Förmågan att beräkna volymen av rumsliga figurer är viktig för att lösa ett antal praktiska problem inom geometri. En av de vanligaste formerna är pyramiden. I den här artikeln kommer vi att överväga formlerna för pyramidens volym, både full och trunkerad.
Pyramid som en tredimensionell figur
Alla känner till de egyptiska pyramiderna, så de har en bra uppfattning om vilken figur som kommer att diskuteras. Men egyptiska stenstrukturer är bara ett specialfall av en enorm klass av pyramider.
Det betraktade geometriska objektet i det allmänna fallet är en polygonal bas, vars varje hörn är kopplad till någon punkt i rymden som inte hör till basplanet. Denna definition leder till en figur som består av en n-gon och n trianglar.
Val som helst pyramid består av n+1 ytor, 2n kanter och n+1 hörn. Eftersom figuren i fråga är en perfekt polyeder, följer antalet markerade element Euler-likheten:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Polygonen vid basen ger namnet på pyramiden,till exempel triangulär, femkantig och så vidare. En uppsättning pyramider med olika baser visas på bilden nedan.
Punkten där n trianglar i figuren är sammankopplade kallas toppen av pyramiden. Om en vinkelrät sänks från den till basen och den skär den i det geometriska centrumet, kommer en sådan figur att kallas en rak linje. Om detta villkor inte är uppfyllt finns det en lutande pyramid.
En rak figur vars bas bildas av en liksidig (likkantig) n-gon kallas regelbunden.
Pyramidvolymformel
För att beräkna volymen på pyramiden använder vi integralkalkylen. För att göra detta delar vi figuren med sekantplan parallella med basen i ett oändligt antal tunna lager. Bilden nedan visar en fyrkantig pyramid med höjden h och sidolängden L, där ett tunt snittskikt är markerat med en fyrhörning.
Arean för varje sådant lager kan beräknas med formeln:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Här är A0 arean av basen, z är värdet på den vertikala koordinaten. Det kan ses att om z=0, så ger formeln värdet A0.
För att få formeln för volymen av en pyramid bör du beräkna integralen över hela figurens höjd, det vill säga:
V=∫h0(A(z)dz).
Genom att ersätta beroendet A(z) och beräkna antiderivatan kommer vi fram till uttrycket:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Vi fick formeln för pyramidens volym. För att hitta värdet på V räcker det att multiplicera höjden på figuren med arean av basen och sedan dividera resultatet med tre.
Observera att det resulterande uttrycket är giltigt för att beräkna volymen av en pyramid av en godtycklig typ. Det vill säga, den kan lutas och dess bas kan vara en godtycklig n-gon.
Rätt pyramid och dess volym
Den allmänna formeln för volym som erhålls i stycket ovan kan förfinas i fallet med en pyramid med rätt bas. Arean av en sådan bas beräknas med hjälp av följande formel:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Här är L sidolängden på en vanlig polygon med n hörn. Symbolen pi är talet pi.
Genom att ersätta uttrycket med A0 i den allmänna formeln får vi volymen av en vanlig pyramid:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Till exempel, för en triangulär pyramid, leder denna formel till följande uttryck:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
För en vanlig fyrkantig pyramid blir volymformeln:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
För att bestämma volymen på vanliga pyramider krävs att man känner till sidan av deras bas och höjden på figuren.
Trunkerad pyramid
Anta att vi togen godtycklig pyramid och skär av en del av dess sidoyta som innehåller toppen. Den återstående figuren kallas en stympad pyramid. Den består redan av två n-gonala baser och n trapetser som förbinder dem. Om skärplanet var parallellt med figurens bas, bildas en stympad pyramid med parallella liknande baser. Det vill säga att längderna på sidorna på en av dem kan erhållas genom att multiplicera längderna på den andra med någon koefficient k.
Bilden ovan visar en stympad regelbunden sexkantig pyramid. Det kan ses att dess övre bas, liksom den nedre, är bildad av en regelbunden sexkant.
Formeln för volymen av en trunkerad pyramid, som kan härledas med hjälp av en integralkalkyl som liknar den som ges, är:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Där A0 och A1 är områdena för de nedre (stora) respektive övre (små) baserna. Variabeln h är höjden på den trunkerade pyramiden.
Keopspyramidens volym
Det är intressant att lösa problemet med att bestämma volymen som den största egyptiska pyramiden innehåller inuti.
1984 fastställde de brittiska egyptologerna Mark Lehner och Jon Goodman de exakta måtten på Cheops-pyramiden. Dess ursprungliga höjd var 146,50 meter (för närvarande cirka 137 meter). Den genomsnittliga längden på var och en av de fyra sidorna av strukturen var 230,363 meter. Pyramidens bas är kvadratisk med hög noggrannhet.
Låt oss använda de givna siffrorna för att bestämma volymen på denna stenjätte. Eftersom pyramiden är en vanlig fyrkantig, är formeln giltig för den:
V4=1/3L2h.
Ersätt siffrorna, vi får:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Keopspyramidens volym är nästan 2,6 miljoner m3. Som jämförelse noterar vi att den olympiska poolen har en volym på 2,5 tusen m3. Det vill säga, för att fylla hela Cheops-pyramiden kommer det att behövas mer än 1000 av dessa pooler!
