanske eller inte kan inträffa under ett experiment/test. | Slag eller miss när du kastar en basketboll i bågen. |
lagar
Sannolikhetsteori är en vetenskap som studerar möjligheten att en händelse inträffar. Precis som de andra har den vissa regler. Det finns följande lagar för sannolikhetsteorin:
- Konvergens av sekvenser av slumpvariabler.
- Lagen om stora tal.
När du beräknar möjligheten till ett komplex kan du använda ett komplex av enkla händelser för att uppnå resultatet på ett enklare och snabbare sätt. Observera att sannolikhetsteorins lagar lätt kan bevisas med hjälp av några satser. Låt oss börja med den första lagen.
Konvergens av sekvenser av slumpvariabler
Observera att det finns flera typer av konvergens:
- Sekvensen av slumpvariabler konvergerar i sannolikhet.
- Nästan omöjligt.
- RMS-konvergens.
- Konvergens i distribution.
Så, i farten är det väldigt svårt att komma till botten med det. Här är några definitioner som hjälper dig att förstå detta ämne. Låt oss börja med den första titten. En sekvens kallas konvergent i sannolikhet om följande villkor är uppfyllt: n tenderar till oändlighet, talet som sekvensen tenderar mot är större än noll och nära ett.
Gå till nästa vy, nästan säkert. Det säger desekvensen konvergerar nästan säkert till en slumpvariabel där n tenderar mot oändligheten och P tenderar mot ett värde nära ett.
Nästa typ är rot-medelkvadratkonvergens. När man använder SC-konvergens reduceras studiet av vektorslumpmässiga processer till studiet av deras slumpmässiga koordinatprocesser.
Den sista typen finns kvar, låt oss ta en kort titt på den för att gå direkt vidare till att lösa problem. Distributionskonvergens har ett annat namn - "svag", vi kommer att förklara varför nedan. Svag konvergens är konvergensen av fördelningsfunktioner vid alla kontinuitetspunkter för gränsfördelningsfunktionen.
Se till att uppfylla löftet: svag konvergens skiljer sig från allt ovan genom att den slumpmässiga variabeln inte definieras på sannolikhetsutrymmet. Detta är möjligt eftersom villkoret skapas uteslutande med hjälp av distributionsfunktioner.
Law of large numbers
Utmärkta medhjälpare för att bevisa denna lag kommer att vara sannolikhetslärans satser, såsom:
- Chebyshevs ojämlikhet.
- Chebyshevs teorem.
- Generaliserade Chebyshevs teorem.
- Markovs teorem.
Om vi betraktar alla dessa satser, kan denna fråga dra ut på tiden i flera dussin ark. Vår huvudsakliga uppgift är att tillämpa sannolikhetsteorin i praktiken. Vi inbjuder dig att göra detta nu. Men innan dess, låt oss överväga sannolikhetsteorins axiom, de kommer att vara de viktigaste assistenterna för att lösa problem.
Axioms
Vi träffade redan den första när vi pratade om den omöjliga händelsen. Låt oss komma ihåg: sannolikheten för en omöjlig händelse är noll. Vi gav ett mycket levande och minnesvärt exempel: det snöade vid en lufttemperatur på trettio grader Celsius.
Den andra låter så här: en tillförlitlig händelse inträffar med en sannolikhet lika med ett. Låt oss nu visa hur man skriver det med matematiskt språk: P(B)=1.
Tredje: En slumpmässig händelse kan eller kanske inte inträffar, men möjligheten sträcker sig alltid från noll till ett. Ju närmare värdet ett är, desto större är chansen; om värdet närmar sig noll är sannolikheten mycket låg. Låt oss skriva detta på matematiskt språk: 0<Р(С)<1.
Låt oss betrakta det sista, fjärde axiomet, som låter så här: sannolikheten för summan av två händelser är lika med summan av deras sannolikheter. Vi skriver på matematiskt språk: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Sannolikhetsteorins axiom är de enklaste reglerna som är lätta att komma ihåg. Låt oss försöka lösa några problem, baserat på den kunskap som redan har vunnits.
Lotteri
Tänk först på det enklaste exemplet - lotteriet. Föreställ dig att du köpt en lott för lycka till. Vad är sannolikheten att du vinner minst tjugo rubel? Tot alt deltar tusen biljetter i cirkulationen, varav en har ett pris på femhundra rubel, tio av hundra rubel, femtio av tjugo rubel och hundra av fem. Problem i sannolikhetsteorin bygger på att hitta möjlighetenlycka till. Nu ska vi tillsammans analysera lösningen av ovanstående uppgift.
Om vi med bokstaven A betecknar en vinst på femhundra rubel, kommer sannolikheten att få A vara 0,001. Hur fick vi det? Du behöver bara dela antalet "lyckliga" biljetter med deras totala antal (i detta fall: 1/1000).
B är en vinst på hundra rubel, sannolikheten kommer att vara 0,01. Nu agerade vi enligt samma princip som i föregående åtgärd (10/1000)
C - vinsterna är lika med tjugo rubel. Hitta sannolikheten, den är lika med 0,05.
Resten av biljetterna är inte av intresse för oss, eftersom deras prisfond är mindre än den som anges i villkoret. Låt oss tillämpa det fjärde axiomet: Sannolikheten att vinna minst tjugo rubel är P(A)+P(B)+P(C). Bokstaven P betecknar sannolikheten för att denna händelse inträffar, vi har redan hittat dem i de föregående stegen. Det återstår bara att lägga till nödvändiga uppgifter, i svaret får vi 0, 061. Detta nummer kommer att vara svaret på frågan om uppdraget.
kortlek
Problem med sannolikhetsteoretiska problem kan vara mer komplexa, ta till exempel följande uppgift. Innan du är en kortlek med trettiosex kort. Din uppgift är att dra två kort i rad utan att blanda högen, det första och andra kortet måste vara ess, färgen spelar ingen roll.
Först, låt oss hitta sannolikheten för att det första kortet kommer att vara ett ess, för detta delar vi fyra med trettiosex. De lade det åt sidan. Vi tar ut det andra kortet, det blir ett ess med en sannolikhet på tre trettiofemtedelar. Sannolikheten för den andra händelsen beror på vilket kort vi drog först, vi är intresserade avvar det ett ess eller inte. Det följer att händelse B beror på händelse A.
Nästa steg är att hitta sannolikheten för samtidig implementering, det vill säga vi multiplicerar A och B. Deras produkt hittas enligt följande: sannolikheten för en händelse multipliceras med den villkorade sannolikheten för en annan, som vi beräknar, förutsatt att den första händelsen inträffade, det vill säga med det första kortet drog vi ett ess.
För att göra allt klart, låt oss ge en beteckning till ett sådant element som den villkorade sannolikheten för en händelse. Den beräknas förutsatt att händelse A har inträffat. Beräknas enligt följande: P(B/A).
Fortsätt lösa vårt problem: P(AB)=P(A)P(B/A) eller P (AB)=P(B)P(A/B). Sannolikheten är (4/36)((3/35)/(4/36). Beräkna genom att avrunda till hundradelar. Vi har: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Sannolikheten att vi drar två ess i rad är nio hundradelar Värdet är mycket litet, det följer att sannolikheten för att händelsen inträffar är extremt liten.
Glömt nummer
Vi föreslår att vi analyserar några fler alternativ för uppgifter som studeras med sannolikhetsteori. Du har redan sett exempel på att lösa några av dem i den här artikeln, låt oss försöka lösa följande problem: pojken glömde den sista siffran i sin väns telefonnummer, men eftersom samtalet var väldigt viktigt började han ringa allt i sin tur. Vi måste beräkna sannolikheten för att han inte kommer att ringa mer än tre gånger. Lösningen på problemet är den enklaste om reglerna, lagarna och axiomen för sannolikhetsteorin är kända.
Innan du tittarlösning, försök att lösa det själv. Vi vet att den sista siffran kan vara från noll till nio, det vill säga det finns tio värden tot alt. Sannolikheten att få rätt är 1/10.
Närnäst måste vi överväga alternativ för händelsens ursprung, anta att pojken gissade rätt och omedelbart gjorde rätt, sannolikheten för en sådan händelse är 1/10. Det andra alternativet: det första samtalet är en miss, och det andra är på mål. Vi beräknar sannolikheten för en sådan händelse: multiplicera 9/10 med 1/9, som ett resultat får vi också 1/10. Det tredje alternativet: det första och andra samtalet visade sig vara på fel adress, först från det tredje kom pojken dit han ville. Vi beräknar sannolikheten för en sådan händelse: vi multiplicerar 9/10 med 8/9 och med 1/8 får vi 1/10 som resultat. Enligt problemets tillstånd är vi inte intresserade av andra alternativ, så det återstår för oss att lägga ihop resultaten, som ett resultat har vi 3/10. Svar: Sannolikheten att pojken ringer inte mer än tre gånger är 0,3.
Kort med nummer
Det finns nio kort framför dig, på vart och ett av vilka ett nummer från ett till nio är skrivet, siffrorna upprepas inte. De placerades i en låda och blandades noggrant. Du måste beräkna sannolikheten för att
- ett jämnt nummer kommer upp;
- tvåsiffrigt.
Innan vi går vidare till lösningen, låt oss bestämma att m är antalet framgångsrika fall och n är det totala antalet alternativ. Hitta sannolikheten att talet är jämnt. Det kommer inte att vara svårt att beräkna att det finns fyra jämna tal, detta kommer att vara vårt m, det finns nio alternativ tot alt, det vill säga m=9. Sen sannolikhetenär lika med 0, 44 eller 4/9.
Tänk på det andra fallet: antalet alternativ är nio, och det kan inte bli några framgångsrika resultat alls, det vill säga m är lika med noll. Sannolikheten att det dragna kortet innehåller ett tvåsiffrigt tal är också noll.
